3.8 Implisitt derivasjon og relaterte rater

Implisitt derivasjon for dy/dx og relaterte rater for tidsavhengige størrelser.

55 min

8 oppgaver

Implisitt derivasjonRelaterte raterKjerneregelen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Fullstendig funksjonsdrøfting

Implisitt derivasjon

Hittil har vi derivert funksjoner der $y$ er gitt eksplisitt som en funksjon av $x$ , for eksempel $y = x^2 + 3x$ . Men noen ganger er sammenhengen mellom $x$ og $y$ gitt implisitt, det vil si som en likning der $x$ og $y$ opptrer sammen, for eksempel:

$x^2 + y^2 = 25 \qquad \text{(sirkel med radius 5)}$

Her er det vanskelig eller umulig å løse for $y$ som en enkel funksjon av $x$ . I stedet kan vi derivere begge sider av likningen med hensyn på $x$ og behandle $y$ som en funksjon av $x$ .

Nøkkelregel: Når vi deriverer et uttrykk som inneholder $y$ , bruker vi kjerneregelen. Siden $y$ er en funksjon av $x$ , blir den deriverte av $y$ med hensyn på $x$ lik $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .

Implisitt derivasjon

\displaystyle \frac{dy}{dx}

✏️Implisitt derivasjon av en sirkel

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for sirkelen $x^2 + y^2 = 25$ .

Vi deriverer begge sider med hensyn på

x

$\frac{d}{dx}[x^2] + \frac{d}{dx}[y^2] = \frac{d}{dx}[25]$

$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

Vi løser for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ :

$2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

Tolkning: Stigningstallet til tangenten i punktet $(x, y)$ på sirkelen er $\displaystyle -\frac{x}{y}$ . For eksempel i punktet $(3, 4)$ : $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$ .

Sjekk: Vi kan også løse for $y = \sqrt{25 - x^2}$ (øvre halvsirkel) og derivere eksplisitt: $\displaystyle y' = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} = \frac{-x}{y}$ ✓

✏️Implisitt derivasjon med produktregel

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ dersom $x^2y + xy^2 = 6$ .

Vi deriverer begge sider med hensyn på

x

. Merk at vi trenger produktregelen for begge ledd:

Ledd 1: $\displaystyle \frac{d}{dx}[x^2 y]$

Produktregelen: $\displaystyle 2x \cdot y + x^2 \cdot \frac{dy}{dx}$

Ledd 2: $\displaystyle \frac{d}{dx}[xy^2]$

Produktregelen: $\displaystyle 1 \cdot y^2 + x \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx}$

Samlet:

$2xy + x^2 \frac{dy}{dx} + y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$

Samle ledd med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ :

$\frac{dy}{dx}(x^2 + 2xy) = -2xy - y^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy - y^2}{x^2 + 2xy} = \frac{-y(2x + y)}{x(x + 2y)}$

Relaterte rater

Når to eller flere størrelser som begge avhenger av tiden $t$ er knyttet sammen av en likning, endrer de seg med relaterte rater. Dersom vi kjenner endringsraten til én størrelse, kan vi finne endringsraten til en annen.

Fremgangsmåte for problemer med relaterte rater:
1. Identifiser variablene og hva som er gitt/etterspurt.
2. Skriv opp likningen som knytter variablene sammen.
3. Deriver implisitt med hensyn på $t$ (tid).
4. Sett inn kjente verdier og løs for den ukjente raten.

Viktig: Ikke sett inn tallverdier før du deriverer! Derivasjon gjøres på den generelle likningen.

✏️Relaterte rater - stige mot vegg

En 5 meter lang stige lener mot en vegg. Foten av stigen glir utover med fart $0{,}5$ m/s. Hvor raskt synker toppen av stigen når foten er 3 meter fra veggen?

1. Variablene:
La

x

være avstanden fra veggen til foten av stigen, og

y

være høyden der stigen treffer veggen. Begge er funksjoner av tiden

t

Gitt: $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 0{,}5$ m/s. Finn: $\displaystyle \frac{dy}{dt}$ når $x = 3$ .

2. Sammenhengen (Pytagoras):
$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$

Når $x = 3$ : $y = \sqrt{25 - 9} = 4$ m.

3. Deriver med hensyn på $t$ :
$2x \cdot \frac{dx}{dt} + 2y \cdot \frac{dy}{dt} = 0$

4. Sett inn verdier:
$2 \cdot 3 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 4 \cdot \frac{dy}{dt} = 0$

$3 + 8 \cdot \frac{dy}{dt} = 0$

$\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{8} = -0{,}375 \text{ m/s}$

Toppen av stigen synker med $0{,}375$ m/s (negativt fortegn betyr at $y$ avtar).

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ved implisitt derivasjon av $x^2 + 4y^2 = 16$ .

Finn stigningstallet til tangenten til ellipsen $x^2 + 4y^2 = 16$ i punktet $(2, \sqrt{3})$ .

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for $x^3 + y^3 = 6xy$ og bestem stigningstallet i punktet $(3, 3)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for $\sin(x) + \cos(y) = 1$ .

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for $e^{xy} = x + y$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

En sirkulær oljeflek på vann utvider seg slik at radiusen øker med $0{,}2$ m/s. Hvor raskt øker arealet av flekken når radiusen er 5 meter?

To biler starter fra samme punkt. Bil A kjører nordover med 60 km/t og bil B kjører østover med 80 km/t. Hvor raskt øker avstanden mellom bilene etter 2 timer?

En konisk haug med sand har alltid forholdet høyde:radius = 2:1. Sand tilføres med $3$ m³/min. Hvor raskt øker høyden når haugen er 4 meter høy?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Implisitt derivasjon:
- Brukes når $y$ ikke er gitt eksplisitt som funksjon av $x$ .
- Deriver begge sider av likningen med hensyn på $x$ , og bruk kjerneregelen for ledd med $y$ .
- Løs for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ - svaret kan inneholde både $x$ og $y$ .

Relaterte rater:
- Brukes når flere variable endres over tid og er knyttet sammen av en likning.
- Deriver likningen implisitt med hensyn på $t$ .
- Sett inn kjente verdier etter derivasjon.
- Negativt fortegn betyr at størrelsen avtar.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.