Tilbake
10.1
Alle fag for Høyskole

10.1 Inverse funksjoner

Eksistens via streng monotoni, og den deriverte $g'(y)=1/f'(x)$.

40 min
6 oppgaver
Inverse funksjoner
Din fremgang i kapitlet
0 / 6 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Kapitlet bygger på kap. 4.1 (fortegnsanalyse av f′f', som er hele eksistensargumentet) og på Omvendte funksjoner og Derivasjon av omvendte funksjoner fra R1.

Sist du var her — den ene linja alt bygger på:

f′(x)>0 i hele omra˚det ⟹ f er strengt voksende derf'(x)>0\ \text{i hele området}\ \Longrightarrow\ f\ \text{er strengt voksende der}

En strømleverandør har en tabell som gir kostnaden når du vet forbruket. Kunden vil vite det motsatte: hvor mye kan jeg bruke for 800 kroner? Det er samme sammenheng lest baklengs.

Den baklengse lesningen er den inverse funksjonen. Den finnes ikke alltid — og det er nettopp det eksamen spør om. Har en gitt sammenheng en entydig baklengs lesning, eller finnes det to ulike forbruk som gir samme regning?

Svaret ligger i ett ord: monotoni. Går kurven bare oppover, kan hver verdi bare nås én gang, og den baklengse lesningen er entydig.

Løkke 1 — Når finnes inversen? (~13 min)

Den inverse funksjonen
Den inverse funksjonen leser sammenhengen baklengs: den tar en funksjonsverdi og gir tilbake det xx som lagde den.

y=f(x) ⟺ x=g(y)y=f(x)\ \Longleftrightarrow\ x=g(y)

Vi skriver gg for inversen til ff. Setter du dem etter hverandre, kommer du tilbake dit du startet: g(f(x))=xg(f(x))=x. For at gg skal være en funksjon, må hver yy-verdi svare til nøyaktig ett xx — ellers vet vi ikke hvilket xx vi skal gi tilbake.

Streng monotoni
En funksjon er strengt monoton når den bare går én vei — enten hele veien opp eller hele veien ned.

f′(x)>0 overalt ⇒ strengt voksende;f′(x)<0 overalt ⇒ strengt avtakendef'(x)>0\ \text{overalt}\ \Rightarrow\ \text{strengt voksende};\qquad f'(x)<0\ \text{overalt}\ \Rightarrow\ \text{strengt avtakende}

Ordet strengt betyr at funksjonen aldri står stille over et intervall. Enkeltpunkter der f′=0f'=0 er greit så lenge fortegnet ikke skifter — f(x)=x3f(x)=x^{3} er strengt voksende selv om f′(0)=0f'(0)=0.

📜Eksistenskriteriet
Er ff strengt monoton på et intervall, har ff en invers på det intervallet.

f strengt monoton pa˚ I ⟹ f har invers pa˚ If\ \text{strengt monoton på }I\ \Longrightarrow\ f\ \text{har invers på }I

Slik brukes det i praksis: regn ut f′f', avgjør fortegnet i hele definisjonsområdet med fortegnsanalyse (kap. 4.1), og konkluder. Skifter fortegnet, finnes ingen invers på hele området — men det kan godt finnes en på hver av delene.

✏️Eksempel 1: Finnes inversen?

Avgjør for hver funksjon om den har en invers på det oppgitte området, og begrunn.

a) f(x)=x3+2xf(x)=x^{3}+2x på hele R\mathbb{R}.

b) f(x)=x3−3xf(x)=x^{3}-3x på hele R\mathbb{R}.

c) f(x)=x2−4xf(x)=x^{2}-4x på [2,∞)[2,\infty).

a) Ja.

f′(x)=3x2+2f'(x)=3x^{2}+2

Fortegnsargument: 3x2≥03x^{2}\ge 0 for alle xx, så f′(x)≥2>0f'(x)\ge 2>0 overalt. Fortegnet er konstant positivt i hele R\mathbb{R}, altså er ff strengt voksende, og inversen finnes ✓

Merk hvordan argumentet er ført: ikke ved å prøve tallverdier, men ved å vise at uttrykket er positivt for alle xx. Det er den formen sensor vil se.

b) Nei.

f′(x)=3x2−3=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)f'(x)=3x^{2}-3=3\left(x^{2}-1\right)=3(x-1)(x+1)

Fortegnslinje:

- x<−1x<-1: begge faktorer negative, produktet positivt → f′>0f'>0
- −1<x<1-1<x<1: én negativ og én positiv → f′<0f'<0
- x>1x>1: begge positive → f′>0f'>0

Fortegnet skifter, så ff er ikke monoton på R\mathbb{R}, og inversen finnes ikke der.

Konkret motbevis: f(0)=0f(0)=0 og f(3)=33−33=0f(\sqrt3)=3\sqrt3-3\sqrt3=0. To ulike xx gir samme yy, så en baklengs lesning kan ikke være entydig.

Men merk: på hvert av intervallene (−∞,−1](-\infty,-1], [−1,1][-1,1] og [1,∞)[1,\infty) er ff strengt monoton, og der finnes inversen. Spørsmålet er alltid på hvilket område.

c) Ja.

f′(x)=2x−4=2(x−2)f'(x)=2x-4=2(x-2)

For x>2x>2 er f′(x)>0f'(x)>0, og i endepunktet er f′(2)=0f'(2)=0. Fortegnet skifter ikke på [2,∞)[2,\infty) — det er null i ett enkelt punkt og positivt ellers. Funksjonen er dermed strengt voksende på området, og inversen finnes ✓

Verbal konklusjon: eksistensen avgjøres av fortegnet på f′f' i hele det oppgitte området — ikke av hvordan funksjonen oppfører seg i ett punkt.

📝Oppgave 1
IN

Avgjør for hver funksjon om den har en invers på hele R\mathbb{R}, og begrunn med fortegnet på f′f'.

a) f(x)=2x5+3x+1f(x)=2x^{5}+3x+1

b) f(x)=x2+6xf(x)=x^{2}+6x

c) f(x)=−ex−xf(x)=-e^{x}-x

Løkke 2 — Den inverses deriverte (~14 min)

Utledning med intuisjon. Inversen oppfyller identiteten

g(f(x))=xg\big(f(x)\big)=x

Deriver begge sider med hensyn på xx. Venstresiden er en sammensatt funksjon, så kjerneregelen gir

g′(f(x))⋅f′(x)=1g'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)=1

Intuisjon: å gå fram og tilbake skal etterlate deg der du startet, så de to endringstaktene må gange seg til 1.

Løs for den ukjente, og skriv y=f(x)y=f(x):

g′(y)=1f′(x)der y=f(x)\boxed{g'(y)=\frac{1}{f'(x)}\quad\text{der }y=f(x)}

Intuisjon: speiler du grafen om linja y=xy=x, bytter «bortover» og «oppover» plass. En bratt kurve blir slak, og en slak blir bratt — derfor den omvendte brøken.

Den inverses deriverte
Den deriverte til inversen er den omvendte av den deriverte til funksjonen — evaluert i det punktet som svarer til hverandre.

g′(y)=1f′(x),y=f(x)g'(y)=\frac{1}{f'(x)},\qquad y=f(x)

Det avgjørende er hvilket punkt. Skal du finne g′(y0)g'(y_0), må du først finne det x0x_0 som oppfyller f(x0)=y0f(x_0)=y_0, og deretter regne ut f′(x0)f'(x_0). Å sette y0y_0 inn i f′f' er den vanligste feilen i sjangeren.

✏️Eksempel 2: Den inverses deriverte i et punkt

La f(x)=x3+2xf(x)=x^{3}+2x, som vi viste har en invers gg på hele R\mathbb{R}.

a) Finn g′(3)g'(3).

b) La f(x)=x+ln⁡xf(x)=x+\ln x på (0,∞)(0,\infty). Vis at inversen finnes, og finn g′(1)g'(1).

a) Metode: finn først hvilket xx som gir y=3y=3.

f(x)=3 ⟹ x3+2x=3f(x)=3\ \Longrightarrow\ x^{3}+2x=3

Prøv x=1x=1: 1+2=31+2=3 ✓ Og siden ff er strengt voksende, er dette den eneste løsningen — vi trenger ikke lete videre.

f′(x)=3x2+2 ⟹ f′(1)=3+2=5f'(x)=3x^{2}+2\ \Longrightarrow\ f'(1)=3+2=5

g′(3)=1f′(1)=15g'(3)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{5}

Merk hvor punktet kom inn: g′g' evalueres i y=3y=3, men f′f' evalueres i x=1x=1. De to tallene hører sammen gjennom f(1)=3f(1)=3.

Kontroll: en liten økning i yy fra 3 til 3,1 skal gi en økning i xx på omtrent 0,1/5=0,020{,}1/5=0{,}02. Og ganske riktig: f(1,02)=1,0612+2,04≈3,101f(1{,}02)=1{,}0612+2{,}04\approx 3{,}101 ✓

b) Eksistens først.

f′(x)=1+1xf'(x)=1+\frac{1}{x}

For x>0x>0 er 1x>0\dfrac1x>0, så f′(x)>1>0f'(x)>1>0 i hele definisjonsområdet. Strengt voksende → inversen finnes ✓

Finn punktet.

f(x)=1 ⟹ x+ln⁡x=1f(x)=1\ \Longrightarrow\ x+\ln x=1

Prøv x=1x=1: 1+ln⁡1=1+0=11+\ln 1=1+0=1 ✓ Entydig, siden ff er strengt voksende.

f′(1)=1+1=2 ⟹ g′(1)=12f'(1)=1+1=2\ \Longrightarrow\ g'(1)=\frac12

Verbal konklusjon: i punktet der ff har stigningstall 2, har inversen stigningstall 12\tfrac12. De to er hverandres omvendte, alltid.

Figuren i ord — slik ser du den for deg når du ikke har den foran deg:

- Tegn linja y=xy=x som en stiplet 45-graders diagonal.
- Grafen til ff ligger på den ene siden av diagonalen, grafen til gg på den andre — de er speilbilder.
- Et punkt (a,b)(a,b) på ff har sitt speilpunkt (b,a)(b,a) på gg: koordinatene bytter plass.
- Der ff stiger slakt, stiger gg bratt, og omvendt. Det er den geometriske grunnen til at brøken snus.

📝Oppgave 2
Sjanger IN

La f(x)=e2x+xf(x)=e^{2x}+x.

a) Vis at ff har en invers gg på hele R\mathbb{R}.

b) Finn g′(1)g'(1).

📝Oppgave 3
Sjanger IN

La f(x)=x2−4xf(x)=x^{2}-4x på [2,∞)[2,\infty).

a) Vis at ff har en invers på dette området.

b) Finn inversen gg eksplisitt.

c) Finn g′(12)g'(12) på to måter: med formelen g′(y)=1/f′(x)g'(y)=1/f'(x), og ved å derivere uttrykket fra b).

Løkke 3 — Eksamensformatet: sant eller usant (~13 min)

Fremgangsmåten på et IN-delpunkt
Tre linjer løser standarddelpunktet.

1) fortegn pa˚ f′ i HELE omra˚det;2) konkluder om invers;3) g′(y)=1/f′(x)1)\ \text{fortegn på }f'\ \text{i HELE området};\quad 2)\ \text{konkluder om invers};\quad 3)\ g'(y)=1/f'(x)

Steg 1 er der poengene ligger, og det er steget som må skrives ut: «f′(x)=3x2+2≥2>0f'(x)=3x^{2}+2\ge 2>0 for alle xx». En konklusjon uten dette leddet er ubegrunnet (feil #9 — ubegrunnet ja eller nei gir null uttelling).

✏️Eksempel 3: Eksamensnivå — sant eller usant

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne, og begrunn hver av dem.

a) «Funksjonen f(x)=x4+xf(x)=x^{4}+x har en invers på hele R\mathbb{R}.»

b) «Hvis gg er inversen til ff og f(2)=7f(2)=7, så er g′(7)=f′(2)g'(7)=f'(2).»

c) «En strengt avtakende funksjon har en invers.»

a) Usann.

Begrunnelse ved utregning:

f′(x)=4x3+1f'(x)=4x^{3}+1

Dette uttrykket skifter fortegn: f′(x)=0f'(x)=0 når x3=−14x^{3}=-\tfrac14, altså i x0=−(14)1/3≈−0,63x_0=-\left(\tfrac14\right)^{1/3}\approx -0{,}63. For x<x0x<x_0 er f′<0f'<0, for x>x0x>x_0 er f′>0f'>0.

Kontroll i to punkter: f′(−1)=−4+1=−3<0f'(-1)=-4+1=-3<0 og f′(0)=1>0f'(0)=1>0 ✓

Funksjonen er altså ikke monoton på R\mathbb{R}, og inversen finnes ikke der.

Merk fellen: fjerdegradsleddet gjør at man raskt tenker «x4x^{4} er alltid positiv, så alt går oppover». Men det er den deriverte som avgjør, og 4x34x^{3} er negativ for negative xx.

b) Usann.

Begrunnelse: formelen er

g′(y)=1f′(x),ikkeg′(y)=f′(x)g'(y)=\frac{1}{f'(x)},\qquad\text{ikke}\qquad g'(y)=f'(x)

Med f(2)=7f(2)=7 er riktig sammenheng g′(7)=1f′(2)g'(7)=\dfrac{1}{f'(2)}.

Konkret motbevis: la f(x)=x3−1f(x)=x^{3}-1, som er strengt voksende siden f′(x)=3x2≥0f'(x)=3x^{2}\ge 0 med likhet bare i ett punkt. Da er f(2)=7f(2)=7 og f′(2)=12f'(2)=12, mens g(y)=(y+1)1/3g(y)=(y+1)^{1/3} gir

g′(y)=13(y+1)−2/3,g′(7)=13⋅8−2/3=13⋅14=112g'(y)=\tfrac13(y+1)^{-2/3},\qquad g'(7)=\tfrac13\cdot 8^{-2/3}=\tfrac13\cdot\tfrac14=\frac{1}{12}

Og 112≠12\dfrac{1}{12}\ne 12 ✓

c) Sann.

Begrunnelse: kriteriet for invers er streng monotoni, ikke at funksjonen skal vokse. En strengt avtakende funksjon treffer hver verdi nøyaktig én gang, akkurat som en voksende, og har derfor en invers.

Merk at dette er varianten som ER sann. Den speilvendte påstanden — «en strengt avtakende funksjon har ingen invers» — er usann, og begge formuleringene forekommer. Les nøye hvilken vei påstanden går.

Konkret eksempel: f(x)=−x3f(x)=-x^{3} er strengt avtakende (f′(x)=−3x2≤0f'(x)=-3x^{2}\le 0, null bare i ett punkt), og inversen er g(y)=−y1/3g(y)=-y^{1/3} — en helt vanlig funksjon.

Merk: inversen til en avtakende funksjon er selv avtakende, og formelen g′(y)=1/f′(x)g'(y)=1/f'(x) gir da et negativt tall. Det er som det skal være.

📝Oppgave 4
Sjanger SU

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne, og begrunn.

a) «Funksjonen f(x)=x3+x2f(x)=x^{3}+x^{2} har en invers på hele R\mathbb{R}.»

b) «Hvis f′(x)>0f'(x)>0 i ett punkt, har ff en invers.»

c) «Er gg inversen til ff, og f′(x0)=4f'(x_0)=4 der f(x0)=y0f(x_0)=y_0, så er g′(y0)=0,25g'(y_0)=0{,}25.»

📝Oppgave 5
Sjanger IN

En bedrift har produktfunksjonen F(N)=50NF(N)=50\sqrt N for N>0N>0, der NN er sysselsetting og F(N)F(N) er produsert mengde.

a) Vis at FF har en invers, og forklar hva inversen betyr økonomisk.

b) Finn inversen G(Y)G(Y) eksplisitt.

c) Finn G′(500)G'(500) på to måter, og tolk tallet.

📝Oppgave 6
Sjanger IN

La ff være deriverbar med f′(x)>0f'(x)>0 for alle xx, og la gg være inversen.

a) Vis at gg også er strengt voksende.

b) Vis at hvis ff i tillegg er konkav (f′′<0f''<0), så er gg konveks.

c) Illustrer med f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x på (0,∞)(0,\infty).

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

IN-delpunktet i tre linjer
Hele sjangeren, slik den skal føres.

1) f′ fortegn i hele omra˚det;2) monoton⇒invers;3) g′(y)=1f′(x)1)\ f'\ \text{fortegn i hele området};\quad 2)\ \text{monoton}\Rightarrow\text{invers};\quad 3)\ g'(y)=\frac{1}{f'(x)}

Steg 1 bærer poengene. Uten det utskrevne fortegnsargumentet er konklusjonen ubegrunnet.

Eksistenskriteriet
Det eneste kravet — og det gjelder hele området.

f′ har konstant fortegn pa˚ I ⟹ f har invers pa˚ If'\ \text{har konstant fortegn på }I\ \Longrightarrow\ f\ \text{har invers på }I

Enkeltpunkter der f′=0f'=0 er greie, så lenge fortegnet ikke skifter: x3x^{3} har invers.

Punktparet du må holde styr på
Den vanligste kilden til feil svar i sjangeren.

g′(y0)=1f′(x0)derf(x0)=y0g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}\quad\text{der}\quad f(x_0)=y_0

g′g' evalueres i y0y_0, men f′f' i x0x_0. Å sette y0y_0 inn i f′f' gir feil tall nesten alltid.

De to likeverdige veiene
Begge gir full uttelling — velg etter hva som er lettest.

formelen g′(y)=1/f′(x)ellerløs y=f(x) for x og deriver\text{formelen } g'(y)=1/f'(x)\qquad\text{eller}\qquad\text{løs } y=f(x)\ \text{for } x\ \text{og deriver}

Er ff vanskelig å løse for xx — som x3+2x=yx^{3}+2x=y — finnes bare den første veien.

Avtakende funksjoner har også invers
Kriteriet er konstant fortegn, ikke positivt fortegn.

f′(x)<0 overalt ⟹ f strengt avtakende ⟹ invers finnesf'(x)<0\ \text{overalt}\ \Longrightarrow\ f\ \text{strengt avtakende}\ \Longrightarrow\ \text{invers finnes}

Inversen er da selv avtakende, og g′(y)=1/f′(x)g'(y)=1/f'(x) gir et negativt tall — som det skal.

Partallspotenser er varselsignalet
Der inversen oftest ikke finnes.

f(x)=x2 pa˚ R: f(1)=f(−1)=1 ⟹ ingen inversf(x)=x^{2}\ \text{på }\mathbb{R}:\ f(1)=f(-1)=1\ \Longrightarrow\ \text{ingen invers}

Men på [0,∞)[0,\infty) finnes den. Spørsmålet er alltid på hvilket område, aldri bare «har den invers».

Innsnevring til et monotont område
Når fortegnet skifter, deler du opp.

f(x)=x3−3x: invers pa˚ (−∞,−1], [−1,1] og [1,∞)f(x)=x^{3}-3x:\ \text{invers på }(-\infty,-1],\ [-1,1]\ \text{og }[1,\infty)

Fortegnslinja for f′f' gir grensene. Hvert delintervall får sin egen invers.

Krumningen speilvendes
Hvordan formen på inversen henger sammen med formen på ff.

g′′(y)=−f′′(x)[f′(x)]3g''(y)=-\frac{f''(x)}{\left[f'(x)\right]^{3}}

Er ff voksende og konkav, er gg voksende og konveks. Paret ln⁡x\ln x og eye^{y} er standardeksempelet.

Riktig rot ved eksplisitt invers
Andregradsuttrykk gir to røtter — bare én ligger i området.

y=x2−4x pa˚ [2,∞) ⟹ g(y)=2+4+yy=x^{2}-4x\ \text{på }[2,\infty)\ \Longrightarrow\ g(y)=2+\sqrt{4+y}

Minus-roten gir x≤2x\le 2 og forkastes. Skriv begrunnelsen for forkastingen — den gir poeng.

Inversen i økonomisk språk
Hva den inverse produktfunksjonen faktisk svarer på.

Y=F(N) ⟺ N=G(Y);G′(Y)=1F′(N)Y=F(N)\ \Longleftrightarrow\ N=G(Y);\qquad G'(Y)=\frac{1}{F'(N)}

F′F' er grenseproduktet (enheter per ansatt), og G′G' er arbeidskraftbehovet per enhet — den omvendte størrelsen.

Identiteten formelen kommer fra
Utledningen i én linje, hvis du skulle trenge å gjenskape den.

g(f(x))=x ⟹ g′(f(x))⋅f′(x)=1g\big(f(x)\big)=x\ \Longrightarrow\ g'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)=1

Kjerneregelen på venstresiden, og deretter løses det for g′g'. Å gå fram og tilbake etterlater deg der du startet.

Speilingen om linja y = x
Det geometriske bildet bak formelen.

(a,b) pa˚ grafen til f ⟺ (b,a) pa˚ grafen til g(a,b)\ \text{på grafen til }f\ \Longleftrightarrow\ (b,a)\ \text{på grafen til }g

Speilingen bytter om aksene, så et bratt stigningstall blir slakt. Derfor den omvendte brøken.

Repetisjonsoppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.