1.7 Integrasjon av rasjonale funksjoner

Fra flate til form

Et lite norsk designfirma har fått i oppdrag å lage en serie vaser og en vanntank til en hytteprodusent, og du er med som beregningsansvarlig. Designeren tegner en elegant kurve på skjermen og sier: «Tenk deg at denne profilen snurrer rundt aksen — det er formen.» Og det er nøyaktig slik mange virkelige objekter blir til: vaser på dreieskive, flasker, lampeskjermer, siloer og tanker er alle omdreiningslegemer (rotasjonslegemer) — tredimensjonale objekter som oppstår når et område i planet roteres rundt en akse.

Spørsmålet fra produsenten er praktisk: «Hvor mange liter rommer den?» Volum, altså. Og her kommer integralregningen din inn på sitt mest visuelle.

Tenk deg at du roterer området mellom grafen til $f(x)$ og $x$-aksen rundt $x$-aksen. Resultatet er en vaselignende form, og det avgjørende er hva du ser hvis du skjærer den: i ethvert punkt $x$ er tverrsnittet en perfekt sirkel med radius $|f(x)|$. Volumet kan derfor bygges opp av tynne sirkelskiver — og «summen av uendelig mange tynne skiver» er, som du nå vet, et integral.

I dette kapittelet utleder vi formlene for volum ved rotasjon om både $x$-aksen og $y$-aksen, møter to konkurrerende teknikker — skivemetoden og skallmetoden — og lærer når du bør velge hvilken. På veien skal vi bevise to formler du har brukt siden ungdomsskolen uten bevis: volumet av en kjegle og volumet av en kule.

Skivemetoden

La oss gjøre skiveideen presis. Når området mellom $y = f(x)$ og $x$-aksen for $a \leq x \leq b$ roteres om $x$-aksen, har skiven i posisjon $x$ radius $|f(x)|$ og dermed areal $\pi [f(x)]^2$. Summerer vi skivene langs aksen, får vi skivemetoden:

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$$

Vi integrerer altså kvadratet av funksjonen og ganger med $\pi$ — i praksis arealet av tverrsnittssirkelen, samlet opp langs aksen.

Nå kan vi innfri et gammelt løfte. Volumet av en kjegle med radius $r$ og høyde $h$: legg kjeglen med spissen i origo, slik at den skrå siden er linjen $\displaystyle y = \frac{r}{h}x$ for $0 \leq x \leq h$. Rotasjon om $x$-aksen gir

$$V = \pi \int_0^h \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2} \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^h = \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{\pi r^2 h}{3}$$

Der er den: $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, formelen fra ungdomsskolen, nå utledet på tre linjer.

Kula går like greit. En kule med radius $R$ er omdreiningslegemet til halvsirkelen $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ for $-R \leq x \leq R$. Kvadrering fjerner rottegnet:

$$V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2) \, dx = \pi \left[R^2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi\left(\frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3}\right) = \frac{4\pi R^3}{3}$$

To av geometriens berømte formler, begge bevist med ett og samme verktøy. Det er skivemetodens kraft: kjenn profilen, kvadrer, integrer.

Rotasjon om y-aksen — skive eller skall

Designerens vase står naturligvis oppreist — den roteres om den vertikale aksen, $y$-aksen. Da har vi to muligheter.

Den første er skivemetoden snudd på høykant. Hvis området mellom kurven $x = g(y)$ og $y$-aksen for $c \leq y \leq d$ roteres om $y$-aksen, er tverrsnittet i høyde $y$ en sirkel med radius $g(y)$:

$$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy$$

Er kurven gitt som $y = f(x)$, må vi først løse for $x$ — altså finne den omvendte funksjonen. Eksempel: området mellom $y = x^2$ og $y$-aksen for $0 \leq y \leq 4$ roteres om $y$-aksen. Vi løser: $x = \sqrt{y}$, og

$$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 y \, dy = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi$$

Men hva om funksjonen er vond å invertere? Da finnes en annen vei: skallmetoden. Del området under $y = f(x)$ i tynne vertikale strimler. Når strimmelen ved $x$ (med høyde $f(x)$ og bredde $dx$) roterer om $y$-aksen, danner den et tynt sylindrisk skall — som et rør — med radius $x$, høyde $f(x)$ og tykkelse $dx$. Skallets volum er omkretsen ganger høyden ganger tykkelsen, $2\pi x \cdot f(x) \cdot dx$, og summen blir

$$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx \qquad (a \geq 0)$$

Prøv på samme legeme: området mellom $y = x^2$ og $x$-aksen for $0 \leq x \leq 2$ rotert om $y$-aksen gir $\displaystyle V = 2\pi\int_0^2 x \cdot x^2\,dx = 2\pi\big[\frac{x^4}{4}\big]_0^2 = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$ — nøyaktig samme svar som skivemetoden, uten å invertere noe som helst. To metoder, ett volum: god kontrollregning og fritt metodevalg.

Metodevalg, hule former og en klassisk felle

Med to metoder på menyen trenger du en tommelfingerregel. Skivemetoden er best når tverrsnittet vinkelrett på rotasjonsaksen er lett å uttrykke — og, ved rotasjon om $y$-aksen, når funksjonen er lett å invertere. Skallmetoden er best når rotasjonen er om $y$-aksen og funksjonen er gitt som $y = f(x)$, særlig når det er vanskelig å løse for $x$. Huskeregelen er verdt å pugge: skivemetoden integrerer vinkelrett på rotasjonsaksen, skallmetoden integrerer parallelt med den.

Designfirmaets vanntank er ikke massiv — den har vegger, et hulrom. Slike former håndterer vi som differanser. Roteres området mellom to kurver $f(x) \geq g(x) \geq 0$ om $x$-aksen, blir hvert tverrsnitt en ring: en skive med hull. Ringens areal er ytre skive minus indre, $\pi[f(x)]^2 - \pi[g(x)]^2$, og volumet blir

$$V = \pi \int_a^b \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right) dx$$

Eksempel: området mellom $y = x$ og $y = x^2$ for $0 \leq x \leq 1$ roteres om $x$-aksen. Siden $x \geq x^2$ der, er linjen ytterkant og parabelen innerkant:

$$V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) \, dx = \pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$$

Merk forskjellen fra arealregningen: vi kvadrerer hver kurve for seg og trekker fra etterpå — $[f]^2 - [g]^2$, ikke $(f - g)^2$. Det er en klassisk felle. Den andre klassikeren er enda enklere: å glemme $\pi$ i skivemetoden eller $2\pi$ i skallmetoden. Skriv alltid opp formelen komplett før du begynner å integrere, så er begge fellene ufarlige.

Volum på integralform

Designfirmaet fikk svarene sine, og du fikk et helt nytt bruksområde for integralet. Kjernen er skiveideen: et omdreiningslegeme kan skjæres i tynne sirkelskiver, og volumet er integralet av tverrsnittsarealet. Om $x$-aksen gir det $V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$, og om $y$-aksen $V = \pi\int_c^d [g(y)]^2\,dy$ — da med kurven løst for $x$. Med denne ene ideen beviste du både kjegleformelen $\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^2 h$ og kuleformelen $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3$.

Når invertering er upraktisk, tar skallmetoden over: vertikale strimler blir sylindriske skall med radius $x$, høyde $f(x)$ og volum $V = 2\pi\int_a^b x f(x)\,dx$. Eksempelet med $y = x^2$ ga $8\pi$ med begge metodene — en påminnelse om at metodevalget er fritt og at to utregninger er god kontroll. Huskeregelen: skiver vinkelrett på aksen, skall parallelt med den.

Hule legemer — tanker, rør, vaser med vegger — beregnes som ringer: $V = \pi\int_a^b ([f(x)]^2 - [g(x)]^2)\,dx$, med hver kurve kvadrert for seg. Og de to klassiske fellene er verdt en siste gjentakelse: aldri $(f-g)^2$, og aldri glemme $\pi$ eller $2\pi$ foran integralet.

Dermed er integrasjonskapittelet komplett — fra antideriverte til tredimensjonale former. I neste hovedkapittel snur vi problemstillingen: i stedet for å integrere kjente funksjoner, skal vi finne ukjente funksjoner fra likninger om deres deriverte — differensiallikninger.