2.2 Separable differensiallikninger

Sorter variablene, så løser likningen seg

I forrige kapittel endte vi med et ubesvart spørsmål. Vi visste at $y = Ce^{kx}$ løser vekstlikningen $y' = ky$ — vi kunne verifisere det ved innsetting — men vi hadde ingen metode for å finne løsningen fra bunnen av. Det er som å kjenne fasiten uten å kunne utregningen, og det holder ikke når neste likning ser annerledes ut.

I dette kapittelet får du metoden. Den gjelder en stor og praktisk viktig klasse av likninger: en differensiallikning kalles separabel hvis den kan skrives på formen

$$\frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$$

altså som et produkt av én faktor som bare inneholder $x$, og én som bare inneholder $y$. Vekstlikningen $y' = ky$ er separabel (med $f(x) = k$ og $g(y) = y$), og det samme er for eksempel $y' = xy$ og Newtons avkjølingslov.

Navnet røper strategien: vi separerer variablene. Alt som har med $y$ å gjøre, flyttes over til venstre side sammen med $dy$; alt som har med $x$ å gjøre, blir stående til høyre med $dx$. Da står det et integral på hver side — og integrere, det kan du nå.

Tenk på det som å sortere før du regner: så lenge $x$ og $y$ er blandet sammen i samme uttrykk, kommer du ingen vei, men i det øyeblikket hver variabel står på sin egen side av likhetstegnet, tar integralregningen over og gjør resten av jobben. La oss gjøre metoden presis og bruke den på likningene som styrer alt fra sparekontoer til kaffekopper.

Separasjonsmetoden

Oppskriften for å løse $\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$ har fire trinn. Trinn 1 — separer: del på $g(y)$ og multipliser med $dx$, slik at $\displaystyle \frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$. Trinn 2 — integrer begge sider: $\displaystyle \int \frac{1}{g(y)}\,dy = \int f(x)\,dx$. Trinn 3 — løs for $y$ hvis mulig. Trinn 4 — finn den partikulære løsningen ved å bruke initialbetingelsen.

La oss kjøre metoden på selve hovedlikningen: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = ky$ med $y(0) = y_0$ — sparekontoen med kontinuerlig rente, bakteriekulturen, befolkningen.

Separer: $\displaystyle \frac{dy}{y} = k\,dx$.

Integrer: $\displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \int k\,dx$ gir $\ln|y| = kx + C_1$.

Løs for $y$: ta eksponentialfunksjonen på begge sider: $|y| = e^{kx + C_1} = e^{C_1}e^{kx}$. Tallet $e^{C_1}$ er bare en positiv konstant, og når vi slipper absoluttverdien, kan fortegnet bakes inn: $y = Ce^{kx}$, der $C = \pm e^{C_1}$.

Initialbetingelse: $y(0) = C e^0 = C = y_0$, altså

$$y = y_0 e^{kx}$$

Der er den — formelen vi bare kunne gjette i forrige kapittel, nå utledet i fire ryddige trinn. Legg spesielt merke til håndgrepet i trinn 3: fra $\ln|y|$ til $Ce^{kx}$ via eksponentialfunksjonen. Den manøveren går igjen i nesten alle separable likninger, og det er den som forklarer hvorfor eksponentialfunksjoner dominerer vekstmodellene i økonomi og naturvitenskap.

Flere modeller: vekst, halveringstid og kald kaffe

Metoden tåler mer enn konstant vekstfaktor. Ta $\displaystyle \frac{dy}{dx} = xy$ med $y(0) = 2$ — her øker vekstraten med $x$. Separasjon gir $\displaystyle \frac{dy}{y} = x\,dx$, integrasjon gir $\displaystyle \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C_1$, og eksponentialmanøveren gir $y = Ce^{x^2/2}$. Initialbetingelsen fastlegger $C$: $y(0) = C = 2$, så løsningen er

$$y = 2e^{x^2/2}$$

— en funksjon som vokser langt voldsommere enn vanlig eksponentiell vekst.

Tilbake til samfunnsmodellene. I løsningen $y = y_0e^{kx}$ har konstanten $k$ en tvilling som er lettere å kommunisere: tiden det tar å doble eller halvere mengden. Setter vi $y_0e^{kT} = 2y_0$, får vi $e^{kT} = 2$, altså $kT = \ln 2$. Doblingstiden (for $k > 0$) og halveringstiden (for $k < 0$) er dermed

$$T = \frac{\ln 2}{|k|}$$

Et oljefond eller en befolkning med 2 % årlig kontinuerlig vekst ($k = 0{,}02$) dobler seg på $\displaystyle \frac{\ln 2}{0{,}02} \approx 35$ år; et radioaktivt stoff med $k = -0{,}1$ halveres på $\displaystyle \frac{\ln 2}{0{,}1} \approx 6{,}9$ år. Merk det bemerkelsesverdige: tiden er den samme uansett hvor mye du starter med.

Til slutt en klassiker: Newtons avkjølingslov. En kaffekopp kjølner med en rate proporsjonal med temperaturforskjellen til omgivelsene: $\displaystyle \frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$, der $T_s$ er romtemperaturen. Også denne er separabel — separer med $\displaystyle \frac{dT}{T - T_s} = -k\,dt$ og integrer — og løsningen blir

$$T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$$

Temperaturen faller eksponentielt mot $T_s$, men når den aldri helt: kurven flater ut mot romtemperaturen som en grenseverdi. Samme likning beskriver forresten hvordan en pris justerer seg mot markedslikevekt — matematikken bryr seg ikke om det er kaffe eller kroner.

Metoden bak eksponentialfunksjonene

Gåten fra forrige kapittel er løst — og med system, ikke gjetting. En separabel differensiallikning $\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ løses i fire trinn: separer variablene til $\displaystyle \frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$, integrer begge sider, løs for $y$, og bruk initialbetingelsen. Nøkkelhåndgrepet er overgangen fra $\ln|y| = kx + C_1$ til $y = Ce^{kx}$ via eksponentialfunksjonen — det er den manøveren som gjør eksponentialfunksjoner til vekstmodellenes morsmål.

Hovedresultatene er verdt å kunne utenat. Vekstlikningen $y' = ky$ har løsningen $y = y_0e^{kx}$ — vekst for $k > 0$, forfall for $k < 0$ — og doblings- eller halveringstiden er $\displaystyle T = \frac{\ln 2}{|k|}$, uavhengig av startmengden. Likningen $y' = xy$ viste at metoden også takler variabel vekstfaktor, med løsninger som $2e^{x^2/2}$. Og Newtons avkjølingslov $\displaystyle \frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ ga $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$: eksponentiell tilnærming til omgivelsene, enten det gjelder kaffetemperatur eller priser på vei mot likevekt.

Men ikke alle likninger lar seg separere. Hva med en sparekonto der det både løper rente og settes inn et fast beløp hver måned — $y' = ry + b$? Prøv å separere... det går, men det finnes en mer generell teknikk som også tar likninger der separasjon er umulig. Den heter integrerende faktor og venter i neste kapittel om lineære differensiallikninger.