Tilbake
4.3
Normalfordeling og sentralgrensesetningen

4.3 Normalfordeling og sentralgrensesetningen

Alle fag for VG3

Normalfordelingen og sentralgrensesetningens betydning.

60 min
23 oppgaver
NormalfordelingSentralgrensesetningenSummen av stokastiske variable
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 23 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Normalfordelingen - den viktigste fordelingen

Normalfordelingen er den mest brukte sannsynlighetsfordelingen i statistikk. Den dukker opp overalt: høyde, vekt, testresultater, målefeil, og mye mer.

Grunnen til at normalfordelingen er så viktig, er sentralgrensesetningen: summen (eller gjennomsnittet) av mange uavhengige stokastiske variabler er tilnærmet normalfordelt - uansett hva den opprinnelige fordelingen er!

Normalfordelingen
En kontinuerlig stokastisk variabel XX er normalfordelt med forventningsverdi μ\mu og varians σ2\sigma^2 dersom tetthetsfunksjonen er:

f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2,−∞<x<∞f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < \infty

Vi skriver X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2).

Egenskaper:
- Kurven er klokkeformet og symmetrisk om μ\mu
- Toppunktet er i x=μx = \mu
- Vendepunktene er i x=μ±σx = \mu \pm \sigma
- Arealet under hele kurven er 1
- P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx (areal under kurven)

📜Empirisk regel (68-95-99,7-regelen)
For en normalfordelt variabel X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2):

P(μ−σ<X<μ+σ)≈0,68(68%)P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0{,}68 \quad (68\%)
P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0,95(95%)P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) \approx 0{,}95 \quad (95\%)
P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0,997(99,7%)P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997 \quad (99{,}7\%)

Tolkning: Ca. 68% av observasjonene ligger innenfor ±1σ\pm 1\sigma fra gjennomsnittet, ca. 95% innenfor ±2σ\pm 2\sigma, og nesten alle (99,7%) innenfor ±3σ\pm 3\sigma.

✏️Bruke empirisk regel

Høyden til norske menn er tilnærmet normalfordelt med μ=180\mu = 180 cm og σ=7\sigma = 7 cm.

a) Hvilken andel er mellom 173 cm og 187 cm?
b) Hvilken andel er over 194 cm?

a) 173=180−7=μ−σ173 = 180 - 7 = \mu - \sigma og 187=180+7=μ+σ187 = 180 + 7 = \mu + \sigma.
Ifølge 68-95-99,7-regelen: ca. 68% er mellom 173 og 187 cm.

b) 194=180+2⋅7=μ+2σ194 = 180 + 2 \cdot 7 = \mu + 2\sigma.
Ca. 95% er mellom μ−2σ\mu - 2\sigma og μ+2σ\mu + 2\sigma.
Altså er ca. 5% utenfor, og halvparten (2,5%) er over μ+2σ=194\mu + 2\sigma = 194 cm.

Svar: Ca. 2,5% av norske menn er over 194 cm.

Standardnormalfordelingen og z-verdier
Standardnormalfordelingen er normalfordelingen med μ=0\mu = 0 og σ=1\sigma = 1:

Z∼N(0,1)Z \sim N(0, 1)

Enhver normalfordelt variabel kan standardiseres (transformeres til standardnormal):

Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}

ZZ-verdien forteller hvor mange standardavvik XX er fra gjennomsnittet.

Bruk av z-tabell / kalkulator:
Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \leq z) er den kumulative fordelingsfunksjonen.

P(X≤a)=P(Z≤a−μσ)=Φ(a−μσ)P(X \leq a) = P\left(Z \leq \frac{a - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)

✏️Beregne sannsynligheter med z-verdier

Vekten til nyfødte er normalfordelt med μ=3,5\mu = 3{,}5 kg og σ=0,5\sigma = 0{,}5 kg.

a) Finn sannsynligheten for at en nyfødt veier mellom 3,0 og 4,0 kg.
b) Finn vekten som bare 5% overstiger.

a) Standardiser:
z1=3,0−3,50,5=−1,0z2=4,0−3,50,5=1,0z_1 = \frac{3{,}0 - 3{,}5}{0{,}5} = -1{,}0 \qquad z_2 = \frac{4{,}0 - 3{,}5}{0{,}5} = 1{,}0

P(3,0<X<4,0)=P(−1<Z<1)=Φ(1)−Φ(−1)P(3{,}0 < X < 4{,}0) = P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1)
=0,8413−0,1587=0,6827≈68,3%= 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6827 \approx 68{,}3\%

(Stemmer med 68-95-99,7-regelen!)

b) Vi søker aa slik at P(X>a)=0,05P(X > a) = 0{,}05, altså P(X≤a)=0,95P(X \leq a) = 0{,}95.

Φ(a−3,50,5)=0,95\Phi\left(\frac{a - 3{,}5}{0{,}5}\right) = 0{,}95

Fra tabell: Φ(1,645)≈0,95\Phi(1{,}645) \approx 0{,}95, så:

a−3,50,5=1,645⇒a=3,5+0,5⋅1,645=4,32 kg\frac{a - 3{,}5}{0{,}5} = 1{,}645 \Rightarrow a = 3{,}5 + 0{,}5 \cdot 1{,}645 = 4{,}32 \text{ kg}

Svar: 95% veier 4,32 kg eller mindre. Bare 5% veier mer enn 4,32 kg.

📊Utforsk: Normalfordelingen og standardisering

Standard normalfordeling N(0,1)N(0, 1) med det skraverte arealet P(−1,96≤Z≤1,96)≈0,95P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) \approx 0{,}95. Disse grensene møter du igjen i konfidensintervaller. Prøv andre grenser og les av sannsynligheten.

Sentralgrensesetningen

Sentralgrensesetningen (SGS) er et av de viktigste resultatene i statistikk. Den forklarer hvorfor normalfordelingen dukker opp overalt.

📜Sentralgrensesetningen
La X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n være uavhengige stokastiske variabler med samme fordeling, E(Xi)=μE(X_i) = \mu og Var(Xi)=σ2\text{Var}(X_i) = \sigma^2.

Da gjelder for store nn:

Summen:
Sn=X1+X2+⋯+Xn≈N(nμ,nσ2)S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n \approx N(n\mu, n\sigma^2)

Gjennomsnittet:
Xˉ=Snn≈N(μ,σ2n)\bar{X} = \frac{S_n}{n} \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)

Tolkning: Uansett hva den opprinnelige fordelingen er, blir summen og gjennomsnittet av mange uavhengige observasjoner tilnærmet normalfordelt når nn er stor nok.

Tommelfingerregel: n≥30n \geq 30 er vanligvis tilstrekkelig for at approksimasjonen er god.

✏️Sentralgrensesetningen i praksis

En fabrikk produserer bolter med gjennomsnittslengde μ=50\mu = 50 mm og standardavvik σ=2\sigma = 2 mm. Vi måler 100 bolter. Hva er sannsynligheten for at gjennomsnittslengden er mellom 49,5 og 50,5 mm?

Ifølge sentralgrensesetningen:
Xˉ≈N(50,4100)=N(50,0,04)\bar{X} \approx N\left(50, \frac{4}{100}\right) = N(50, 0{,}04)

Standardavviket til gjennomsnittet: σXˉ=2100=0,2\displaystyle \sigma_{\bar{X}} = \frac{2}{\sqrt{100}} = 0{,}2 mm.

Standardiser:
z1=49,5−500,2=−2,5z2=50,5−500,2=2,5z_1 = \frac{49{,}5 - 50}{0{,}2} = -2{,}5 \qquad z_2 = \frac{50{,}5 - 50}{0{,}2} = 2{,}5

P(49,5<Xˉ<50,5)=P(−2,5<Z<2,5)P(49{,}5 < \bar{X} < 50{,}5) = P(-2{,}5 < Z < 2{,}5)
=Φ(2,5)−Φ(−2,5)=0,9938−0,0062=0,9876= \Phi(2{,}5) - \Phi(-2{,}5) = 0{,}9938 - 0{,}0062 = 0{,}9876

Svar: Det er ca. 98,8% sannsynlighet for at gjennomsnittet ligger mellom 49,5 og 50,5 mm.

Merk: Selv om vi ikke vet fordelingen til enkeltboltene, kan vi bruke normalfordelingen for gjennomsnittet takket være sentralgrensesetningen.

Normalapproksimasjon til binomisk fordeling

Binomisk fordeling med store nn kan beregnes med normalfordelingen. Dette følger av sentralgrensesetningen, siden binomisk fordeling er summen av nn uavhengige Bernoulli-variabler.

Når kan vi bruke approksimasjonen?
X∼B(n,p)X \sim B(n, p) kan approksimeres med N(np,np(1−p))N(np, np(1-p)) når:
- np≥5np \geq 5 og n(1−p)≥5n(1-p) \geq 5

Normalapproksimasjon med kontinuitetskorreksjon
For X∼B(n,p)X \sim B(n, p) med np≥5np \geq 5 og n(1−p)≥5n(1-p) \geq 5:

P(X≤k)≈Φ(k+0,5−npnp(1−p))P(X \leq k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)

P(X=k)≈Φ(k+0,5−npnp(1−p))−Φ(k−0,5−npnp(1−p))P(X = k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) - \Phi\left(\frac{k - 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)

Kontinuitetskorreksjon (±0,5\pm 0{,}5) brukes fordi vi approksimerer en diskret fordeling med en kontinuerlig. Den gir bedre nøyaktighet, men kan utelates for store nn.

✏️Normalapproksimasjon til binomisk

En mynt kastes 200 ganger. Bruk normalapproksimasjon til å finne sannsynligheten for mellom 90 og 110 mynt (inklusivt).

X∼B(200,0,5)X \sim B(200, 0{,}5).
μ=np=100\mu = np = 100, σ=np(1−p)=50≈7,07\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{50} \approx 7{,}07.

Sjekk: np=100≥5np = 100 \geq 5 ✓ og n(1−p)=100≥5n(1-p) = 100 \geq 5 ✓

Med kontinuitetskorreksjon:
P(90≤X≤110)≈Φ(110,5−1007,07)−Φ(89,5−1007,07)P(90 \leq X \leq 110) \approx \Phi\left(\frac{110{,}5 - 100}{7{,}07}\right) - \Phi\left(\frac{89{,}5 - 100}{7{,}07}\right)
=Φ(1,48)−Φ(−1,48)= \Phi(1{,}48) - \Phi(-1{,}48)
=0,9306−0,0694=0,8612= 0{,}9306 - 0{,}0694 = 0{,}8612

Svar: Sannsynligheten for mellom 90 og 110 mynt er ca. 86,1%.

Kontroll med 68-95-99,7-regelen:
[μ−σ,μ+σ]=[93,107][\mu - \sigma, \mu + \sigma] = [93, 107] gir ca. 68%, og [90,110][90, 110] er litt bredere, så 86% virker rimelig.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

a

IQ-skårer er normalfordelt med μ=100\mu = 100 og σ=15\sigma = 15. Bruk 68-95-99,7-regelen til å finne andelen med IQ mellom 85 og 115.

b

Hvilken andel har IQ over 130?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

a
X∼N(50,16)X \sim N(50, 16). Finn P(X<54)P(X < 54).
b

Finn P(44<X<56)P(44 < X < 56).

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

a
X∼N(10,9)X \sim N(10, 9). Finn aa slik at P(X<a)=0,90P(X < a) = 0{,}90.
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

a

Standardiser følgende: X∼N(20,25)X \sim N(20, 25). Finn z-verdien for x=30x = 30.

b

Finn z-verdien for x=12x = 12.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

a

Levetiden til en lyspære er normalfordelt med μ=1200\mu = 1200 timer og σ=100\sigma = 100 timer. Finn sannsynligheten for at en lyspære varer i mer enn 1350 timer.

b

Produsenten garanterer pærene i tt timer og vil at høyst 1% skal gå i stykker i garantitiden. Finn tt.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

a

Resultater på en matematikkeksamen er normalfordelt med μ=55\mu = 55 og σ=12\sigma = 12. Finn andelen som scorer mellom 40 og 70.

b

Hva må du score for å være blant de 10% beste?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

a

En maskin fyller poser med 500 g mel. Vekten er normalfordelt med σ=5\sigma = 5 g. Hvilket gjennomsnitt μ\mu bør brukes for at høyst 2% av posene skal veie under 490 g?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

a

Gjennomsnittlig ventetid i en kø er μ=8\mu = 8 min med σ=3\sigma = 3 min. For et utvalg på 36 kunder, finn sannsynligheten for at gjennomsnittlig ventetid er over 9 minutter. (Bruk sentralgrensesetningen.)

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

a
X∼B(100,0,4)X \sim B(100, 0{,}4). Bruk normalapproksimasjon til å finne P(X≤45)P(X \leq 45).
b

Finn P(35≤X≤45)P(35 \leq X \leq 45) med normalapproksimasjon.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

a

I en meningsmåling svarer 55% ja. Utvalget er 400 personer. Bruk sentralgrensesetningen til å finne sannsynligheten for at andelen ja-svar i utvalget er mellom 50% og 60%.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

a

Vis at dersom X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2) og Y=aX+bY = aX + b, så er Y∼N(aμ+b,a2σ2)Y \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2).

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

a

En kaffemaskin fyller kopper med μ=200\mu = 200 ml og σ=8\sigma = 8 ml (normalfordelt). Koppene rommer 220 ml. Finn sannsynligheten for at en kopp renner over.

b

Av 500 kopper, hvor mange forventer vi renner over?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

a

Daglig salg i en butikk har μ=50000\mu = 50000 kr og σ=8000\sigma = 8000 kr. Finn sannsynligheten for at totalomsetningen over 30 dager overstiger 1 600 000 kr. Bruk sentralgrensesetningen.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

a
Z∼N(0,1)Z \sim N(0,1). Finn P(Z>1,96)P(Z > 1{,}96).
b

Finn P(−1,96<Z<1,96)P(-1{,}96 < Z < 1{,}96).

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 15

Løs oppgavene:

a

Et politisk parti har oppslutning 25%. I en meningsmåling med 600 respondenter, bruk normalapproksimasjon til å finne P(X≥165)P(X \geq 165) der XX = antall som støtter partiet.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 16

Løs oppgavene:

a

Vis at for X∼B(n,p)X \sim B(n, p) med store nn, er X−npnp(1−p)≈N(0,1)\displaystyle \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \approx N(0, 1). Forklar sammenhengen med sentralgrensesetningen.

📝Oppgave 17

Løs oppgavene:

a

Vekten til epler er normalfordelt med μ=180\mu = 180 g og σ=30\sigma = 30 g. Epler under 150 g sorteres bort. Finn andelen som sorteres bort, og finn den gjennomsnittlige vekten til de eplene som IKKE sorteres bort.

📝Oppgave 18

Løs oppgavene:

a

En terning kastes 360 ganger. Bruk normalapproksimasjon til å finne sannsynligheten for at antall seksere er mellom 50 og 70.

Løs oppgavenTren

Oppsummering

Normalfordelingen N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2):
- Klokkeformet, symmetrisk om μ\mu
- Standardisering: Z=X−μσ\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
- 68-95-99,7-regelen for ±1σ\pm 1\sigma, ±2σ\pm 2\sigma, ±3σ\pm 3\sigma

Sentralgrensesetningen:
- Gjennomsnitt av nn uavhengige variabler: Xˉ∼N(μ,σ2n)\displaystyle \bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})
- Gjelder for store nn (≥30\geq 30) uansett opprinnelig fordeling

Normalapproksimasjon til binomisk:
- B(n,p)≈N(np,np(1−p))B(n, p) \approx N(np, np(1-p)) når np≥5np \geq 5 og n(1−p)≥5n(1-p) \geq 5
- Bruk kontinuitetskorreksjon (±0,5\pm 0{,}5) for bedre nøyaktighet

Viktige z-verdier: z0,025=1,96z_{0{,}025} = 1{,}96 (95%), z0,05=1,645z_{0{,}05} = 1{,}645 (90%), z0,005=2,576z_{0{,}005} = 2{,}576 (99%)

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.