2.1 Introduksjon til differensiallikninger

Likninger der svaret er en funksjon

Hvordan klarer Statistisk sentralbyrå å si noe om hvor mange vi blir i Norge i 2050? Hvordan beregner Folkehelseinstituttet hvor raskt et virus vil spre seg? Og hvordan vet banken hva lånet ditt vokser til? Fellesnevneren er at ingen av dem kjenner fremtiden direkte — men de kjenner endringen. De vet hvor fort befolkningen vokser i dag, hvor mange som smittes per uke, hvor mye renter som legges til per år. Utfordringen er å gå fra kunnskap om endringen til kunnskap om selve utviklingen.

Matematikkens verktøy for akkurat dette heter differensiallikninger. En differensiallikning er en likning som inneholder en ukjent funksjon og en eller flere av dens deriverte. Det er en ny type likning: i likningene du har løst til nå, var den ukjente et tall — nå er den ukjente en hel funksjon.

Det enkleste eksempelet: $y' = 2x$ er en differensiallikning. Den spør: «Hvilken funksjon har $2x$ som derivert?» Etter integralkapittelet svarer du på refleks: $y = x^2 + C$. Hver verdi av $C$ gir en løsning, så likningen har uendelig mange løsninger — en hel familie av parabler.

I dette kapittelet lærer du begrepsapparatet: hva orden betyr, forskjellen på generell og partikulær løsning, hvordan initialbetingelser plukker ut den ene løsningen virkeligheten følger, og hvordan du verifiserer at en funksjon faktisk løser en likning. Til slutt ser vi hvordan virkelige vekstprosesser oversettes til differensiallikninger — oversettelsen som hele resten av hovedkapittelet bygger på.

Orden, løsninger og initialbetingelser

La oss rydde begrepene på plass. Ordenen til en differensiallikning er den høyeste deriverte som forekommer: $y' = f(x)$ er av første orden, $y'' = f(x)$ av andre orden. Løsningene kommer i to varianter. Den generelle løsningen inneholder en vilkårlig konstant $C$ (eller flere) og beskriver alle funksjoner som passer i likningen. En partikulær løsning er én bestemt funksjon fra denne familien, der konstanten er fastlagt av en initialbetingelse — en kjent verdi som $y(0) = 5$.

Likninger på formen $y' = f(x)$ løser vi med direkte integrasjon. La oss ta hele arbeidsgangen på likningen $y' = 3x^2$ med initialbetingelsen $y(0) = 5$. Først den generelle løsningen, ved å integrere begge sider:

$$y = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C$$

Så den partikulære: initialbetingelsen krever $y(0) = 0^3 + C = 5$, altså $C = 5$, og dermed

$$y = x^3 + 5$$

Tenk på det som GPS-koordinater: den generelle løsningen er veinettet, initialbetingelsen forteller hvor du starter, og den partikulære løsningen er ruten din.

To ting til. For det første: en andreordens likning som $y'' = 6x$ må integreres to ganger og får da to frie konstanter — den trenger derfor to betingelser for å bli entydig. For det andre, et undervurdert triks: å verifisere en løsning er mye enklere enn å finne den. Påstår noen at $y = x^3 + 5$ løser $y' = 3x^2$, deriverer du bare: $y' = 3x^2$. Stemmer. Innsetting av funksjonen og dens deriverte i likningen er alltid den endelige kvalitetskontrollen.

Når endringen avhenger av tilstanden

Likningen $y' = 3x^2$ var grei, men også litt spesiell: endringen var en ren funksjon av $x$. De virkelig interessante modellene oppstår når endringsraten avhenger av tilstanden selv — og det er regelen snarere enn unntaket i samfunnet rundt deg. Befolkningsvekst: jo flere innbyggere, desto flere fødsler per år. Radioaktivt forfall: jo mer materiale, desto flere atomer henfaller per sekund. Newtons avkjølingslov: jo varmere kaffen er i forhold til rommet, desto raskere kjølner den. Økonomisk vekst med rente: jo mer kapital på kontoen, desto mer renter. Epidemier: jo flere smittede, desto raskere spredning.

La oss oversette den vanligste formuleringen til matematikk. En bakteriekultur «vokser med en rate proporsjonal med størrelsen». Kall antall bakterier ved tid $t$ for $N(t)$. Raten er $\displaystyle \frac{dN}{dt}$, og «proporsjonal med størrelsen» betyr lik en konstant ganger $N$:

$$\frac{dN}{dt} = kN$$

der $k > 0$ er vekstkonstanten. Dette er den klassiske modellen for eksponentiell vekst — antagelig den viktigste differensiallikningen i hele S2. Legg merke til hvor lite som skulle til: én setning på norsk ble én linje matematikk. Den oversettelsen — fra «vokser proporsjonalt med...» til $y' = ky$ — er selve kjernekompetansen i modellering.

Hva er løsningen? Du kan allerede verifisere en kandidat: prøv $y = Ce^{kx}$. Derivasjon gir $y' = Cke^{kx} = k \cdot Ce^{kx} = ky$. Den passer! Eksponentialfunksjonen er funksjonen hvis endring er proporsjonal med den selv — derfor dukker den opp overalt, fra renteberegning til befolkningsframskrivinger. Hvordan man finner denne løsningen systematisk (og ikke bare gjetter og verifiserer), er temaet for neste kapittel om separable likninger. Med fortegnet snudd, $k < 0$, beskriver samme likning radioaktivt forfall og andre prosesser som dør ut.

Fra endring til utvikling

Du startet med SSB, FHI og banken — alle med samme problem: de kjenner endringen, men vil vite utviklingen. Nå har du rammeverket deres. En differensiallikning er en likning med en ukjent funksjon og dens deriverte, og ordenen er den høyeste deriverte som inngår. Den generelle løsningen er en familie av funksjoner med fri konstant $C$; en initialbetingelse som $y(0) = 5$ fastlegger konstanten og gir den partikulære løsningen — den ene kurven virkeligheten følger. Andreordens likninger trenger tilsvarende to betingelser.

Verktøyene så langt er to. Likninger på formen $y' = f(x)$ løses ved direkte integrasjon, slik $y' = 3x^2$ med $y(0) = 5$ ga $y = x^3 + 5$. Og enhver foreslått løsning kan verifiseres ved innsetting — deriver kandidaten, sett inn, og sjekk at likningen går opp. Den kontrollen er gratis og bør bli en vane.

Viktigst av alt lærte du oversettelsen som driver all modellering: «vokser med en rate proporsjonal med størrelsen» betyr $\displaystyle \frac{dN}{dt} = kN$, med løsningsfamilien $y = Ce^{kx}$ — eksponentiell vekst når $k > 0$, forfall når $k < 0$. Befolkning, renter, radioaktivitet og epidemier snakker alle dette språket.

Men å gjette og verifisere er ingen metode i lengden. I neste kapittel lærer du den systematiske teknikken som utleder løsningene: separable differensiallikninger.