3.3 Optimering

Jakten på det beste

En bonde med 100 meter gjerde. En emballasjedesigner som vil bruke minst mulig aluminium. En økonomisjef som lurer på hvor mange enheter bedriften bør produsere. Alle tre stiller i bunn og grunn samme spørsmål: hva er den beste løsningen? Optimering handler om å finne den største eller minste verdien av en størrelse — maksimere areal, volum eller fortjeneste, eller minimere kostnad, materialbruk eller avstand. Og derivasjon er det perfekte verktøyet, for ekstremalverdier gjemmer seg der den deriverte er null.

Alle optimeringsproblemer kan løses med samme fremgangsmåte. Først leser du oppgaven nøye: hva skal optimeres, og hvilke begrensninger finnes? Så innfører du variabler og tegner gjerne en figur. Deretter setter du opp funksjonsuttrykket for størrelsen som skal optimeres, og bruker begrensningene til å uttrykke funksjonen med én variabel. Du bestemmer definisjonsmengden — hvilke verdier gir fysisk mening? — før du deriverer, setter $f'(x) = 0$ og løser. Til slutt verifiserer du at løsningen virkelig er et maksimum eller minimum (med andrederivert-test eller fortegnslinje), og svarer på spørsmålet med riktig enhet.

Det er denne oppskriften vi skal følge gjennom tre fortellinger: en innhegning ved elva, en sylinder uten lokk, og en bedrift som leter etter sitt mest lønnsomme produksjonsnivå.

Bonden ved elva

Bonden har 100 meter gjerde og vil lage en rektangulær innhegning langs en elv. Elva fungerer som den ene langsiden, så gjerdet trengs bare til tre sider. Hvilke dimensjoner gir størst areal?

Vi innfører variabler: la $x$ være bredden (de to kortsidene) og $y$ lengden. Arealet er $A = x \cdot y$ — men dette er en funksjon av to variabler, og det kan vi ikke derivere uten videre. Her kommer begrensningen til unnsetning: gjerdet er 100 meter, så $2x + y = 100$, altså $y = 100 - 2x$. Nå kan arealet skrives med én variabel: $A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$. Definisjonsmengden følger av at både $x$ og $y$ må være positive: $0 < x < 50$.

Så deriverer vi: $A'(x) = 100 - 4x$, som er null når $x = 25$. Er dette et maksimum? $A''(x) = -4 < 0$, så grafen er konkav overalt — toppunkt bekreftet. Dimensjonene blir $x = 25$ m og $y = 100 - 50 = 50$ m, og det største arealet er $A = 25 \cdot 50 = 1250$ m$^2$.

Legg merke til strukturen, for den går igjen i alle slike problemer: målfunksjon ($A = xy$), begrensning ($2x + y = 100$), reduksjon til én variabel, derivasjon, verifisering og svar med enhet. Og legg merke til fellene: hadde svaret blitt $x = 60$, måtte vi forkastet det fordi det ligger utenfor definisjonsmengden. Noen ganger ligger faktisk maksimum eller minimum i et endepunkt av det tillatte intervallet — sjekk alltid det også.

Designeren og boksen

En emballasjedesigner får i oppdrag å lage en sylinderformet boks uten lokk som skal romme $500$ cm$^3$. Materialet koster penger, så målet er minst mulig overflate. Hvilke dimensjoner velger hun?

Variablene er radius $r$ og høyde $h$. Overflaten består av bunn og sideflate: $S = \pi r^2 + 2\pi r h$. Begrensningen er volumet: $\pi r^2 h = 500$, som gir $\displaystyle h = \frac{500}{\pi r^2}$. Innsatt i overflaten: $\displaystyle S(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{1000}{r}$, med definisjonsmengde $r > 0$.

Vi deriverer: $\displaystyle S'(r) = 2\pi r - \frac{1000}{r^2}$. Setter vi dette lik null, får vi $\displaystyle 2\pi r = \frac{1000}{r^2}$, altså $\displaystyle r^3 = \frac{500}{\pi}$ og $\displaystyle r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42$ cm. Verifiseringen er behagelig her: $\displaystyle S''(r) = 2\pi + \frac{2000}{r^3} > 0$ for alle $r > 0$, så dette er garantert et bunnpunkt. Regner vi ut høyden, skjer noe pent: $\displaystyle h = \frac{500}{\pi r^2} = r \approx 5{,}42$ cm. Den optimale boksen uten lokk er akkurat like høy som den er bred i radius, og minste overflate blir omtrent $277$ cm$^2$.

Samme teknikk løser avstandsproblemer. Hvilket punkt på parabelen $y = x^2$ ligger nærmest punktet $(0, 1)$? Avstanden er $d = \sqrt{x^2 + (x^2-1)^2}$, men her finnes et lurt triks: minimer heller $D(x) = d^2 = x^4 - x^2 + 1$, som har minimum samme sted og er mye enklere å derivere. $D'(x) = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1)$ gir kandidatene $x = 0$ og $\displaystyle x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. Andrederiverten $D''(x) = 12x^2 - 2$ avslører at $x = 0$ er et lokalt maksimum, mens $\displaystyle x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ gir minimum. De nærmeste punktene er $\displaystyle (\pm\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$, med avstand $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$.

Økonomisjefens regnestykke

Den tredje fortellingen foregår på et styremøte. En bedrift selger et produkt til prisen $p(x) = 200 - 2x$ kroner per enhet, der $x$ er antall enheter i tusen — jo mer de prøver å selge, desto lavere pris må de sette. Kostnadene er $K(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 50$ (i tusen kroner). Hvor mye bør de produsere?

I økonomisk optimering er begrepene faste: inntekten er $I(x) = p(x) \cdot x$, kostnaden er $K(x)$, og overskuddet er $O(x) = I(x) - K(x)$. De deriverte har egne navn: $I'(x)$ er grenseinntekten — inntekten fra å selge én enhet til — og $K'(x)$ er grensekostnaden — kostnaden ved å produsere én enhet til. Et viktig resultat følger direkte av $O'(x) = I'(x) - K'(x) = 0$: maksimalt overskudd oppnås når grenseinntekten er lik grensekostnaden, $I'(x) = K'(x)$. Så lenge en ekstra enhet gir mer inntekt enn den koster, lønner det seg å øke produksjonen; i det øyeblikket kostnaden tar igjen inntekten, bør du stoppe.

For bedriften vår: $I(x) = (200 - 2x)x = 200x - 2x^2$, så $O(x) = 200x - 2x^2 - (x^3 - 6x^2 + 15x + 50) = -x^3 + 4x^2 + 185x - 50$. Deriverer: $O'(x) = -3x^2 + 8x + 185 = 0$, som med abc-formelen gir $\displaystyle x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 2220}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{2284}}{6}$. Den positive løsningen er $x \approx 9{,}3$; den negative forkastes som meningsløs. Verifisering: $O''(x) = -6x + 8$, og $O''(9{,}3) \approx -47{,}8 < 0$ — toppunkt bekreftet. Bedriften bør produsere omtrent 9300 enheter.

Før du leverer et slikt svar, kontrollerer du listen over klassiske feil: ligger løsningen i definisjonsmengden, har du verifisert at det er maks (ikke min), har du sjekket endepunktene, stemmer enhetene — og svarer du faktisk på det oppgaven spør om?

Oppsummering: én oppskrift, mange problemer

Bonden, designeren og økonomisjefen løste tilsynelatende helt ulike problemer — størst areal, minst overflate, høyest overskudd — men fulgte nøyaktig samme oppskrift. Forstå problemet og identifiser hva som skal optimeres. Innfør variabler og sett opp funksjonsuttrykket. Bruk begrensningene til å redusere til én variabel, og bestem definisjonsmengden ut fra hva som gir fysisk mening. Deriver, sett $f'(x) = 0$ og løs. Verifiser med andrederivert eller fortegnslinje at du faktisk har et maksimum eller minimum. Og svar på spørsmålet med riktig enhet.

Underveis plukket vi opp nyttige knep: avstander minimeres enklest ved å minimere kvadratet $d^2$, og i økonomi gjelder det elegante prinsippet om at maksimalt overskudd nås når grenseinntekt er lik grensekostnad, $I'(x) = K'(x)$, der $I(x) = p(x) \cdot x$ og $O(x) = I(x) - K(x)$.

De vanlige optimeringsproblemene i S2 kommer fra geometri (areal, volum, overflate), økonomi (inntekt, kostnad, overskudd), avstand (korteste avstand til en kurve) og emballasje (minst materiale for gitt volum). Fellene er like forutsigbare som oppgavetypene: løsninger utenfor definisjonsmengden, manglende verifisering av maks/min, glemte endepunkter, blandede enheter og svar som ikke svarer på spørsmålet. Med oppskriften i ryggraden er optimering en av de mest takknemlige oppgavetypene på eksamen — det finnes alltid en beste løsning, og nå vet du hvordan du finner den.