4.5 Simulering og stokastiske eksperimenter

Monte Carlo-simulering, Python og GeoGebra, store talls lov.

50 min

8 oppgaver

Monte CarloSimuleringPythonStore talls lov

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.4Forventningsverdi og varians

Simulering og Monte Carlo-metoden

Mange sannsynlighetsproblemer er vanskelige eller umulige å løse analytisk. I slike tilfeller kan vi bruke simulering - å gjenta et tilfeldig forsøk mange ganger på en datamaskin og telle utfall.

Monte Carlo-simulering er en metode der vi:
1. Definerer en modell for det stokastiske forsøket
2. Genererer tilfeldige tall for å simulere forsøket
3. Gjentar forsøket et stort antall ganger ( $N$ )
4. Bruker de observerte frekvensene som estimat for sannsynligheter

Navnet kommer fra kasinoet i Monte Carlo, fordi metoden bygger på tilfeldighet - akkurat som et kasino.

Hvorfor simulering?
- Noen problemer er for kompliserte til å løse eksakt
- Simulering gir en intuitiv forståelse av sannsynligheter
- Digitale verktøy gjør det enkelt å kjøre tusenvis av forsøk
- Resultatene kan brukes til å kontrollere analytiske beregninger

Tilfeldige tall og pseudotilfeldighet

[0, 1)

📜Store talls lov

Store talls lov sier at gjennomsnittet av observasjonene i et forsøk vil nærme seg forventningsverdien når antall forsøk øker.

Mer presist: La $X_1, X_2, \ldots, X_n$ være uavhengige stokastiske variabler med samme fordeling og forventningsverdi $\mu$ . Da gjelder:

$\bar{X}_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n} \to \mu \quad \text{når } n \to \infty$

I praksis betyr dette:
- Den relative frekvensen av en hendelse nærmer seg den teoretiske sannsynligheten
- Gjennomsnittlig gevinst i et spill nærmer seg forventningsverdien
- Estimatene fra simulering blir bedre (med lavere standardfeil) for større $n$

Standardfeil for estimat: $\displaystyle \text{SE}(\hat{p}) \approx \frac{1}{\sqrt{N}}$

For $N = 10\,000$ er standardfeilen ca. 0,01. For $N = 1\,000\,000$ er den ca. 0,001.

Advarsel: Store talls lov sier ikke at det vil «jevne seg ut» på kort sikt (gamblerfeilslutning). Hvert enkelt forsøk er fortsatt helt tilfeldig.

✏️Monte Carlo-simulering i Python

Bruk Monte Carlo-simulering til å estimere arealet av en sirkel med radius 1 ved å bruke tilfeldige punkter i kvadratet $[-1, 1] \times [-1, 1]$ .

Metoden: Et tilfeldig punkt

(x, y)

i kvadratet med sidelengde 2 er innenfor sirkelen dersom

x^2 + y^2 \leq 1

$P(\text{punkt i sirkel}) = \frac{\text{Areal sirkel}}{\text{Areal kvadrat}} = \frac{\pi \cdot 1^2}{2^2} = \frac{\pi}{4}$

Dermed er $\pi \approx 4 \cdot \hat{p}$ .

import random

N = 1_000_000
innenfor = 0

for _ in range(N):
    x = random.uniform(-1, 1)
    y = random.uniform(-1, 1)
    if x**2 + y**2 <= 1:
        innenfor += 1

pi_estimat = 4 * innenfor / N
print(f"Estimert pi = {pi_estimat:.5f}")
print(f"Eksakt pi   = {3.14159:.5f}")

Kjøring gir for eksempel: $\hat{\pi} \approx 3{,}14152$

Standardfeilen er $\displaystyle \approx \frac{1}{\sqrt{10^6}} = 0{,}001$ , som stemmer med avviket fra eksakt $\pi$ .

✏️Store talls lov illustrert ved myntkast

Simuler 5000 myntkast og vis grafisk hvordan andelen kron nærmer seg 0,5. Forklar hva grafen illustrerer om konvergensen av estimater.

import random
import matplotlib.pyplot as plt

N = 5000
antall_kron = 0
andel_kron = []

for i in range(1, N + 1):
    kast = random.randint(0, 1)  # 0 = mynt, 1 = kron
    antall_kron += kast
    andel_kron.append(antall_kron / i)

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(range(1, N + 1), andel_kron, linewidth=0.7, label='Estimert P(kron)')
plt.axhline(y=0.5, color='r', linestyle='--', label='Teoretisk verdi (0,5)')
plt.xlabel('Antall kast')
plt.ylabel('Andel kron')
plt.title('Store talls lov: Konvergens mot 0,5')
plt.legend()
plt.ylim(0.3, 0.7)
plt.show()

Tolkning: Grafen viser at andelen kron svinger mye i starten (stor usikkerhet for få kast), men gradvis stabiliserer seg rundt $0{,}5$ etter noen tusen kast. Svingningene avtar i takt med $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}$ - dette er store talls lov i praksis.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Skriv et Python-program som simulerer 10 000 kast med en vanlig seksidet terning og estimerer sannsynligheten for å få 6. Sammenlign med den teoretiske verdien.

Forklar hva som menes med pseudotilfeldige tall og hvorfor de er tilfredsstillende for praktisk bruk i statistikk.

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

I en gruppe på 30 personer, hva er sannsynligheten for at minst to har bursdag på samme dag? Estimer svaret med Monte Carlo-simulering ( $N = 50\,000$ gjentagelser). (Anta 365 dager per år.)

Kjøres simuleringen med $N = 100$ gjentagelser versus $N = 100\,000$ gjentagelser, hva forventer du å se? Hva sier store talls lov om forskjellen i nøyaktighet?

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

To terninger kastes og produktet $P = X_1 \cdot X_2$ beregnes. Bruk simulering ( $N = 100\,000$ ) til å estimere $E(P)$ og $\text{Var}(P)$ .

Bruk Python til å tegne et histogram over fordelingen til $P$ basert på 100 000 simuleringer. Beskriv formen på fordelingen. Er den symmetrisk?

Forklar sammenhengen mellom store talls lov og sentral grenseverdisetningen. Hva sier sentral grenseverdisetningen om fordelingen til $\bar{X}_n$ for store $n$ ?

Oppsummering

Monte Carlo-simulering:
- Estimer $\displaystyle P(A) \approx \frac{\text{antall ganger } A \text{ inntreffer}}{N}$
- Standardfeil for estimatet: $\displaystyle \text{SE} \approx \frac{1}{\sqrt{N}}$
- Typisk brukes $N \geq 10\,000$ for god presisjon

Store talls lov:
- $\bar{X}_n \to \mu$ når $n \to \infty$
- Gjelder for alle fordelinger med endelig forventningsverdi
- Forklarer hvorfor simulering fungerer

Python-verktøy: random.random(), random.randint(), random.choice(), random.seed()

GeoGebra-verktøy: TilfeldigMellom(), Tilfeldig() og regnearket for simulering

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.