3.3 Optimering

Steg 3: Arealet er $A = x \cdot y$.

Steg 4: Begrensning: $2x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - 2x$

Arealet som funksjon av $x$:
$$A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$$

Steg 5: Definisjonsmengde: $x > 0$ og $y > 0$, altså $0 < x < 50$.

Steg 6: $A'(x) = 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25$

Steg 7: $A''(x) = -4 < 0$ - toppunkt bekreftet (maks areal).

Steg 8: $x = 25$ m og $y = 100 - 50 = 50$ m.
Største areal: $A = 25 \cdot 50 = 1250$ m$^2$.

Svar: Innhegningen bør være 25 m bred og 50 m lang, noe som gir et areal på 1250 m$^2$.

Steg 3: Overflaten (bunn + sideflate, uten lokk):
$$S = \pi r^2 + 2\pi r h$$

Steg 4: Begrensning fra volumet: $\displaystyle V = \pi r^2 h = 500 \Rightarrow h = \frac{500}{\pi r^2}$

Sett inn:
$$S(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{1000}{r}$$

Steg 5: $r > 0$

Steg 6: Deriver:
$$S'(r) = 2\pi r - \frac{1000}{r^2}$$

$S'(r) = 0$:
$$2\pi r = \frac{1000}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{1000}{2\pi} = \frac{500}{\pi}$$
$$r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \text{ cm}$$

Steg 7: $\displaystyle S''(r) = 2\pi + \frac{2000}{r^3} > 0$ for alle $r > 0$ - bunnpunkt bekreftet.

Steg 8: $\displaystyle h = \frac{500}{\pi \cdot (\frac{500}{\pi})^{2/3}} = \frac{500}{(\frac{500}{\pi})^{2/3} \cdot \pi} = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} = r \approx 5{,}42$ cm.

Svar: Radius $\approx 5{,}42$ cm og høyde $\approx 5{,}42$ cm (dvs. $h = r$).
Minste overflate: $S \approx 277$ cm$^2$.

Overskudd:
$$O(x) = I(x) - K(x) = 200x - 2x^2 - x^3 + 6x^2 - 15x - 50$$
$$O(x) = -x^3 + 4x^2 + 185x - 50$$

Deriver:
$$O'(x) = -3x^2 + 8x + 185$$

$O'(x) = 0$:
$$3x^2 - 8x - 185 = 0$$
$$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 2220}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{2284}}{6} = \frac{8 \pm 47{,}8}{6}$$

$\displaystyle x = \frac{55{,}8}{6} \approx 9{,}3$ (tusen enheter)

(Den negative løsningen $x \approx -6{,}6$ gir ikke mening.)

Verifisering: $O''(x) = -6x + 8$. $O''(9{,}3) = -6(9{,}3) + 8 = -47{,}8 < 0$. Toppunkt bekreftet.

Svar: Størst overskudd ved produksjon av ca. 9300 enheter.

Det er enklere å minimere $d^2$ (som har minimum på samme sted):
$$D(x) = d^2 = x^2 + (x^2 - 1)^2 = x^2 + x^4 - 2x^2 + 1 = x^4 - x^2 + 1$$

Deriver:
$$D'(x) = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1)$$

$D'(x) = 0$: $x = 0$ eller $\displaystyle x^2 = \frac{1}{2}$, dvs. $\displaystyle x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Verifiser med $D''(x) = 12x^2 - 2$:
$D''(0) = -2 < 0$ (lokalt maks, ikke det vi leter etter)
$\displaystyle D''(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}) = 6 - 2 = 4 > 0$ (lokalt min!)

Svaret: Punktene $\displaystyle (\pm\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$ på parabelen har kortest avstand til $(0, 1)$.
Avstanden er $\displaystyle d = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$.