1.6 Delvis integrasjon

Produktregelen baklengs

I et analysebyrå sitter du med en modell for verdien av en fremtidig inntektsstrøm. Når økonomer skal beregne nåverdien av penger som kommer inn over tid, dukker det stadig opp integraler av typen $\int t \cdot e^{-t}\,dt$ — et produkt av en polynomfaktor og en eksponentialfunksjon. Du prøver grunnreglene: ingen passer. Du prøver substitusjon: men $t$ er ikke den deriverte av $-t$, så mønsteret stemmer ikke. Produkter av funksjoner krever et nytt verktøy.

Verktøyet finnes, og det kommer fra et kjent sted. Produktregelen for derivasjon sier at $(uv)' = u'v + uv'$. Det er en likning mellom funksjoner — og integrerer vi begge sider, får vi $uv = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx$. Flytter vi om på leddene, står vi igjen med formelen for delvis integrasjon, en teknikk som er uunnværlig i S2 for å integrere produkter.

Ideen er like enkel som den er listig: vi bytter ett integral mot et annet. Klarer vi ikke $\int uv'\,dx$ direkte, skriver vi det som $uv - \int u'v\,dx$ — og håper at det nye integralet er enklere. Velger vi rollene til $u$ og $v'$ klokt, blir det nettopp slik: polynomet deriveres ned ett trinn, og etter en eller to runder står vi igjen med noe vi kan integrere med grunnreglene.

I dette kapittelet lærer du formelen, en huskeregel for å velge $u$ riktig, hvordan teknikken gjentas for høyere potenser — og til slutt et elegant spesialtriks der integralet «biter seg selv i halen» og løses som en likning.

Formelen og LIATE-regelen

Delvis integrasjon skrives gjerne med differensialnotasjon. For ubestemte integraler:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

og for bestemte integraler $\int_a^b u\,dv = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b v\,du$. En alternativ skrivemåte er $\int u(x) \cdot v'(x)\,dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x)\,dx$. Innholdet er det samme: én faktor ($u$) deriveres, den andre ($dv$) integreres, og vi bytter integralet mot et forhåpentlig enklere.

Suksessen avhenger av valget. Huskeregelen heter LIATE, og rangerer hvilke funksjonstyper som bør være $u$, fra høyest til lavest prioritet: Logaritmiske ($\ln x$), Inverse trigonometriske ($\arctan x$), Algebraiske ($x^n$, polynomer), Trigonometriske ($\sin x$, $\cos x$) og Eksponentialfunksjoner ($e^x$). Velg $u$ som den faktoren som står høyest på listen — resten blir $dv$.

La oss bruke dette på $\int x \cdot e^x\,dx$. Her møtes en algebraisk faktor ($x$, bokstav A) og en eksponentiell ($e^x$, bokstav E). A står over E, så $u = x$, som gir $du = dx$, og $dv = e^x\,dx$, som gir $v = e^x$. Formelen leverer:

$$\int x \cdot e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$$

Det nye integralet $\int e^x\,dx$ var trivielt — nettopp fordi $u = x$ ble derivert bort til konstanten 1. Og som alltid med integrasjon: kontroller ved å derivere. $(e^x(x-1))' = e^x(x-1) + e^x = xe^x$. Stemmer. Hadde vi valgt motsatt, $u = e^x$ og $dv = x\,dx$, ville det nye integralet blitt $\displaystyle \int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$ — verre enn det vi startet med. Valget av $u$ er hele spillet.

Logaritmetrikset og gjentatt bruk

Hva med $\int \ln x\,dx$? Her er det tilsynelatende ikke noe produkt i det hele tatt — bare én faktor. Trikset er å lage et produkt: skriv $\ln x = \ln x \cdot 1$. Etter LIATE blir $u = \ln x$ med $\displaystyle du = \frac{1}{x}\,dx$, og $dv = dx$ med $v = x$. Da ruller maskineriet:

$$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C$$

Den «umulige» faktoren $\displaystyle \frac{1}{x}$ kansellerte mot $v = x$ — det er hele poenget med å la logaritmen være $u$. Kontroll: $\displaystyle (x\ln x - x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x$. Stemmer.

Noen ganger holder ikke én runde. Se på $\int x^2 e^x\,dx$: med $u = x^2$, $du = 2x\,dx$, $dv = e^x\,dx$, $v = e^x$ får vi

$$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx$$

Det nye integralet er ikke trivielt — men det er enklere: potensen sank fra $x^2$ til $x$. En runde til, med $u = 2x$, gir $\int 2xe^x\,dx = 2xe^x - \int 2e^x\,dx = 2xe^x - 2e^x$. Setter vi sammen:

$$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$$

Mønsteret er generelt: for $\int x^n e^x\,dx$ må delvis integrasjon utføres $n$ ganger, og hver runde senker potensen ett hakk. Det samme gjelder $\int x^n \sin(ax)\,dx$ og $\int x^n \cos(ax)\,dx$ — velg $u = x^n$ og deriver deg nedover. Bare for $\int x^n \ln x\,dx$ snur LIATE valget: der er det logaritmen som skal være $u$.

Sirkulær delvis integrasjon

Til slutt et tilfelle der teknikken ser ut til å gå i ring — og der nettopp ringen er løsningen. Vi vil beregne $I = \int e^x \cos x\,dx$. Første runde, med $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$, $dv = e^x\,dx$, $v = e^x$:

$$I = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$$

Det nye integralet ligner mistenkelig på det gamle — sinus i stedet for cosinus. Andre runde, med $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$:

$$I = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx = e^x(\cos x + \sin x) - I$$

Og der skjedde noe bemerkelsesverdig: det opprinnelige integralet $I$ dukket opp på høyre side, med minus foran. I stedet for å fortvile, behandler vi likningen som en helt vanlig likning med $I$ som ukjent:

$$2I = e^x(\cos x + \sin x) \quad \Rightarrow \quad I = \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$$

Dette kalles sirkulær delvis integrasjon, og det er standardmetoden for integraler av typen $\int e^{ax}\sin(bx)\,dx$ og $\int e^{ax}\cos(bx)\,dx$: to runder, og deretter løses likningen for integralet. Et lite varsko: bruk samme «retning» i begge rundene (la den trigonometriske faktoren være $u$ begge ganger, eller eksponentialen begge ganger) — ellers ender du med den intetsigende identiteten $I = I$.

Og som alltid: deriver svaret som kontroll. Derivasjon er enklere enn integrasjon, og produktregelen avslører raskt om alt stemmer: $\displaystyle \big(\frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2}\big)' = \frac{e^x(\cos x + \sin x) + e^x(-\sin x + \cos x)}{2} = e^x\cos x$. La denne vanen følge deg gjennom hele integralregningen — den koster sekunder og fanger nesten alle feil.

Bytt integral, vinn enkelhet

Nåverdi-integralet fra analysebyrået er ikke lenger noe mysterium: produkter integreres med delvis integrasjon, $\int u\,dv = uv - \int v\,du$, som er produktregelen lest baklengs. Hele kunsten ligger i valget av $u$, og LIATE-regelen — Logaritmisk, Invers trigonometrisk, Algebraisk, Trigonometrisk, Eksponentiell — peker ut riktig kandidat nesten hver gang.

Du har nå hele typegalleriet. For $\int x^n e^{ax}\,dx$ og $\int x^n \sin(ax)\,dx$ velges $u = x^n$, og teknikken gjentas $n$ ganger mens potensen synker. For $\int x^n \ln x\,dx$ — og for $\int \ln x\,dx$ selv, omskrevet som $\ln x \cdot 1$ — er det logaritmen som skal være $u$, slik at $\displaystyle \frac{1}{x}$ kansellerer pent. Og for $\int e^{ax}\sin(bx)\,dx$ og $\int e^{ax}\cos(bx)\,dx$ går du to runder, ser originalintegralet dukke opp igjen, og løser likningen — sirkulær delvis integrasjon.

Standardresultatene $\int xe^x\,dx = e^x(x-1) + C$ og $\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$ er verdt å kjenne igjen på flekken. Og den viktigste vanen av alle: deriver svaret ditt. Det tar sekunder og avslører nesten enhver glipp.

Dermed er den analytiske verktøykassen komplett: grunnregler, substitusjon og delvis integrasjon. I neste delkapittel tar vi den med inn i tre dimensjoner og beregner volumet av omdreiningslegemer.