4.1 Sannsynlighetsfordelinger

Tall styrt av tilfeldigheter

På skoleballet selges lodd til inntekt for russetiden, og du står med ett i hånden. Gevinsten kan bli 0, 50, 100 eller 500 kroner — men hvilken det blir, avgjøres av tilfeldighetene. Antall riktige på en flervalgsprøve du gjetter på, antall kunder i kiosken i storefri, gevinsten i et terningspill: alle er tall bestemt av tilfeldigheter. Slike tallverdier kalles stokastiske variabler, og vi bruker store bokstaver som $X$, $Y$ og $Z$ for dem.

En diskret stokastisk variabel $X$ kan ta et endelig (eller tellbart) antall verdier $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ er en tabell eller formel som angir $P(X = x_i)$ for hver mulig verdi. To krav må alltid være oppfylt: hver sannsynlighet ligger mellom 0 og 1, og summen av alle sannsynlighetene er nøyaktig 1 — noe må jo skje.

Det enkleste eksempelet er et terningkast. La $X$ være antall øyne. Da kan $X$ ta verdiene 1 til 6, hver med sannsynlighet $\displaystyle \frac{1}{6}$, og kontrollen stemmer: $\displaystyle 6 \cdot \frac{1}{6} = 1$. Når alle utfall er like sannsynlige, kaller vi det en uniform fordeling.

Men tabellen alene svarer ikke på de spørsmålene vi egentlig stiller: Hva kan jeg vente å vinne på loddet? Og hvor mye varierer resultatet fra gang til gang? Til det trenger vi to nøkkeltall — forventningsverdien og variansen — og det er dem denne fortellingen handler om.

Hva er loddet egentlig verdt?

Lotteriet på ballet har denne gevinstfordelingen: gevinst 0 kr med sannsynlighet $0{,}60$, 50 kr med $0{,}25$, 100 kr med $0{,}10$ og 500 kr med $0{,}05$. Et lodd koster 40 kroner. Er det verdt det?

Forventningsverdien til en diskret stokastisk variabel er det vektede gjennomsnittet av alle mulige verdier, der vektene er sannsynlighetene: $$E(X) = \mu = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)$$ Tolkningen: gjentar vi forsøket mange ganger, vil gjennomsnittet av resultatene nærme seg $E(X)$ — det er «langtidsgjennomsnittet».

For loddet: $E(X) = 0 \cdot 0{,}60 + 50 \cdot 0{,}25 + 100 \cdot 0{,}10 + 500 \cdot 0{,}05 = 0 + 12{,}50 + 10 + 25 = 47{,}50$ kroner. Forventet gevinst er altså 47,50 kr, mens loddet koster 40 kr — forventet nettogevinst er $+7{,}50$ kr per lodd. Et slikt lotteri er ikke «rettferdig» i matematisk forstand (forventet gevinst er ikke lik prisen), og i praksis ville arrangøren tapt penger og justert prisen eller sannsynlighetene. Hos kommersielle spillselskaper er regnestykket alltid motsatt: forventningsverdien er lavere enn prisen.

Forventningsverdien følger enkle regneregler: $E(aX + b) = aE(X) + b$ og $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$. Forventningen er altså lineær — konstanter kan flyttes ut, og summer kan splittes. For terningen er for eksempel $\displaystyle E(X) = \frac{1+2+\cdots+6}{6} = 3{,}5$; kaster du to terninger, er forventet sum $3{,}5 + 3{,}5 = 7$ uten videre regning.

Spredningen rundt gjennomsnittet

To lotterier kan ha nøyaktig samme forventningsverdi og likevel føles helt forskjellige: ett gir alltid rundt 50 kr, det andre gir som regel null men av og til tusenvis. Forskjellen er spredningen, og målet for den er variansen: $$\text{Var}(X) = \sigma^2 = E[(X - \mu)^2] = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$$ Variansen er altså det forventede kvadratavviket fra gjennomsnittet. Stor varians betyr stor usikkerhet.

I praksis regner vi nesten alltid med den alternative formelen $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$, der $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X = x_i)$ — den er raskere fordi du slipper å beregne avviket for hver verdi. Standardavviket $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ henter spredningen tilbake til samme enhet som $X$ (variansen har enheten i andre potens).

Vi regner på terningen. Vi har $E(X) = 3{,}5$. Videre er $\displaystyle E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$. Da er $\displaystyle \text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$, og $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1{,}71$ øyne.

Variansen har sine egne regneregler: $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$. Legg merke til at konstanten $b$ forsvinner — å legge til et fast beløp forskyver fordelingen, men endrer ikke spredningen. Og koeffisienten kvadreres. For uavhengige variabler gjelder dessuten $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$.

Et eksempel som samler alt: $X$ har $E(X) = 5$ og $\text{Var}(X) = 4$, og vi lar $Y = 3X - 2$. Da er $E(Y) = 3 \cdot 5 - 2 = 13$, $\text{Var}(Y) = 3^2 \cdot 4 = 36$ og $\text{SD}(Y) = 6$.

Oppsummering: to tall som beskriver tilfeldigheten

Fra loddsalget på skoleballet har vi bygget hele grunnmuren for sannsynlighetsregningen i S2. En stokastisk variabel er en tallverdi styrt av tilfeldigheter, og sannsynlighetsfordelingen er oversikten over $P(X = x)$ for alle mulige verdier — med kravene at hver sannsynlighet ligger mellom 0 og 1 og at summen er nøyaktig 1.

To nøkkeltall beskriver fordelingen. Forventningsverdien $E(X) = \sum x_i P(X = x_i)$ er det vektede gjennomsnittet og tolkes som langtidsgjennomsnittet ved mange gjentakelser — det var slik vi fant at lotteriloddet var verdt 47,50 kr og at et terningkast i snitt gir 3,5 øyne. Variansen $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ måler spredningen rundt gjennomsnittet, og standardavviket $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ uttrykker den i samme enhet som $X$.

Regnereglene gjør tunge beregninger lette: forventningen er lineær, $E(aX + b) = aE(X) + b$ og $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$, mens variansen følger $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$ — konstantledd forsvinner, koeffisienter kvadreres — og for uavhengige variabler adderes variansene: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$.

Disse begrepene er språket alt det neste uttrykkes i: binomisk og hypergeometrisk fordeling, normalfordelingen og etter hvert estimering og hypotesetesting. Hver gang du møter en ny fordeling, er de to første spørsmålene alltid de samme: hva er forventningsverdien, og hvor stor er spredningen?