8.2 Optimering av overskudd

Hvor mange enheter skal vi egentlig lage?

Brusbryggeriet fra forrige kapittel har vokst, og vennene står foran sesongens store beslutning: hvor mange flasker skal de produsere? Lager de for få, går de glipp av salg. Lager de for mange, spiser produksjonskostnadene opp gevinsten. Et sted imellom ligger det magiske tallet — produksjonsnivået som gir størst mulig overskudd.

Overskudd (også kalt resultat) er forskjellen mellom inntekt og kostnad. Vi samler alt i overskuddsfunksjonen

$$O(x) = I(x) - K(x)$$

der $I(x)$ er totalinntekten og $K(x)$ totalkostnaden ved $x$ enheter. Er $O(x) < 0$, går bedriften med underskudd. Maksimering av overskuddet er kanskje den viktigste anvendelsen av derivasjon i økonomisk analyse — og den bygger direkte på grensestørrelsene fra forrige kapittel.

I denne fortellingen utleder vi den kjente Regelen $I'(x) = K'(x)$, finner ut hvor bedriften går i null, og setter opp en eksamensstrategi som løser så godt som alle overskuddsoppgaver.

$I'(x) = K'(x)$ — prinsippet som styrer alt

Hvor er $O(x) = I(x) - K(x)$ størst? Som alltid med maksimering: der den deriverte er null.

$$O'(x) = 0 \iff I'(x) - K'(x) = 0 \iff I'(x) = K'(x)$$

Overskuddet er maksimalt der grenseinntekten er lik grensekostnaden. I tillegg må $O''(x) < 0$ — altså $I''(x) < K''(x)$ — for at punktet skal være et maksimum og ikke et minimum.

Tenk på logikken, så glemmer du den aldri: Så lenge $I'(x) > K'(x)$ gir hver ekstra enhet mer i inntekt enn den koster — produser mer! Når $I'(x) < K'(x)$ koster hver ekstra enhet mer enn den smaker — produser mindre. Det optimale ligger nøyaktig i balansepunktet $I'(x) = K'(x)$.

La oss bruke prinsippet. Bryggeriet selger til fast pris $p = 60$ kroner og har $K(x) = 0{,}02x^3 - 1{,}5x^2 + 50x + 400$. Overskuddsfunksjonen blir $O(x) = 60x - K(x) = -0{,}02x^3 + 1{,}5x^2 + 10x - 400$. $I'(x) = K'(x)$ gir $60 = 0{,}06x^2 - 3x + 50$, altså $0{,}06x^2 - 3x - 10 = 0$. Abc-formelen gir

$$x = \frac{3 + \sqrt{9 + 2{,}4}}{0{,}12} \approx 53{,}1$$

(den negative løsningen forkastes). Vi sjekker: $O''(53{,}1) = -0{,}12 \cdot 53{,}1 + 3 \approx -3{,}4 < 0$ — et maksimum. Maksimalt overskudd: $O(53) \approx 1366$ kroner. Cirka 53 flasker er altså sesongens fasit.

Nullpunktene for overskuddet og variabel pris

Investoren som vurderer å skyte penger inn i bryggeriet, stiller et annet spørsmål: «Hvor mange flasker må dere selge for å gå i null?» Det handler om nullpunktene for overskuddet (overskuddsgrensene): produksjonsnivåene der overskuddet er null,

$$O(x) = 0 \iff I(x) = K(x)$$

Mellom nullpunktene for overskuddet (når det finnes to) har bedriften overskudd. Grafisk er bildet vakkert: tegner du $I(x)$ og $K(x)$ i samme koordinatsystem, er overskuddet den vertikale avstanden mellom kurvene. Avstanden er størst der tangentene er parallelle — nettopp der $I'(x) = K'(x)$. Og kurvene krysser hverandre i nullpunktene for overskuddet.

La oss ta et komplett eksempel med variabel pris. Bryggeriet har $K(x) = x^2 + 20x + 200$ og møter etterspørselen $p(x) = 100 - x$. Inntekten blir $I(x) = (100-x)x = 100x - x^2$, og overskuddet

$$\begin{aligned} O(x) &= 100x - x^2 - x^2 - 20x - 200 \\ &= -2x^2 + 80x - 200 \end{aligned}$$

Maksimering: $O'(x) = -4x + 80 = 0$ gir $x = 20$, og $O''(x) = -4 < 0$ bekrefter maksimum. Alternativt med $I'(x) = K'(x)$: $100 - 2x = 2x + 20$ gir samme $x = 20$. Maksimalt overskudd er $O(20) = -800 + 1600 - 200 = 600$ kroner, og prisen ved optimal produksjon blir $p(20) = 80$ kroner.

Nullpunkter for overskuddet: $-2x^2 + 80x - 200 = 0$, altså $x^2 - 40x + 100 = 0$, som gir $x = 20 \pm 10\sqrt{3}$ — omtrent $2{,}7$ og $37{,}3$. Bedriften tjener penger for produksjon mellom 3 og 37 enheter; utenfor dette intervallet taper den.

Fast pris og strategien som alltid virker

Et viktig spesialtilfelle fortjener egen omtale: bedriften selger til fast pris $p$ (fullkommen konkurranse — bedriften er for liten til å påvirke markedsprisen). Da er $I(x) = px$ og $I'(x) = p$, og regelen $I'(x) = K'(x)$ forenkles til

$$p = K'(x)$$

Overskuddet er maksimalt der prisen er lik grensekostnaden. Kravet til den dobbeltderiverte blir $O''(x) = -K''(x) < 0$, altså $K''(x) > 0$: grensekostnaden må være voksende i det optimale punktet.

Et eksempel som viser hvorfor det kravet ikke er pedanteri: $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 20x + 300$ med fast pris $p = 20$. Betingelsen $p = K'(x)$ gir $20 = 0{,}03x^2 - 1{,}2x + 20$, altså $0{,}03x(x - 40) = 0$ med løsningene $x = 0$ og $x = 40$. Hvilken er riktig? $O''(x) = -0{,}06x + 1{,}2$ gir $O''(0) = 1{,}2 > 0$ (minimum — verst mulig!) og $O''(40) = -1{,}2 < 0$ (maksimum). Optimal produksjon er 40 enheter, med $O(40) = -640 + 960 - 300 = 20$ kroner.

Til slutt, eksamensstrategien i fem steg: (1) Sett opp $O(x) = I(x) - K(x)$. (2) Deriver. (3) Løs $O'(x) = 0$, eller ekvivalent $I'(x) = K'(x)$. (4) Sjekk $O''(x) < 0$. (5) Beregn det oppgaven spør om. Og les spørsmålet nøye: «optimalt produksjonsnivå» betyr $x$-verdien, «maksimalt overskudd» betyr $O(x)$ i punktet, «prisen ved optimal produksjon» betyr $p(x)$ innsatt, og «nullpunktene for overskuddet» betyr å løse $O(x) = 0$. Ofte er $I'(x) = K'(x)$ raskere enn å derivere hele overskuddsfunksjonen — bruk det som hovedverktøy.

Oppsummering: balansepunktet der marginalene møtes

Bryggeriets store spørsmål fikk et presist svar. Overskuddsfunksjonen $O(x) = I(x) - K(x)$ maksimeres der $O'(x) = 0$, som er det samme som Regelen $I'(x) = K'(x)$: grenseinntekt lik grensekostnad, $I'(x) = K'(x)$ — med testen med den dobbeltderiverte $O''(x) < 0$ som kvalitetssikring. Logikken er marginal: tjener neste enhet mer enn den koster, lag den; koster den mer enn den smaker, la være.

Nullpunktene for overskuddet løser $O(x) = 0$, altså $I(x) = K(x)$ — der inntektskurven krysser kostnadskurven — og bedriften har overskudd i intervallet mellom dem. Grafisk er overskuddet den vertikale avstanden mellom $I(x)$ og $K(x)$, størst der tangentene er parallelle. Ved fast pris forenkles alt til $p = K'(x)$ med kravet om voksende grensekostnad, $K''(x) > 0$.

Og strategien som løser eksamensoppgavene: sett opp $O(x)$, deriver, løs $O'(x) = 0$ (eller bruk $I'(x) = K'(x)$ direkte — ofte raskere), sjekk $O''(x) < 0$, og svar på det oppgaven faktisk spør om — nivå, overskudd, pris eller nullpunktene for overskuddet. Neste kapittel zoomer ut fra den enkelte bedriften til hele markedet: hva skjer når tilbud møter etterspørsel?