2.4 Modellering med differensiallikninger

Planleggerens verktøykasse

Du er nyansatt samfunnsplanlegger i en voksende kommune, og innboksen er full av spørsmål om fremtiden. Hvor mange innbyggere har vi om femten år? Hvor raskt sprer influensaen seg i vinter? Hvor lenge varer grunnvannsreservene? Når flater hyttebyggingen ut? Ingen av spørsmålene kan besvares ved å se på dagens tall alene — men alle kan angripes med samme strategi: finn ut hvordan endringen henger sammen med tilstanden, formuler det som en differensiallikning, og løs den.

Det er dette som er modellering med differensiallikninger, og etter de tre foregående kapitlene har du alt det tekniske på plass: direkte integrasjon, separasjon av variabler og integrerende faktor. Nå handler det om å velge riktig modell — og om å forstå hva løsningene faktisk sier om virkeligheten.

To vekstmodeller dominerer. Den eksponentielle modellen sier at veksten er proporsjonal med mengden — rimelig for befolkninger med rikelig plass, kapital med rentes rente, og smitte i en stor, mottakelig befolkning. Men ubegrenset eksponentiell vekst er en matematisk fiksjon: før eller siden setter ressursene grenser. Da overtar den logistiske modellen, der veksten bremses når populasjonen nærmer seg miljøets bæreevne.

Forskjellen mellom de to er forskjellen mellom en prognose som eksploderer og en som flater ut — og å vite hvilken som gjelder når, er kanskje den viktigste modelleringskompetansen en samfunnsplanlegger kan ha. La oss ta dem i tur og orden.

Eksponentielle modeller

Den eksponentielle grunnmodellen kjenner du nå godt: $\displaystyle \frac{dN}{dt} = kN$, med løsningen

$$N(t) = N_0 e^{kt}$$

der $N_0$ er startmengden. Fortegnet til $k$ avgjør historien: $k > 0$ gir eksponentiell vekst (befolkning, kapital, smitte i tidlig fase), $k < 0$ gir eksponentiell nedgang (radioaktivt forfall, nedbryting av legemidler i kroppen, verditap på en bil).

To karakteristiske tider følger med på kjøpet. Doblingstiden $\displaystyle T_d = \frac{\ln 2}{k}$ og halveringstiden $\displaystyle T_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|}$ er konstante: mengden dobles (eller halveres) like fort uansett hvor stor den er. Det er selve signaturen til eksponentiell utvikling.

La oss svare på et av spørsmålene fra innboksen. Kommunens by har 100 000 innbyggere og vokser med 2 % per år. Når passerer vi 150 000? Modellen er $\displaystyle \frac{dP}{dt} = 0{,}02P$, så $P(t) = 100\,000 \cdot e^{0{,}02t}$. Vi setter $P(t) = 150\,000$:

$$150\,000 = 100\,000 \cdot e^{0{,}02t} \quad \Rightarrow \quad e^{0{,}02t} = 1{,}5 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{\ln 1{,}5}{0{,}02} \approx 20{,}3 \text{ år}$$

Byen passerer 150 000 innbyggere om cirka 20 år — gitt at veksten fortsetter på 2 %. Og der ligger modellens svakhet i åpen dag: eksponentialfunksjonen vokser over alle grenser, men det gjør ikke byggeland, skoleplasser og vannforsyning. Eksponentielle modeller er glimrende på kort og mellomlang sikt, i fasen der ressursene ikke binder. For lange horisonter trenger planleggeren en modell som vet at trær ikke vokser inn i himmelen.

Logistisk vekst og kunsten å velge modell

Modellen som «vet» at veksten har grenser, heter logistisk vekst:

$$\frac{dN}{dt} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)$$

der $K$ er bæreevnen — den største populasjonen miljøet kan bære. Les likningen som en historie: når $N$ er liten i forhold til $K$, er parentesen nær 1, og veksten er tilnærmet eksponentiell med rate $r$. Når $N$ nærmer seg $K$, går parentesen mot null, og veksten kveles. Og skulle $N$ overstige $K$, blir parentesen negativ — populasjonen krymper tilbake. Bæreevnen er en stabil likevekt.

Likningen er separabel, og løsningen er

$$N(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K - N_0}{N_0}\right)e^{-rt}}$$

Grafen er den karakteristiske S-kurven: eksponentiell start, så et vendepunkt, så utflating mot $K$. Et fint og eksamensrelevant detaljresultat: veksten $\displaystyle \frac{dN}{dt}$ er størst når $\displaystyle N = \frac{K}{2}$ — uttrykket $\displaystyle rN(1 - \frac{N}{K})$ er jo en parabel i $N$ med topp midt mellom nullpunktene $0$ og $K$. En epidemi vokser altså raskest når halve «markedet» av mottakelige er nådd; det samme gjelder salget av et nytt produkt på vei mot metning.

Hvordan velger planleggeren modell? Tommelfingerregelen: eksponentiell modell for tidlige faser og kort sikt, når ressursene er rikelige og begrensningene ikke binder; logistisk når metning, plassmangel eller markedsgrenser er synlige i horisonten. Og husk fra forrige kapittel at også de lineære modellene — Newtons avkjøling, kontoer med faste innskudd, blandingsproblemer — hører hjemme i verktøykassen, med sin egen signatur: eksponentiell innsving mot en likevekt $\displaystyle \frac{b}{a}$, uten S-form. Tre kurveformer, tre fortellinger: eksplosjon, S-kurve, utflating mot nivå. Gjenkjenner du fortellingen i dataene, har du som regel funnet riktig likning.

Tre fortellinger om fremtiden

Innboksen fra første arbeidsdag kan nå besvares med metode. Modellering med differensiallikninger følger alltid samme løype: beskriv hvordan endringen avhenger av tilstanden, formuler likningen, løs den med teknikkene fra kapitlene før — og tolk svaret kritisk.

Den eksponentielle modellen $N' = kN$ gir $N(t) = N_0e^{kt}$, med konstant doblings- eller halveringstid $\displaystyle T = \frac{\ln 2}{|k|}$. Den svarte på byspørsmålet — 150 000 innbyggere om cirka 20,3 år — men bare med forbeholdet «hvis veksten fortsetter»: eksponentialfunksjoner kjenner ingen grenser, det gjør virkeligheten. Den logistiske modellen $\displaystyle N' = rN(1 - \frac{N}{K})$ bygger grensen inn via bæreevnen $K$: S-kurven starter eksponentielt, vokser raskest ved $\displaystyle N = \frac{K}{2}$ og flater ut mot $K$. Og de lineære modellene fra forrige kapittel — avkjøling, kontoer, blandinger — leverer den tredje kurveformen: eksponentiell innsving mot en likevekt.

Modellvalget er selve faget: eksponentiell på kort sikt med frie ressurser, logistisk når metningen nærmer seg, lineær når et ytre pådrag møter proporsjonal demping. Gjenkjenn kurveformen i dataene, så finner du likningen — og med den både prognosen og dens begrensninger.

Dermed har du hele differensiallikningsverktøyet for S2: begrepene, løsningsteknikkene og modellene. Det som gjenstår, er det viktigste — å bruke dem med dømmekraft.