1.5 Integrasjon ved substitusjon

Når formlene ikke strekker til

Du jobber med statistikk i et forsikringsselskap, og en kollega ber deg beregne et areal under normalfordelingskurven — selve hjørnesteinen i all risikoanalyse. Du setter deg ned med integrasjonsreglene fra de forrige kapitlene, klar til å finne en antiderivert til $e^{-x^2}$. Og der stopper det. Ikke fordi du ikke kan reglene, men fordi det er bevist at $\int e^{-x^2}\,dx$ ikke har noen elementær antiderivert. Ingen kombinasjon av potenser, logaritmer, eksponentialfunksjoner og trigonometriske funksjoner gir en funksjon med $e^{-x^2}$ som derivert.

Likevel beregner statistikere slike integraler hver eneste dag, med mange desimalers nøyaktighet. Hemmeligheten er numerisk integrasjon: metoder som beregner tilnærmede verdier av bestemte integraler $\int_a^b f(x)\,dx$ uten å gå veien om antideriverte.

Grunnideen er enkel og geometrisk. Vi deler intervallet $[a, b]$ inn i $n$ delintervaller, hver med bredde $\displaystyle h = \frac{b-a}{n}$, med delingspunkter $x_0 = a$, $x_1 = a + h$, $x_2 = a + 2h$ og så videre frem til $x_n = b$. Så tilnærmer vi arealet under grafen med enklere geometriske figurer — trapeser eller parabelbiter — som vi kan regne ut eksakt.

Numerisk integrasjon er også redningen i en annen hverdagssituasjon: når du ikke kjenner funksjonsuttrykket i det hele tatt, bare målepunkter. Fartsloggen fra en bil, strømforbruket time for time, trafikktellinger — alt dette er tabeller, ikke formler, og da er numeriske metoder eneste vei til integralet.

Trapesformelen

Den enkleste ideen er å erstatte kurvebuen mellom to nabopunkter med en rett linje. Hvert delområde blir da et trapes, og summen av trapesarealene tilnærmer integralet. Med $n$ delintervaller og $\displaystyle h = \frac{b-a}{n}$ gir det trapesformelen:

$$T_n = \frac{h}{2}\Big[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big]$$

Legg merke til koeffisientmønsteret $1, 2, 2, \ldots, 2, 1$: endepunktene teller én gang, mens hvert indre punkt deles av to nabotrapeser og derfor teller dobbelt.

La oss angripe forsikringsproblemet: tilnærm $\int_0^2 e^{-x^2}\,dx$ med $n = 4$. Da er $\displaystyle h = \frac{2-0}{4} = 0{,}5$, og vi trenger funksjonsverdiene i de fem delingspunktene: $f(0) = 1$, $f(0{,}5) = e^{-0{,}25} \approx 0{,}7788$, $f(1) = e^{-1} \approx 0{,}3679$, $f(1{,}5) = e^{-2{,}25} \approx 0{,}1054$ og $f(2) = e^{-4} \approx 0{,}0183$.

Inn i formelen:

$$T_4 = \frac{0{,}5}{2}\Big[1 + 2(0{,}7788) + 2(0{,}3679) + 2(0{,}1054) + 0{,}0183\Big] = 0{,}25 \cdot 3{,}5225 \approx 0{,}8806$$

Den eksakte verdien er $\approx 0{,}8821$, så med bare fire trapeser bommer vi med omtrent $0{,}0015$. Ikke verst for noen minutters regning på et integral som er «umulig» å løse analytisk! Og vil du ha bedre nøyaktighet, er det bare å øke $n$ — flere og smalere trapeser følger kurven tettere.

Simpsons regel og feilkontroll

Kan vi gjøre det bedre enn rette linjer? Ja — vi kan legge en parabel gjennom tre og tre nabopunkter. Det er ideen bak Simpsons regel, som krever et partall antall delintervaller $n$:

$$S_n = \frac{h}{3}\Big[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big]$$

Koeffisientene følger mønsteret $1, 4, 2, 4, 2, \ldots, 4, 1$. Bruker vi Simpsons regel på det samme integralet $\int_0^2 e^{-x^2}\,dx$ med $n = 4$ og de samme fem funksjonsverdiene, får vi

$$S_4 = \frac{0{,}5}{3}\Big[1 + 4(0{,}7788) + 2(0{,}3679) + 4(0{,}1054) + 0{,}0183\Big] = \frac{0{,}5}{3} \cdot 5{,}2909 \approx 0{,}8818$$

Feilen er nå bare $\approx 0{,}0003$ — fem ganger bedre enn trapesformelen, med nøyaktig samme regnearbeid.

Forskjellen kan tallfestes. For trapesformelen gjelder feilgrensen $\displaystyle |E_T| \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2} \cdot M_2$, der $M_2$ er den største verdien av $|f''(x)|$ på intervallet. For Simpsons regel er $\displaystyle |E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \cdot M_4$, med $M_4$ som maksimum av $|f^{(4)}(x)|$. Det avgjørende er eksponentene: trapesfeilen avtar som $\displaystyle \frac{1}{n^2}$, Simpson-feilen som $\displaystyle \frac{1}{n^4}$. Dobler du $n$, blir trapesformelen cirka 4 ganger mer nøyaktig — Simpsons regel 16 ganger.

Feilgrensene lar oss også planlegge. Hvor mange delintervaller trenger trapesformelen for å beregne $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx$ med feil under $0{,}001$? Den andrederiverte er $\displaystyle f''(x) = \frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}$, som på $[0, 1]$ er størst i $x = 0$ med $|f''(0)| = 2$, så $M_2 = 2$. Kravet $\displaystyle \frac{1}{12n^2} \cdot 2 = \frac{1}{6n^2} < 0{,}001$ gir $n^2 > 166{,}7$, altså $n > 12{,}9$. Minst $n = 13$ delintervaller — og det vet vi før vi begynner å regne.

Numerisk integrasjon i praksis

Når griper vi i praksis til numeriske metoder? For det første når funksjonen ikke har noen elementær antiderivert — klassikerne er $\int e^{-x^2}\,dx$, $\displaystyle \int \frac{\sin x}{x}\,dx$ og $\int \sqrt{1+x^3}\,dx$. For det andre når funksjonen bare finnes som datapunkter: målinger fra eksperimenter, fartslogger, temperaturdataloggere. Og for det tredje som kontrollregning — et numerisk overslag avslører fort en slurvefeil i den analytiske utregningen.

Datasituasjonen fortjener et eksempel. Farten til en bil er målt hvert andre sekund: ved $t = 0, 2, 4, 6, 8, 10$ sekunder var farten henholdsvis $0, 5, 12, 18, 22$ og $25$ m/s. Tilbakelagt strekning er $s = \int_0^{10} v(t)\,dt$ — men vi har ingen formel for $v(t)$, bare seks tall. Trapesformelen med $n = 5$ og $h = 2$:

$$T_5 = \frac{2}{2}\Big[0 + 2(5) + 2(12) + 2(18) + 2(22) + 25\Big] = 10 + 24 + 36 + 44 + 25 = 139 \text{ m}$$

Bilen kjørte omtrent 139 meter på 10 sekunder — beregnet rett fra tabellen.

Til slutt noen praktiske huskeregler. Simpsons regel krever partall $n$, så med datapunkter må du telle: seks målepunkter gir $n = 5$ delintervaller, og da er det trapesformelen som gjelder. Feilen avhenger av de høyere deriverte — jo mer «krokete» grafen er, desto flere delintervaller trengs. Og det enkleste feilestimatet i praksis: regn ut med $n$, doble til $2n$, og sammenlign. Endrer svaret seg lite, kan du stole på sifrene som står fast. Trapesformelen er enklest å huske; Simpsons regel gir mer nøyaktighet for samme arbeid. Velg etter behov — og kontroller alltid.

Regnekraft der formlene slutter

Normalfordelingsintegralet som stoppet deg i starten, er ikke lenger noe hinder. Du har to metoder som begge bygger på samme grunnidé — del $[a, b]$ i $n$ biter med bredde $\displaystyle h = \frac{b-a}{n}$ og tilnærm kurven med enklere figurer. Trapesformelen $\displaystyle T_n = \frac{h}{2}[f(x_0) + 2f(x_1) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]$ bruker rette linjer og koeffisientene $1, 2, \ldots, 2, 1$, og feilen avtar som $\displaystyle \frac{1}{n^2}$. Simpsons regel $\displaystyle S_n = \frac{h}{3}[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]$ bruker parabler og mønsteret $1, 4, 2, 4, \ldots, 4, 1$, krever partall $n$, og feilen stuper som $\displaystyle \frac{1}{n^4}$ — den er til og med eksakt for polynomer opptil tredje grad.

Feilgrensene med $M_2$ og $M_4$ lar deg planlegge hvor stor $n$ må være på forhånd, slik vi fant at $n = 13$ holdt for feil under $0{,}001$. Og i hverdagen holder ofte den pragmatiske kontrollen: doble $n$ og se hva som står fast.

Viktigst av alt: numerisk integrasjon utvider rekkevidden til alt du har lært. Integraler uten elementære antideriverte, måleserier uten formler, kontroll av analytiske svar — alt er innen rekkevidde med en tabell over funksjonsverdier og riktig koeffisientmønster. I neste delkapittel går vi tilbake til den analytiske verktøykassen og lærer å integrere produkter: delvis integrasjon.