4.6 Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

Når verdiene ikke kan telles

På et kundesenter ringer telefonen — men nøyaktig når neste anrop kommer, kan ingen si. Ventetiden kan bli 3 minutter, 3,7 minutter eller 3,7124 minutter; den kan ta alle verdier i et intervall. Det samme gjelder høyden til en tilfeldig person, temperaturen i morgen og feilen i en produksjonsprosess. Slike størrelser er kontinuerlige, i motsetning til de diskrete variablene vi har telt oss gjennom så langt.

Og her skjer noe som først virker paradoksalt: for en kontinuerlig variabel $X$ er $P(X = x) = 0$ for hver enkelt verdi. Sannsynligheten for at ventetiden blir nøyaktig 3,7124000... minutter er null — det finnes uendelig mange kandidater. Det som har mening, er sannsynligheter for intervaller, og de beregnes med integrasjon: $$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx$$ der $f(x)$ er tetthetsfunksjonen (pdf) til $X$.

En funksjon kan være tetthetsfunksjon hvis den oppfyller to krav: $f(x) \geq 0$ overalt, og $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$ — den totale sannsynligheten er 1. Geometrisk er sannsynlighet areal under kurven. Merk en vanlig misforståelse: $f(x)$ er ikke selv en sannsynlighet og kan godt være større enn 1 — det er arealet som teller.

Forventning og varians defineres med integraler i stedet for summer: $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx$ og $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ der $E(X^2) = \int x^2 f(x)\,dx$. Alt vi kunne om diskrete fordelinger, har altså en kontinuerlig tvilling — med $\int$ der det før sto $\sum$.

Å regne med tettheter

Vi prøver maskineriet på en konkret tetthet. La $f(x) = cx^2$ for $0 \leq x \leq 3$ og $f(x) = 0$ ellers. Tre spørsmål: Hva må $c$ være? Hva er $P(1 \leq X \leq 2)$? Og hva er $E(X)$?

Konstanten bestemmes av kravet om totalareal 1: $\displaystyle \int_0^3 cx^2\,dx = c\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9c = 1$, så $\displaystyle c = \frac{1}{9}$. Sannsynligheten: $\displaystyle P(1 \leq X \leq 2) = \int_1^2 \frac{x^2}{9}\,dx = \frac{1}{9} \cdot \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{27} \approx 0{,}259$. Forventningen: $\displaystyle E(X) = \int_0^3 x \cdot \frac{x^2}{9}\,dx = \frac{1}{9}\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^3 = \frac{81}{36} = 2{,}25$.

Ved siden av tetthetsfunksjonen finnes en annen funksjon som ofte er enda mer praktisk: den kumulative fordelingsfunksjonen (cdf), $$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$$ Den samler opp all sannsynlighet til venstre for $x$. Egenskapene følger av definisjonen: $F$ er ikke-avtagende, $F(-\infty) = 0$, $F(\infty) = 1$, og — vakkert nok — $F'(x) = f(x)$: tettheten er den deriverte av den kumulative fordelingen. Analysens fundamentalteorem binder altså sannsynlighetsteorien sammen.

Nytten er umiddelbar: $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)$ og $P(X > a) = 1 - F(a)$. Har du først funnet $F$, slipper du å integrere på nytt for hvert spørsmål — det er derfor tabeller (som for normalfordelingen) alltid er tabeller over cdf-en. Du kan alltid utlede cdf ved å integrere pdf, og alltid kontrollere en tetthet ved å sjekke at integralet er 1.

Den flate og den glemsomme

To kontinuerlige fordelinger går igjen i modellering, og de har helt ulik personlighet.

Den første er uniform fordeling, $X \sim U(a, b)$: fullstendig tilfeldighet der alle verdier i intervallet $[a, b]$ er like «tette». Tetthetsfunksjonen er flat, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{b-a}$ på intervallet og null utenfor, og cdf-en vokser lineært: $\displaystyle F(x) = \frac{x-a}{b-a}$ for $a \leq x \leq b$. Forventningen ligger naturlig nok i midten, $\displaystyle E(X) = \frac{a+b}{2}$, og variansen er $\displaystyle \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$. En buss som kommer «en eller annen gang» i et kvarters vindu, et tilfeldig tall fra random.random() — uniforme fordelinger begge to.

Den andre er eksponentialfordelingen, $X \sim \text{Exp}(\lambda)$ med $\lambda > 0$: modellen for ventetider mellom hendelser — tid til neste telefonsamtale, levetiden til en komponent. Tettheten er $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ for $x \geq 0$, cdf-en er $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$, og dermed er «overlevelsessannsynligheten» $P(X > t) = e^{-\lambda t}$. Forventningen er $\displaystyle E(X) = \frac{1}{\lambda}$ og variansen $\displaystyle \frac{1}{\lambda^2}$.

Tilbake til kundesenteret: anrop kommer i snitt 4 per time, så ventetiden mellom anrop er $\text{Exp}(4)$ (målt i timer). Sannsynligheten for at det går mer enn 30 minutter ($0{,}5$ timer) til neste anrop: $P(X > 0{,}5) = e^{-4 \cdot 0{,}5} = e^{-2} \approx 0{,}135$. Innen 10 minutter ($\displaystyle \frac{1}{6}$ time): $\displaystyle P(X \leq \frac{1}{6}) = 1 - e^{-2/3} \approx 0{,}487$. Og forventet ventetid: $\displaystyle \frac{1}{4}$ time, altså 15 minutter.

Eksponentialfordelingens signatur er hukommelsesløsheten: $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$. Har du alt ventet en halvtime, er sannsynligheten for å vente ti minutter til nøyaktig den samme som da du begynte. Fordelingen «husker ikke» fortiden — akkurat som mynten i forrige kapittel.

Oppsummering: sannsynlighet som areal

Kundesenterets ventetider førte oss fra det tellbare til det kontinuerlige. For kontinuerlige stokastiske variabler er punktsannsynligheter null; alt uttrykkes gjennom tetthetsfunksjonen $f(x)$, som må være ikke-negativ og ha totalareal 1, og sannsynligheter er arealer: $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx$. Husk at $f(x)$ selv ikke er en sannsynlighet og godt kan overstige 1. Forventning og varians beregnes med integraler: $E(X) = \int x f(x)\,dx$ og $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.

Den kumulative fordelingsfunksjonen $F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$ er det praktiske oppslagsverktøyet: $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)$, $P(X > a) = 1 - F(a)$, og $F'(x) = f(x)$ knytter de to funksjonene sammen via fundamentalteoremet. Du kan alltid utlede cdf fra pdf ved integrasjon — og alltid kontrollere en tetthet ved å sjekke at integralet blir 1.

To standardmodeller bør du kjenne igjen på avstand. Den uniforme fordelingen $U(a,b)$ — flat tetthet $\displaystyle \frac{1}{b-a}$, $\displaystyle E(X) = \frac{a+b}{2}$, $\displaystyle \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ — beskriver ren tilfeldighet i et intervall. Eksponentialfordelingen $\text{Exp}(\lambda)$ — tetthet $\lambda e^{-\lambda x}$, $\displaystyle E(X) = \frac{1}{\lambda}$, overlevelse $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ — beskriver ventetider, og dens hukommelsesløshet betyr at fortiden aldri endrer utsiktene. Sammen med normalfordelingen utgjør disse verktøykassen for kontinuerlig sannsynlighet — og broen over til neste tema: å bruke fordelingene til å trekke konklusjoner fra data.