1.5 Numerisk integrasjon | Matematikk S2

Lær trapesformelen, Simpsons regel, feilestimering og praktisk bruk av numerisk integrasjon når analytisk integrasjon er vanskelig eller umulig.

55 min

22 oppgaver

Numerisk integrasjonTrapesformelenSimpsons regelFeilestimering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 22 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.4Anvendelser av integrasjon

Hvorfor numerisk integrasjon?

Mange funksjoner lar seg ikke integrere analytisk. For eksempel har $\int e^{-x^2} \, dx$ ingen elementær antiderivert. I slike tilfeller bruker vi numeriske metoder for å beregne tilnærmede verdier av bestemte integraler.

Numerisk integrasjon er også svært nyttig når vi bare har datapunkter (målinger) og ikke kjenner funksjonsuttrykket.

Numerisk integrasjon

\int_a^b f(x) \, dx

Venstresum og høyresum

Den enkleste numeriske metoden bruker rektangler. Intervallet $[a, b]$ deles i $n$ delintervaller med bredde $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$ og endepunkter $x_0 = a$ , $x_1$ , …, $x_n = b$ :

$V_n = \Delta x \cdot \big(f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1})\big)$

$H_n = \Delta x \cdot \big(f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)\big)$

Venstresummen $V_n$ bruker venstre endepunkt i hvert delintervall, høyresummen $H_n$ høyre. For en voksende funksjon er $V_n$ for lav og $H_n$ for høy; for en avtakende funksjon er det omvendt. Gjennomsnittet $\dfrac{V_n + H_n}{2}$ er trapesformelen.

✏️Venstresum og høyresum for hånd

Finn venstresummen og høyresummen for $f(x) = 4 - x^2$ på $[0, 2]$ med $n = 4$ , og sammenlikn med integralet.

\Delta x = \dfrac{2 - 0}{4} = 0{,}5

$x$	$f(x)$
$0$	$4$
$0{,}5$	$3{,}75$
$1$	$3$
$1{,}5$	$1{,}75$
$2$	$0$

V_4 = 0{,}5 \cdot (4 + 3{,}75 + 3 + 1{,}75) = 0{,}5 \cdot 12{,}5 = 6{,}25

H_4 = 0{,}5 \cdot (3{,}75 + 3 + 1{,}75 + 0) = 0{,}5 \cdot 8{,}5 = 4{,}25

\displaystyle\int_0^2 (4 - x^2)\,dx = \left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = 8 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3} \approx 5{,}33

Svar:

V_4 = 6{,}25

H_4 = 4{,}25

. Funksjonen er avtakende, så venstresummen er for høy og høyresummen for lav i forhold til integralet

5{,}33

📜Trapesformelen

Med

n

delintervaller og

\displaystyle h = \frac{b-a}{n}

er trapesformelen:

$\begin{aligned} &T_n \\ = {}&\frac{h}{2}\Big[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big] \end{aligned}$

$= \frac{h}{2}\left[f(x_0) + f(x_n) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\right]$

Trapesformelen tilnærmer arealet ved å erstatte kurvebuen mellom to nabopunkter med en rett linje, slik at hvert delområde blir et trapes. Trapeset over $[x_{k-1}, x_k]$ har areal $\displaystyle \frac{h}{2}\big[f(x_{k-1}) + f(x_k)\big]$ . Når vi summerer alle trapesene, blir hvert indre punkt $x_1, \ldots, x_{n-1}$ talt med to ganger, mens endepunktene $x_0$ og $x_n$ bare telles én gang.

✏️Trapesformelen med 4 delintervaller

Bruk trapesformelen med $n = 4$ til å tilnærme $\int_0^2 e^{-x^2} \, dx$ .

Vi har

a = 0

b = 2

n = 4

\displaystyle h = \frac{2-0}{4} = 0{,}5

Delingspunktene og funksjonsverdiene:

$k$	$x_k$	$f(x_k) = e^{-x_k^2}$
0	0	$e^0 = 1$
1	0,5	$e^{-0{,}25} \approx 0{,}7788$
2	1,0	$e^{-1} \approx 0{,}3679$
3	1,5	$e^{-2{,}25} \approx 0{,}1054$
4	2,0	$e^{-4} \approx 0{,}0183$

\begin{aligned} &T_4 \\ = {}&\frac{0{,}5}{2}\Big[1 + 2(0{,}7788) + 2(0{,}3679) + 2(0{,}1054) + 0{,}0183\Big] \end{aligned}

= 0{,}25 \cdot [1 + 1{,}5576 + 0{,}7358 + 0{,}2108 + 0{,}0183]

= 0{,}25 \cdot 3{,}5225 \approx 0{,}8806

Svar:

T_4 \approx 0{,}8806

. Den eksakte verdien er

\approx 0{,}8821

✏️Trapesformelen med Python

Skriv et program som regner ut trapessummen $T_n$ for $\int_0^2 e^{-x^2}\,dx$ med $n = 4$ , $8$ , $16$ og $32$ .

import math

def f(x):
    return math.exp(-x**2)

a, b = 0, 2
for n in [4, 8, 16, 32]:
    h = (b - a) / n
    s = (f(a) + f(b)) / 2
    for k in range(1, n):
        s = s + f(a + k*h)
    print(n, round(h * s, 6))

Variabelen s starter med $\displaystyle \frac{f(a) + f(b)}{2}$ og får lagt til hvert indre punkt én gang. Til slutt ganges summen med $h$ , slik at programmet regner ut $\displaystyle T_n = \frac{h}{2}\big[f(x_0) + 2f(x_1) + \dots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\big]$ .

Kjøring gir:

$n$	$T_n$
$4$	$0{,}880619$
$8$	$0{,}881704$
$16$	$0{,}881986$
$32$	$0{,}882058$

Svar:

T_{32} \approx 0{,}882058

. Verdiene nærmer seg

0{,}8821

når

n

dobles.

Fordypning (utenfor læreplanen)

Dette stoffet hører ikke til læreplanen i matematikk S2 (MAT04-02). Simpsons regel og feilformlene (feilestimering) i resten av dette delkapitlet hører ikke til S2. Trapesformelen og programmet som regner den ut, hører til S2. Oppgaver med Simpsons regel eller feilformler er merket (Fordypning). Du trenger det ikke til S2-eksamen.

📜Simpsons regel

Med et partall

n

delintervaller og

\displaystyle h = \frac{b-a}{n}

er Simpsons regel:

$\begin{aligned} &S_n \\ = {}&\frac{h}{3}\Big[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) \\ &\quad {} + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big] \end{aligned}$

Koeffisientene følger mønsteret $1, 4, 2, 4, 2, \ldots, 4, 2, 4, 1$ .

Simpsons regel tilnærmer kurvebuen mellom tre nabopunkter med en parabel (andregradsfunksjon), noe som gir langt bedre nøyaktighet enn trapesformelen.

✏️Simpsons regel med 4 delintervaller

Bruk Simpsons regel med $n = 4$ til å tilnærme $\int_0^2 e^{-x^2} \, dx$ .

Vi bruker de samme verdiene som i forrige eksempel:

h = 0{,}5

$S_4 = \frac{0{,}5}{3}\Big[f(0) + 4f(0{,}5) + 2f(1) + 4f(1{,}5) + f(2)\Big]$

$= \frac{0{,}5}{3}\Big[1 + 4(0{,}7788) + 2(0{,}3679) + 4(0{,}1054) + 0{,}0183\Big]$

$= \frac{0{,}5}{3}\Big[1 + 3{,}1152 + 0{,}7358 + 0{,}4216 + 0{,}0183\Big]$

$= \frac{0{,}5}{3} \cdot 5{,}2909 \approx 0{,}8818$

Den eksakte verdien er $\approx 0{,}8821$ . Simpsons regel gir her en feil på bare $\approx 0{,}0003$ , mye bedre enn trapesformelen ( $\approx 0{,}0015$ ).

Svar: $S_4 \approx 0{,}8818$

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Trapesmetoden

Trapesmetoden med 4 trapeser tilnærmer

\int_0^2 (x^2 + 1)\, dx

. Øk antall trapeser (siste tall i kommandoen) og se hvordan tilnærmingen nærmer seg den eksakte verdien

\displaystyle \frac{14}{3}

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2 + 1
t = TrapezoidalSum(f, 0, 2, 4)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📜Feilestimering

Feil for trapesformelen:

|E_T| \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2} \cdot M_2

der

M_2 = \max_{a \leq x \leq b} |f''(x)|

Feil for Simpsons regel:
$|E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \cdot M_4$
der $M_4 = \max_{a \leq x \leq b} |f^{(4)}(x)|$ .

Simpsons regel konvergerer altså som $\displaystyle \frac{1}{n^4}$ , mens trapesformelen konvergerer som $\displaystyle \frac{1}{n^2}$ . Dobling av $n$ gir ca. 4 ganger bedre nøyaktighet for trapes, men 16 ganger bedre for Simpson.

✏️Feilestimering og valg av n

Hvor mange delintervaller $n$ trenger vi i trapesformelen for å beregne $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx$ med feil mindre enn $0{,}001$ ?

Vi har $\displaystyle f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ .

$\displaystyle f'(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

$\displaystyle f''(x) = \frac{-2(1+x^2)^2 + 2x \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4} = \frac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3}$

For $x \in [0, 1]$ : $|f''(x)|$ har maksimum i $x = 0$ der $|f''(0)| = 2$ . Altså $M_2 = 2$ .

Feilgrensen: $\displaystyle |E_T| \leq \frac{(1-0)^3}{12n^2} \cdot 2 = \frac{1}{6n^2}$

Vi krever $\displaystyle \frac{1}{6n^2} < 0{,}001$ , altså $\displaystyle n^2 > \frac{1}{0{,}006} \approx 166{,}7$ , som gir $n > 12{,}9$ .

Svar: Vi trenger minst $n = 13$ delintervaller.

Praktisk bruk

Når bruker vi numerisk integrasjon?

- Funksjonen har ingen elementær antiderivert: $\int e^{-x^2}\,dx$ , $\int \sqrt{1 + x^3}\,dx$
- Funksjonen er gitt som datapunkter: Målinger fra eksperimenter, fartsmålinger, temperaturdatalogger
- Kontrollregning: Sjekke analytiske svar med numerisk tilnærming

Tommelregel for valg av metode:
- Trapesformelen er enklest å huske og bruke
- Simpsons regel gir bedre nøyaktighet med samme antall beregninger
- Dobling av $n$ og sammenligning gir praktisk feilkontroll

Viktig å huske

- Simpsons regel krever at antall delintervaller $n$ er et partall. Da er antall datapunkter $n + 1$ et oddetall.
- Feilen avhenger av hvor sterkt grafen krummer – jo mer «krokete» grafen er, desto flere delintervaller trengs.
- For data gitt som tabell: Med et oddetall datapunkter kan du bruke både trapesformelen og Simpsons regel. Med et partall datapunkter (oddetall delintervaller) bruker du trapesformelen, eller Simpsons regel på alle delintervallene unntatt ett og trapesformelen på det siste.

✏️Numerisk integrasjon fra tabell

Farten til en bil (i m/s) er målt hvert 2. sekund:

$t$ (s)	$v(t)$ (m/s)
0	0
2	5
4	12
6	18
8	22
10	25

Beregn tilnærmet tilbakelagt strekning

s = \int_0^{10} v(t)\,dt

med trapesformelen.

Her er

n = 5

h = 2

a = 0

b = 10

$\begin{aligned} &T_5 \\ = {}&\frac{2}{2}\Big[v(0) + 2v(2) + 2v(4) + 2v(6) + 2v(8) + v(10)\Big] \end{aligned}$

$= 1 \cdot \Big[0 + 2(5) + 2(12) + 2(18) + 2(22) + 25\Big]$

$= 0 + 10 + 24 + 36 + 44 + 25 = 139 \text{ m}$

Svar: Bilen har kjørt omtrent $139$ m.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^1 x^2\,dx$ med trapesformelen og $n = 4$ . Sammenlign med eksakt verdi.

(Fordypning) Beregn samme integral med Simpsons regel og $n = 4$ . Sammenlign feilen.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ med trapesformelen og $n = 4$ .

Finn eksakt verdi av integralet og beregn feilen.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

(Fordypning) Løs oppgavene:

Skriv opp formelen for $S_6$ (Simpsons regel med 6 delintervaller) for $\int_0^3 f(x)\,dx$ .

Hva er spesielt med Simpsons regel når funksjonen er et polynom av grad $\leq 3$ ?

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Vannføringen i en elv (i $\text{m}^3/\text{s}$ ) er målt hver time:

$t$ (timer)	$Q(t)$
0	10
1	14
2	20
3	18
4	12

Beregn total vannmengde (i

\text{m}^3

) som har passert i løpet av 4 timer, med trapesformelen.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ med trapesformelen for $n = 2$ og $n = 4$ . Kommenter konvergensen.

(Fordypning) Beregn samme integral med Simpsons regel for $n = 4$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

(Fordypning) Løs oppgavene:

Bruk feilformelen for trapesmetoden til å finne det minste antallet delintervaller $n$ som gir $\int_0^1 e^x\,dx$ med feil $< 0{,}001$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

(Fordypning) Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^3 e^{0{,}5x} \, dx$ med Simpsons regel og $n = 6$ . Sammenlign med eksakt verdi.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

(Fordypning) Løs oppgavene:

En funksjon $f$ er kjent i følgende punkter:

$x$	$f(x)$
0	1,00
0,5	1,22
1	1,65
1,5	2,32
2	3,50

Beregn

\int_0^2 f(x)\,dx

med både trapesformelen og Simpsons regel.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Vis at trapesformelen med $n = 1$ gir $\displaystyle T_1 = \frac{b-a}{2}[f(a) + f(b)]$ , og forklar hvorfor dette er arealet av trapeset med hjørner i $(a, 0)$ , $(a, f(a))$ , $(b, f(b))$ og $(b, 0)$ .

📝Oppgave 10

(Fordypning) Løs oppgavene:

Finn det minste $n$ slik at Simpsons regel gir $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx$ med feil $< 10^{-6}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

(Fordypning) Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^1 \sqrt{1 + x^3}\,dx$ med Simpsons regel og $n = 4$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Forklar hvorfor trapesformelen gir for stor verdi dersom grafen til $f$ vender den hule siden opp ( $f''(x) > 0$ ) på hele $[a, b]$ .

(Fordypning) Gjelder tilsvarende for Simpsons regel? Begrunn svaret.

📝Oppgave 13

(Fordypning) Løs oppgavene:

Akselerasjonen $a(t)$ til en rakett de første 10 sekundene er målt:

$t$ (s)	$a(t)$ (m/s $^2$ )
0	0
2	8
4	15
6	20
8	23
10	25

Raketten starter fra ro. Beregn farten

v(10) = \int_0^{10} a(t)\,dt

med Simpsons regel.

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

(Fordypning) Løs oppgavene:

Funksjonen $e^{x^2}$ har ingen elementær antiderivert. Bruk Simpsons regel med $n = 6$ til å finne en tilnærmet verdi for $\int_0^1 e^{x^2}\,dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 15

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3$ på $[0, 2]$ .

Finn venstresummen og høyresummen med $n = 4$ .

Regn ut $\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx$ og sammenlikn.

Løs oppgaven

📝Oppgave 16

Programmet nedenfor er skrevet i Python.

def f(x):
    return 1 / x

n = 1000
dx = (2 - 1) / n
S = 0
for i in range(1, n + 1):
    S = S + f(1 + i*dx) * dx
print(round(S, 4))

Forklar hva programmet regner ut.

Programmet skriver ut 0.6929. Hvilket eksakt tall nærmer resultatet seg når $n$ øker? Forklar hvorfor utskriften er litt for lav.

Løs oppgaven

📝Oppgave 17

Bruk tallene fra eksempelet med $f(x) = 4 - x^2$ på $[0, 2]$ og $n = 4$ .

Regn ut $\dfrac{V_4 + H_4}{2}$ og sammenlikn med integralet $\dfrac{16}{3}$ .

Vis at $\dfrac{V_n + H_n}{2}$ er det samme som trapesformelen $T_n = \Delta x \cdot \left(\dfrac{f(x_0)}{2} + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1}) + \dfrac{f(x_n)}{2}\right)$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

Trapesformelen: $\displaystyle T_n = \frac{h}{2}[f(x_0) + 2f(x_1) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]$
- Koeffisienter: $1, 2, 2, \ldots, 2, 1$
- Feilen er omtrent proporsjonal med $\displaystyle \frac{1}{n^2}$

Simpsons regel (fordypning): $\displaystyle S_n = \frac{h}{3}[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]$
- Koeffisienter: $1, 4, 2, 4, 2, \ldots, 4, 1$ (krever partall $n$ )
- Feilen er omtrent proporsjonal med $\displaystyle \frac{1}{n^4}$
- Eksakt for polynomer av grad $\leq 3$

Praktisk: Doble $n$ og sammenlign - dersom svaret endrer seg lite, har vi god nøyaktighet.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.