1.5 Integrasjon ved substitusjon | Matematikk S2

Bruke substitusjon som metode for å løse integraler.

55 min

19 oppgaver

SubstitusjonVariabelskifteSammensatte funksjonerKjerneregelen baklengs

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.4Integrasjonsmetoder

Brukes videre i

1.7Integrasjon av rasjonale funksjoner

Hvorfor numerisk integrasjon?

Mange funksjoner lar seg ikke integrere analytisk. For eksempel har $\int e^{-x^2} \, dx$ ingen elementær antiderivert. I slike tilfeller bruker vi numeriske metoder for å beregne tilnærmede verdier av bestemte integraler.

Numerisk integrasjon er også svært nyttig når vi bare har datapunkter (målinger) og ikke kjenner funksjonsuttrykket.

Numerisk integrasjon

\int_a^b f(x) \, dx

📜Trapesformelen

Med

n

delintervaller og

\displaystyle h = \frac{b-a}{n}

er trapesformelen:

$T_n = \frac{h}{2}\Big[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big]$

$= \frac{h}{2}\left[f(x_0) + f(x_n) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\right]$

Trapesformelen tilnærmer arealet ved å erstatte kurvebuen mellom to nabopunkter med en rett linje, slik at hvert delområde blir et trapes.

✏️Trapesformelen med 4 delintervaller

Bruk trapesformelen med $n = 4$ til å tilnærme $\int_0^2 e^{-x^2} \, dx$ .

Vi har

a = 0

b = 2

n = 4

\displaystyle h = \frac{2-0}{4} = 0{,}5

Delingspunktene og funksjonsverdiene:

$k$	$x_k$	$f(x_k) = e^{-x_k^2}$
0	0	$e^0 = 1$
1	0,5	$e^{-0{,}25} \approx 0{,}7788$
2	1,0	$e^{-1} \approx 0{,}3679$
3	1,5	$e^{-2{,}25} \approx 0{,}1054$
4	2,0	$e^{-4} \approx 0{,}0183$

T_4 = \frac{0{,}5}{2}\Big[1 + 2(0{,}7788) + 2(0{,}3679) + 2(0{,}1054) + 0{,}0183\Big]

= 0{,}25 \cdot [1 + 1{,}5576 + 0{,}7358 + 0{,}2108 + 0{,}0183]

= 0{,}25 \cdot 3{,}5225 \approx 0{,}8806

Den eksakte verdien er

\approx 0{,}8821

, så tilnærmingen er ganske god.

📜Simpsons regel

Med et partall

n

delintervaller og

\displaystyle h = \frac{b-a}{n}

er Simpsons regel:

$S_n = \frac{h}{3}\Big[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big]$

Koeffisientene følger mønsteret $1, 4, 2, 4, 2, \ldots, 4, 2, 4, 1$ .

Simpsons regel tilnærmer kurvebuen mellom tre nabopunkter med en parabel (andregradsfunksjon), noe som gir langt bedre nøyaktighet enn trapesformelen.

✏️Simpsons regel med 4 delintervaller

Bruk Simpsons regel med $n = 4$ til å tilnærme $\int_0^2 e^{-x^2} \, dx$ .

Vi bruker de samme verdiene som i forrige eksempel:

h = 0{,}5

$S_4 = \frac{0{,}5}{3}\Big[f(0) + 4f(0{,}5) + 2f(1) + 4f(1{,}5) + f(2)\Big]$

$= \frac{0{,}5}{3}\Big[1 + 4(0{,}7788) + 2(0{,}3679) + 4(0{,}1054) + 0{,}0183\Big]$

$= \frac{0{,}5}{3}\Big[1 + 3{,}1152 + 0{,}7358 + 0{,}4216 + 0{,}0183\Big]$

$= \frac{0{,}5}{3} \cdot 5{,}2909 \approx 0{,}8818$

Den eksakte verdien er $\approx 0{,}8821$ . Simpsons regel gir her en feil på bare $\approx 0{,}0003$ , mye bedre enn trapesformelen ( $\approx 0{,}0015$ ).

📊Utforsk: Trapesmetoden

Trapesmetoden med 4 trapeser tilnærmer $\int_0^2 (x^2 + 1)\, dx$ . Øk antall trapeser (siste tall i kommandoen) og se hvordan tilnærmingen nærmer seg den eksakte verdien $\displaystyle \frac{14}{3}$ .

📜Feilestimering

Feil for trapesformelen:

|E_T| \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2} \cdot M_2

der

M_2 = \max_{a \leq x \leq b} |f''(x)|

Feil for Simpsons regel:
$|E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \cdot M_4$
der $M_4 = \max_{a \leq x \leq b} |f^{(4)}(x)|$ .

Simpsons regel konvergerer altså som $\displaystyle \frac{1}{n^4}$ , mens trapesformelen konvergerer som $\displaystyle \frac{1}{n^2}$ . Dobling av $n$ gir ca. 4 ganger bedre nøyaktighet for trapes, men 16 ganger bedre for Simpson.

✏️Feilestimering og valg av n

Hvor mange delintervaller $n$ trenger vi i trapesformelen for å beregne $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx$ med feil mindre enn $0{,}001$ ?

Vi har $\displaystyle f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ .

$\displaystyle f'(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

$\displaystyle f''(x) = \frac{-2(1+x^2)^2 + 2x \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4} = \frac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3}$

For $x \in [0, 1]$ : $|f''(x)|$ har maksimum i $x = 0$ der $|f''(0)| = 2$ . Altså $M_2 = 2$ .

Feilgrensen: $\displaystyle |E_T| \leq \frac{(1-0)^3}{12n^2} \cdot 2 = \frac{1}{6n^2}$

Vi krever $\displaystyle \frac{1}{6n^2} < 0{,}001$ , altså $\displaystyle n^2 > \frac{1}{0{,}006} \approx 166{,}7$ , som gir $n > 12{,}9$ .

Vi trenger altså minst $n = 13$ delintervaller.

Praktisk bruk

Når bruker vi numerisk integrasjon?

1. Funksjonen har ingen elementær antiderivert: $\int e^{-x^2}\,dx$ , $\displaystyle \int \frac{\sin x}{x}\,dx$ , $\int \sqrt{1 + x^3}\,dx$
2. Funksjonen er gitt som datapunkter: Målinger fra eksperimenter, fartsmålinger, temperaturdatalogger
3. Kontrollregning: Sjekke analytiske svar med numerisk tilnærming

Tommelregel for valg av metode:
- Trapesformelen er enklest å huske og bruke
- Simpsons regel gir bedre nøyaktighet med samme antall beregninger
- Dobling av $n$ og sammenligning gir praktisk feilkontroll

Viktig å huske

- Simpsons regel krever at $n$ er et partall
- Feilen avhenger av høyere deriverte - jo mer «krokete» grafen er, desto flere delintervaller trengs
- For data gitt som tabell: bruk trapesformelen dersom du har odde antall datapunkter, Simpsons regel dersom du har partall

✏️Numerisk integrasjon fra tabell

Farten til en bil (i m/s) er målt hvert 2. sekund:

$t$ (s)	0	2	4	6	8	10
$v(t)$ (m/s)	0	5	12	18	22	25

Beregn tilnærmet tilbakelagt strekning

s = \int_0^{10} v(t)\,dt

med trapesformelen.

Her er

n = 5

h = 2

a = 0

b = 10

$T_5 = \frac{2}{2}\Big[v(0) + 2v(2) + 2v(4) + 2v(6) + 2v(8) + v(10)\Big]$

$= 1 \cdot \Big[0 + 2(5) + 2(12) + 2(18) + 2(22) + 25\Big]$

$= 0 + 10 + 24 + 36 + 44 + 25 = 139 \text{ m}$

Bilen har tilbakelagt omtrent $139$ meter i løpet av $10$ sekunder.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^1 x^2\,dx$ med trapesformelen og $n = 4$ . Sammenlign med eksakt verdi.

Beregn samme integral med Simpsons regel og $n = 4$ . Sammenlign feilen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ med trapesformelen og $n = 4$ .

Finn eksakt verdi av integralet og beregn feilen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Skriv opp formelen for $S_6$ (Simpsons regel med 6 delintervaller) for $\int_0^3 f(x)\,dx$ .

Hva er spesielt med Simpsons regel når funksjonen er et polynom av grad $\leq 3$ ?

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Vannføringen i en elv (i $\text{m}^3/\text{s}$ ) er målt hver time:

$t$ (timer)	0	1	2	3	4
$Q(t)$	10	14	20	18	12

Beregn total vannmengde (i

\text{m}^3

) som har passert i løpet av 4 timer, med trapesformelen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ med trapesformelen for $n = 2$ og $n = 4$ . Kommenter konvergensen.

Beregn samme integral med Simpsons regel for $n = 4$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Bruk feilformelen for trapesmetoden til å vise at $n \geq 10$ delintervaller er nok for å beregne $\int_0^1 e^x\,dx$ med feil $< 0{,}001$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^{\pi} \sin x \, dx$ med Simpsons regel og $n = 6$ . Sammenlign med eksakt verdi.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

En funksjon $f$ er kjent i følgende punkter:

$x$	0	0,5	1	1,5	2
$f(x)$	1,00	1,22	1,65	2,32	3,50

Beregn

\int_0^2 f(x)\,dx

med både trapesformelen og Simpsons regel.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Vis at trapesformelen med $n = 1$ gir $\displaystyle T_1 = \frac{b-a}{2}[f(a) + f(b)]$ , og tegn en figur som illustrerer dette.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Finn det minste $n$ slik at Simpsons regel gir $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx$ med feil $< 10^{-6}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^1 \sqrt{1 + x^3}\,dx$ med Simpsons regel og $n = 4$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Forklar hvorfor trapesformelen systematisk overestimerer integralet dersom $f$ er konveks ( $f''(x) > 0$ ) på hele $[a, b]$ .

Gjelder tilsvarende for Simpsons regel? Begrunn svaret.

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

Akselerasjonen $a(t)$ til en rakett de første 10 sekundene er målt:

$t$ (s)	0	2	4	6	8	10
$a(t)$ (m/s $^2$ )	0	8	15	20	23	25

Raketten starter fra ro. Beregn farten

v(10) = \int_0^{10} a(t)\,dt

med Simpsons regel.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

Integralet $\displaystyle \int_0^1 \frac{\sin x}{x}\,dx$ kan ikke beregnes analytisk. Bruk Simpsons regel med $n = 6$ til å finne en tilnærmet verdi. (Hint: $\displaystyle \frac{\sin x}{x} \to 1$ når $x \to 0$ .)

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Trapesformelen: $\displaystyle T_n = \frac{h}{2}[f(x_0) + 2f(x_1) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]$
- Koeffisienter: $1, 2, 2, \ldots, 2, 1$
- Feil: $O(h^2)$ - konvergerer som $\displaystyle \frac{1}{n^2}$

Simpsons regel: $\displaystyle S_n = \frac{h}{3}[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]$
- Koeffisienter: $1, 4, 2, 4, 2, \ldots, 4, 1$ (krever partall $n$ )
- Feil: $O(h^4)$ - konvergerer som $\displaystyle \frac{1}{n^4}$
- Eksakt for polynomer av grad $\leq 3$

Praktisk: Doble $n$ og sammenlign - dersom svaret endrer seg lite, har vi god nøyaktighet.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.