8.5 Optimering med bibetingelser | Matematikk S2

Løse optimeringsproblemer med liknings- og ulikhetsbibetingelser.

60 min

19 oppgaver

OptimeringBibetingelserLagrange-multiplikatorerLineær programmering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Optimering

Økonomisk vekst

Mange økonomiske størrelser endrer seg over tid: BNP, befolkning, aksjeverdier, gjeld. For å beskrive og forutsi slik utvikling bruker vi vekstmodeller basert på eksponentialfunksjoner og differensiallikninger.

I dette kapitlet knytter vi sammen det vi har lært om eksponentialfunksjoner, derivasjon og integrasjon med praktiske økonomiske problemstillinger som rentes rente, inflasjon og bærekraftig vekst.

Eksponentiell vekst og rentes rente

r

📜Doblingstid og halveringstid

For eksponentiell vekst

K(t) = K_0 \cdot e^{rt}

med

r > 0

er doblingstiden:

T_2 = \frac{\ln 2}{r} \approx \frac{0{,}693}{r}

For eksponentiell vekst $K(t) = K_0 \cdot (1+r)^t$ er doblingstiden:
$T_2 = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$

Tilnærmingsformel (72-regelen): $\displaystyle T_2 \approx \frac{72}{r \cdot 100}$ der $r$ er renten i prosent.

Eksempel: Med 6 % rente er doblingstiden ca. $\displaystyle \frac{72}{6} = 12$ år.

Halveringstid (for $r < 0$ ): $\displaystyle T_{1/2} = \frac{\ln 2}{|r|}$

✏️Sparekonto med rentes rente

Du setter inn 50 000 kr på en konto med 4 % årlig rente.

a) Sett opp en modell for kapitalen $K(t)$ etter $t$ år.
b) Hvor mye har du etter 10 år?
c) Finn doblingstiden.
d) Hvor lang tid tar det å nå 100 000 kr?

a) Modell:

K(t) = 50\,000 \cdot 1{,}04^t

b) Etter 10 år:
$K(10) = 50\,000 \cdot 1{,}04^{10} = 50\,000 \cdot 1{,}4802 \approx 74\,012 \text{ kr}$

c) Doblingstid:
$T_2 = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}04} = \frac{0{,}6931}{0{,}03922} \approx 17{,}7 \text{ år}$

72-regelen: $\displaystyle \frac{72}{4} = 18$ år (god tilnærming).

d) Tid til 100 000 kr:
$50\,000 \cdot 1{,}04^t = 100\,000$
$1{,}04^t = 2$
$t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}04} \approx 17{,}7 \text{ år}$

(Samme som doblingstiden, naturligvis.)

Nåverdi og realverdi

Nåverdi er verdien i dag av en fremtidig utbetaling, diskontert med en kalkulasjonsrente.

Dersom du skal motta beløpet $B$ om $t$ år og kalkulasjonsrenten er $r$ , er nåverdien:
$NV = \frac{B}{(1+r)^t} = B \cdot (1+r)^{-t}$

Nåverdi av en betalingsrekke $a_1, a_2, \ldots, a_n$ mottatt etter 1, 2, ..., $n$ år:
$NV = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{(1+r)^k}$

For like betalinger $a$ i $n$ år (annuitet):
$NV = a \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$

Realverdi tar hensyn til inflasjon. Med inflasjon $i$ er realrenten ca. $r_{\text{real}} \approx r - i$ (eksakt: $\displaystyle r_{\text{real}} = \frac{1+r}{1+i} - 1$ ).

Nåverdi

B

✏️Nåverdi av investering

En bedrift vurderer en investering på 500 000 kr som gir følgende inntekter:
- År 1: 150 000 kr
- År 2: 200 000 kr
- År 3: 250 000 kr

Kalkulasjonsrenten er 8 %. Er investeringen lønnsom?

Nåverdi av inntektene:

NV = \frac{150\,000}{1{,}08^1} + \frac{200\,000}{1{,}08^2} + \frac{250\,000}{1{,}08^3}

$= \frac{150\,000}{1{,}08} + \frac{200\,000}{1{,}1664} + \frac{250\,000}{1{,}2597}$

$\approx 138\,889 + 171\,468 + 198\,456 = 508\,813 \text{ kr}$

Netto nåverdi (NNV):
$NNV = 508\,813 - 500\,000 = 8\,813 \text{ kr}$

Siden $NNV > 0$ er investeringen lønnsom (men bare marginalt). Den gir en avkastning litt over 8 %.

Logistisk vekst

Eksponentiell vekst er urealistisk over lang tid fordi den antar ubegrenset vekst. I praksis begrenses veksten av ressurser, markedsstørrelse eller kapasitet.

Logistisk vekst modellerer begrenset vekst:
$P(t) = \frac{L}{1 + ae^{-kt}}$

der:
- $L$ er bæreevnen (øvre grense / metningsverdi)
- $\displaystyle a = \frac{L - P_0}{P_0}$ bestemmes av startverdien $P_0 = P(0)$
- $k > 0$ er vekstkonstanten

Egenskaper:
- $P(t) \to L$ når $t \to \infty$ (nærmer seg bæreevnen)
- Veksten er raskest når $\displaystyle P = \frac{L}{2}$ (vendepunktet)
- S-formet kurve (sigmoid)

Logistisk vekstmodell

P(t) = \frac{L}{1 + ae^{-kt}}

✏️Logistisk vekst i markedspenetrasjon

Antall brukere av en ny app modelleres med $\displaystyle P(t) = \frac{100\,000}{1 + 99e^{-0{,}5t}}$ der $t$ er antall måneder etter lansering.

a) Hvor mange brukere er det ved lansering ( $t = 0$ )?
b) Hva er det maksimale antall brukere?
c) Når er veksten raskest, og hvor mange nye brukere per måned får appen da?

a) Ved lansering:

P(0) = \frac{100\,000}{1 + 99} = \frac{100\,000}{100} = 1000 \text{ brukere}

b) Maksimalt antall:
$\lim_{t \to \infty} P(t) = \frac{100\,000}{1 + 0} = 100\,000 \text{ brukere}$

Bæreevnen er $L = 100\,000$ .

c) Raskest vekst:
Vendepunktet er der $\displaystyle P = \frac{L}{2} = 50\,000$ .

Tidspunktet: $\displaystyle t_v = \frac{\ln 99}{0{,}5} = \frac{4{,}595}{0{,}5} \approx 9{,}2$ måneder.

Veksthastigheten i vendepunktet:
$P'(t_v) = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right) = 0{,}5 \cdot 50\,000 \cdot \left(1 - \frac{50\,000}{100\,000}\right) = 0{,}5 \cdot 50\,000 \cdot 0{,}5 = 12\,500$

Appen vokser raskest etter ca. 9,2 måneder med ca. 12 500 nye brukere per måned.

📜Kontinuerlig inntektsstrøm (nåverdi med integral)

Dersom en investering gir en kontinuerlig inntektsstrøm

R(t)

kroner per år i

T

år, og kalkulasjonsrenten er

r

(kontinuerlig), er nåverdien:

$NV = \int_0^T R(t) \cdot e^{-rt} \, dt$

Spesialtilfelle: Konstant inntekt $R(t) = R$ :
$NV = R \int_0^T e^{-rt} \, dt = R \cdot \frac{1 - e^{-rT}}{r}$

Når $T \to \infty$ (evig inntektsstrøm):
$NV = \frac{R}{r}$

Dette kalles kapitaliseringsformelen.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Du setter inn 100 000 kr med 5 % årlig rente. Hvor mye har du etter 15 år?

Finn doblingstiden med 72-regelen og med den eksakte formelen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn nåverdien av 200 000 kr som mottas om 5 år med kalkulasjonsrente 6 %.

Hva er nåverdien av 50 000 kr per år i 3 år med 8 % rente?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

En kapital vokser ifølge $K(t) = 80\,000 \cdot e^{0{,}06t}$ . Finn startkapitalen og den kontinuerlige renten.

Hva er den tilsvarende årlige renten?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Renten på en sparekonto er 3 % og inflasjonen er 2 %. Hva er realrenten?

Du har 500 000 kr. Hva er realverdien etter 10 år med 3 % nominell rente og 2 % inflasjon?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Antall abonnenter på en strømmetjeneste modelleres med $\displaystyle P(t) = \frac{500\,000}{1 + 49e^{-0{,}3t}}$ der $t$ er i måneder. Finn $P(0)$ og bæreevnen $L$ .

Når har tjenesten 250 000 abonnenter? Hva er veksten per måned da?

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

En bedrift gir en konstant inntektsstrøm på 80 000 kr per år i 10 år. Finn nåverdien med kontinuerlig diskontering og rente $r = 0{,}05$ .

Hva ville nåverdien vært dersom inntektsstrømmen varte evig?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

En investering på 1 000 000 kr gir inntektsstrøm $R(t) = 200\,000 e^{-0{,}02t}$ kr/år i 10 år. Finn nåverdien med $r = 0{,}06$ .

Er investeringen lønnsom?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Norges BNP i 2020 var ca. 3500 milliarder kr. Anta en årlig vekst på 2 %. Sett opp en modell og finn BNP i 2030.

Når dobler BNP seg?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Vis at løsningen av differensiallikningen $K'(t) = rK(t)$ med $K(0) = K_0$ er $K(t) = K_0 e^{rt}$ .

En konto har kontinuerlig forrentning med $r = 0{,}04$ og du gjør også løpende innskudd på $s$ kr per år. Sett opp differensiallikningen og finn $K(t)$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Et salgsmarked er modellert med $\displaystyle S(t) = \frac{2000}{1 + 19e^{-0{,}4t}}$ enheter per uke. Finn tidspunktet for raskest salgsvekst og den maksimale vekstraten.

Vis at $S'(t) = 0{,}4 S(t)(1 - S(t)/2000)$ ved å derivere $S(t)$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Du vurderer to investeringer med rente $r = 0{,}05$ . A: 100 000 kr nå. B: 110 000 kr om 2 år. Hvilken er best (basert på nåverdi)?

For hvilken rente $r$ er de to investeringene likeverdige?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En bedrift har årlig inntektsstrøm $R(t) = 100\,000(1 + 0{,}03t)$ kr/år (lineært voksende). Finn nåverdien over 5 år med $r = 0{,}06$ (kontinuerlig).

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

Forklar forskjellen mellom eksponentiell og logistisk vekst med egne ord.

Nevn to eksempler på økonomiske fenomener som passer best med logistisk vekst.

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

En kapital vokser med kontinuerlig rente 7 %. Finn den eksakte årlige renten.

En investering gir 4 % årlig avkastning. Finn den kontinuerlige renten.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Eksponentiell vekst: $K(t) = K_0(1+r)^t$ eller $K(t) = K_0 e^{r_k t}$
- Doblingstid: $\displaystyle T_2 = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$ (72-regelen: $\displaystyle \approx \frac{72}{r \cdot 100}$ )

Nåverdi: $\displaystyle NV = \frac{B}{(1+r)^t}$ (verdien i dag av et fremtidig beløp)
- Kontinuerlig inntektsstrøm: $NV = \int_0^T R(t) e^{-rt} \, dt$
- Evig konstant inntekt: $\displaystyle NV = \frac{R}{r}$

Logistisk vekst: $\displaystyle P(t) = \frac{L}{1 + ae^{-kt}}$
- S-formet kurve med bæreevne $L$
- Raskest vekst ved $P = L/2$

Realverdi: $r_{\text{real}} \approx r_{\text{nominell}} - \text{inflasjon}$

Sammenheng: $(1+r)^t = e^{t \ln(1+r)}$ , altså er kontinuerlig rente $r_k = \ln(1+r)$ .

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.