3.8 Implisitt derivasjon og relaterte rater

Likninger uten fasit for y

Du sitter med likningen $x^2 + y^2 = 25$ — en sirkel med radius 5 — og skal finne hvor bratt kurven er i et bestemt punkt. Men det finnes ingen formel $y = f(x)$ å derivere; $x$ og $y$ opptrer sammen i likningen, sammenfiltret. Sammenhengen er gitt implisitt.

Hittil har vi derivert funksjoner der $y$ er gitt eksplisitt, som $y = x^2 + 3x$. For sirkelen kunne vi i nødsfall løse ut $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$, men det blir to funksjoner og stygge røtter — og for mange kurver er det helt umulig. I stedet deriverer vi begge sider av likningen med hensyn på $x$ og behandler $y$ som en funksjon av $x$ hele veien.

Nøkkelregelen er kjerneregelen: siden $y = y(x)$, blir den deriverte av et uttrykk med $y$ alltid ganget med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$. Spesielt er $\displaystyle \frac{d}{dx}[y^n] = n y^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx}$. Fremgangsmåten i fire steg: deriver begge sider med hensyn på $x$; bruk kjerneregelen på alle ledd med $y$; samle leddene med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ på én side; løs for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$. Svaret vil vanligvis inneholde både $x$ og $y$ — naturlig nok, siden stigningen avhenger av hvilket punkt på kurven du står i.

Og teknikken har en praktisk superkraft: når den underliggende variabelen er tiden, gir den oss «relaterte rater» — verktøyet brannmannskaper, ingeniører og fysikere bruker når flere størrelser endrer seg samtidig.

Sirkelen og produktregelen

Vi deriverer sirkellikningen $x^2 + y^2 = 25$ med hensyn på $x$: $\displaystyle \frac{d}{dx}[x^2] + \frac{d}{dx}[y^2] = \frac{d}{dx}[25]$ gir $\displaystyle 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$. Vi løser: $\displaystyle 2y\frac{dy}{dx} = -2x$, altså $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.

Tolkningen er konkret: stigningstallet til tangenten i punktet $(x, y)$ på sirkelen er $\displaystyle -\frac{x}{y}$. I punktet $(3, 4)$ er tangenten altså $\displaystyle -\frac{3}{4}$ bratt. Vi kan sjekke mot den eksplisitte øvre halvsirkelen $y = \sqrt{25 - x^2}$: vanlig derivasjon gir $\displaystyle y' = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} = -\frac{x}{y}$ — samme svar, men det implisitte resultatet dekker hele sirkelen i én formel.

Så en likning der eksplisitt løsning er uaktuell: $x^2y + xy^2 = 6$. Begge leddene er produkter av noe med $x$ og noe med $y$, så vi trenger produktregelen. Første ledd: $\displaystyle \frac{d}{dx}[x^2y] = 2xy + x^2\frac{dy}{dx}$. Andre ledd: $\displaystyle \frac{d}{dx}[xy^2] = y^2 + 2xy\frac{dy}{dx}$. Samlet: $\displaystyle 2xy + x^2\frac{dy}{dx} + y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$. Vi samler leddene med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$: $\displaystyle \frac{dy}{dx}(x^2 + 2xy) = -2xy - y^2$, og dermed $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{-2xy - y^2}{x^2 + 2xy} = \frac{-y(2x+y)}{x(x+2y)}$.

Legg merke til hvor mekanisk det egentlig er: hvert $y$-ledd får sin $\displaystyle \frac{dy}{dx}$-faktor via kjerneregelen, produktregelen brukes der det trengs, og resten er algebra. Det som så ut som en umulig likning, ga fra seg stigningstallet på fire linjer.

Stigen som glir

Nå lar vi tiden komme inn i bildet. En 5 meter lang stige står lent mot en husvegg. Foten av stigen glir utover med en fart på $0{,}5$ m/s. Spørsmålet en sikkerhetsingeniør ville stilt: hvor raskt synker toppen av stigen i det øyeblikket foten er 3 meter fra veggen?

Dette er et problem med relaterte rater: to størrelser — avstanden $x$ fra veggen til stigefoten og høyden $y$ der stigen treffer veggen — endrer seg begge med tiden, og de er bundet sammen av en likning. Kjenner vi den ene endringsraten, finner vi den andre.

Fremgangsmåten har fire steg. Identifiser variablene: $x$ og $y$ er funksjoner av $t$; gitt er $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 0{,}5$ m/s, og vi søker $\displaystyle \frac{dy}{dt}$ når $x = 3$. Skriv opp likningen som knytter dem sammen — her Pytagoras: $x^2 + y^2 = 25$. (Når $x = 3$ er $y = \sqrt{25 - 9} = 4$.) Deriver implisitt med hensyn på $t$: $\displaystyle 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$. Sett inn kjente verdier og løs: $\displaystyle 2 \cdot 3 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 4 \cdot \frac{dy}{dt} = 0$ gir $\displaystyle 3 + 8\frac{dy}{dt} = 0$, altså $\displaystyle \frac{dy}{dt} = -\frac{3}{8} = -0{,}375$ m/s. Toppen synker med $0{,}375$ m/s — det negative fortegnet betyr nettopp at $y$ avtar.

Én regel er hellig: ikke sett inn tallverdier før du deriverer. Likningen $x^2 + y^2 = 25$ beskriver sammenhengen til alle tider; setter du inn $x = 3$ og $y = 4$ først, står du igjen med konstanten $9 + 16 = 25$, og all informasjon om endring er borte. Derivasjonen gjøres alltid på den generelle likningen — tallene kommer til slutt.

Oppsummering: floker som lar seg derivere

Vi har lært å hente stigningstall ut av likninger som aldri røper $y$ direkte. Implisitt derivasjon brukes når $y$ ikke er gitt eksplisitt som funksjon av $x$: deriver begge sider av likningen med hensyn på $x$, bruk kjerneregelen på alle ledd med $y$ — slik at $\displaystyle \frac{d}{dx}[y^n] = ny^{n-1}\frac{dy}{dx}$ — og løs for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$. Svaret kan inneholde både $x$ og $y$, for stigningen avhenger av punktet: på sirkelen $x^2 + y^2 = 25$ ble den $\displaystyle -\frac{x}{y}$, og med produktregelen taklet vi til og med $x^2y + xy^2 = 6$.

Når tiden er den underliggende variabelen, blir samme teknikk til relaterte rater: flere størrelser endrer seg samtidig og er bundet sammen av en likning. Oppskriften er fast: identifiser variablene og hva som er gitt og etterspurt, skriv opp likningen som knytter dem sammen, deriver implisitt med hensyn på $t$, og sett inn kjente verdier til slutt. Slik fant vi at stigetoppen sank med $0{,}375$ m/s når foten gled utover med $0{,}5$ m/s — og det negative fortegnet fortalte oss selv at størrelsen avtok.

Den viktigste regelen å ta med videre: derivér den generelle likningen først, og sett inn tall etterpå. Setter du inn verdiene for tidlig, fryser du situasjonen til et stillbilde, og all informasjon om endring går tapt. Implisitt derivasjon handler nettopp om det motsatte — å holde alle størrelsene levende og sammenkoblede til vi vet nøyaktig hvordan de drar i hverandre.