1.2 Bestemte integraler

Hvor mye ble det til sammen?

Du sitter i et møte i en gründerbedrift som driver en strikkevarebutikk på nett. Salgsinntektene strømmer inn med varierende fart gjennom sesongen, og daglig leder vil vite én ting: «Hvor mye tjente vi totalt mellom uke 1 og uke 3?» Du har en modell for inntektsraten, men raten alene svarer ikke på spørsmålet. Du trenger summen av alle de små bidragene over hele perioden.

Det er akkurat dette et bestemt integral gjør. Mens det ubestemte integralet fra forrige kapittel ga oss en funksjonsfamilie $F(x) + C$, beregner det bestemte integralet «summen» av funksjonsverdier over et intervall. Vi skriver

$$\int_a^b f(x) \, dx$$

der $a$ er nedre grense og $b$ er øvre grense. Du kan tenke på det som at vi deler intervallet fra $a$ til $b$ i bittesmå biter, ganger funksjonsverdien i hver bit med bitens bredde, og legger sammen alt. Geometrisk er resultatet arealet mellom grafen og $x$-aksen — i hvert fall så lenge grafen ligger over aksen.

Den store forskjellen fra forrige kapittel er at svaret ikke lenger er en funksjon med en mystisk konstant $C$, men et helt konkret tall: totale inntekter i kroner, total strekning i meter, totalt strømforbruk i kilowattimer. Og det vakre er at vi slipper å summere uendelig mange småbiter manuelt. En av matematikkhistoriens viktigste oppdagelser — analysens fundamentalteorem — gir oss en snarvei som bruker antideriverte direkte. La oss se hvordan.

Analysens fundamentalteorem

Snarveien heter analysens fundamentalteorem, og det fortjener navnet: det kobler sammen de to store operasjonene derivasjon og integrasjon. Teoremet sier at hvis $F(x)$ er en antiderivert til $f(x)$, så er

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b$$

I stedet for å summere uendelig mange småbiter, finner vi en antiderivert, setter inn øvre og nedre grense og trekker fra. Klammeparentesen $[F(x)]_a^b$ er bare en praktisk skrivemåte for «$F(b)$ minus $F(a)$».

La oss bruke dette på strikkebutikken. Si at inntektsraten i tusen kroner per uke er $f(x) = 2x + 1$, der $x$ er ukenummer. Totalinntekten fra uke 1 til uke 3 er da

$$\int_1^3 (2x + 1) \, dx$$

Først finner vi en antiderivert: $F(x) = x^2 + x$. Så setter vi inn grensene:

$$[x^2 + x]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10$$

Butikken tjente altså 10 000 kroner i perioden. Legg merke til at vi ikke trengte noen $+C$: hadde vi tatt med konstanten, ville den stått i både $F(b)$ og $F(a)$ og forsvunnet i subtraksjonen. Det bestemte integralet er et tall, ikke en funksjon.

Det samme oppskriften fungerer for alle funksjonene du lærte å integrere i forrige kapittel. For eksempel er $\int_0^2 e^x \, dx = [e^x]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}39$. Finn antiderivert, sett inn, trekk fra — det er hele jobben.

Regneregler og tolkning av fortegn

Bestemte integraler følger noen enkle og svært nyttige regneregler. Den første er nesten selvsagt: $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ — et intervall uten bredde gir ingen sum, akkurat som en butikk ikke tjener noe på null uker. Den andre handler om retning: bytter vi grensene, skifter integralet fortegn, $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$.

Den tredje regelen er kanskje den mest praktiske: vi kan dele opp intervallet i et mellomliggende punkt $c$,

$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$$

Inntekten for hele kvartalet er summen av inntektene for hver måned — det høres opplagt ut, men regelen er gull verdt når en funksjon oppfører seg ulikt på ulike deler av intervallet. Og som før kan konstanter settes utenfor: $\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$.

Så en viktig advarsel om tolkning: integralet kan bli negativt. Hvis grafen ligger under $x$-aksen — for eksempel hvis bedriftens resultat per uke er negativt i en tapsperiode — gir integralet et negativt bidrag. Det bestemte integralet måler altså fortegnsbestemt areal, og et negativt svar betyr ofte noe konkret: underskudd, tilbakelagt strekning i negativ retning, netto uttak fra en konto.

Symmetri kan utnyttes også. For en odde funksjon (der $f(-x) = -f(x)$, som $f(x) = x^3$) er $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$, fordi det negative arealet til venstre nøyaktig opphever det positive til høyre. Og substitusjonsteknikken fra forrige kapittel virker fortsatt — men husk at grensene hører til $x$, så du må enten bytte dem til $u$-verdier eller gå tilbake til $x$ før du setter inn.

Et tall med mening

Daglig leder fikk svaret sitt: 10 000 kroner mellom uke 1 og uke 3, regnet ut på tre linjer takket være analysens fundamentalteorem. Det er kapittelets store idé: integrasjon og derivasjon er motsatte operasjoner, og derfor kan vi beregne $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ ved å finne en antiderivert $F$ og bruke innsettingsnotasjonen $[F(x)]_a^b$.

Underveis lærte du at det bestemte integralet er et tall, ikke en funksjon, og at integrasjonskonstanten $C$ kansellerer i subtraksjonen. Du fikk regnereglene: $\int_a^a = 0$, grensebytte gir fortegnsskifte, intervaller kan deles opp i et mellompunkt, og konstanter kan settes utenfor. Og du så at integralet måler fortegnsbestemt areal — ligger grafen under $x$-aksen, blir bidraget negativt, noe som i en økonomisk modell typisk betyr underskudd. For odde funksjoner over symmetriske intervaller gir det null, og substitusjon fungerer fortsatt så lenge du holder styr på grensene.

I neste delkapittel snur vi på perspektivet: i stedet for å tolke integralet som en totalsum, skal vi bruke det til å beregne selve arealene — under én kurve og mellom to kurver. Da blir fortegnsdiskusjonen herfra helt avgjørende.