Tilbake
10.2
Alle fag for Høyskole

10.2 Elementær integrasjon

Antideriverte av potenser, $1/x$ og $e^{kx}$; bestemte integraler og areal mellom kurver.

45 min
6 oppgaver
Elementær integrasjon
Din fremgang i kapitlet
0 / 6 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Kapitlet bygger på kap. 1.1 (derivasjonsreglene — integrasjon er derivasjon baklengs) og på Ubestemt integral, Bestemt integral som grenseverdi og Areal mellom kurver fra R2.

Merk avgrensningen: integrasjon ved substitusjon og delvis integrasjon er IKKE pensum i ECON1100. Møter du et integral som ser ut til å kreve dem, har du sannsynligvis lest oppgaven feil.

Sist du var her — de tre derivasjonsreglene alt bygger på:

ddxxn=nxn−1;ddxln⁡x=1x;ddxekx=kekx\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1};\qquad \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x;\qquad \frac{d}{dx}e^{kx}=ke^{kx}

En bedrift kjenner grensekostnaden — hva den neste enheten koster — for hvert produksjonsnivå. Spørsmålet er hva de første hundre enhetene koster til sammen.

Grensekostnaden er en derivert. Å legge sammen alle de små bidragene er å gå den andre veien: å finne funksjonen som har grensekostnaden som derivert. Det er integrasjon.

I ECON1100 trenger du bare tre slike «baklengs-regler», og du trenger dem for å kunne avgjøre om et påstått tall stemmer.

Løkke 1 — De tre antideriverte (~14 min)

Den antideriverte
En antiderivert til ff er en funksjon som har ff som sin deriverte.

F′(x)=f(x) ⟺ ∫f(x) dx=F(x)+CF'(x)=f(x)\ \Longleftrightarrow\ \int f(x)\,dx=F(x)+C

Konstanten CC er med fordi enhver konstant forsvinner ved derivasjon — det finnes uendelig mange antideriverte, og de skiller seg bare med et konstantledd. I et bestemt integral faller CC bort av seg selv, siden den trekkes fra seg selv ved grenseinnsettingen.

📜De tre antideriverte du trenger
Hele integrasjonspensumet i ECON1100 er disse tre.

∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\ne -1)

∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}\,dx=\ln\lvert x\rvert+C

∫ekx dx=1kekx+C(k≠0)\int e^{kx}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C\quad (k\ne 0)

Merk unntaket i den første: for n=−1n=-1 ville nevneren blitt null. Det er nettopp derfor ∫x−1dx\int x^{-1}dx trenger sin egen regel — og den gir logaritmen, ikke en potens.

I tillegg trenger du at integralet er lineært: en sum integreres ledd for ledd, og konstante faktorer settes utenfor.

✏️Eksempel 1: De tre reglene i arbeid

Finn de ubestemte integralene, og kontroller hvert svar ved derivasjon.

a) ∫(x2−2x+5)dx\displaystyle\int\left(x^{2}-2x+5\right)dx

b) ∫3x dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{3}{x}\,dx

c) ∫e2x dx\displaystyle\int e^{2x}\,dx

d) ∫1x dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt x}\,dx

a) Integrer ledd for ledd med potensregelen:

∫(x2−2x+5)dx=x33−2⋅x22+5x+C=x33−x2+5x+C\int\left(x^{2}-2x+5\right)dx=\frac{x^{3}}{3}-2\cdot\frac{x^{2}}{2}+5x+C=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+5x+C

Kontroll ved derivasjon: ddx(x33−x2+5x)=x2−2x+5\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}+5x\right)=x^{2}-2x+5 ✓

b) Konstanten settes utenfor:

∫3x dx=3∫1x dx=3ln⁡∣x∣+C\int\frac{3}{x}\,dx=3\int\frac1x\,dx=3\ln\lvert x\rvert+C

Kontroll: ddx(3ln⁡∣x∣)=3x\dfrac{d}{dx}\left(3\ln\lvert x\rvert\right)=\dfrac3x ✓

c) Her er k=2k=2:

∫e2x dx=12e2x+C\int e^{2x}\,dx=\frac12 e^{2x}+C

Kontroll: ddx(12e2x)=12⋅2e2x=e2x\dfrac{d}{dx}\left(\tfrac12 e^{2x}\right)=\tfrac12\cdot 2e^{2x}=e^{2x} ✓

Merk hvor faktoren 12\tfrac12 kommer fra: derivasjon av e2xe^{2x} gir en ekstra faktor 2, så den antideriverte må ha 12\tfrac12 for å veie den opp.

d) Skriv om til potensform først — det er nesten alltid første grep:

1x=x−1/2\frac{1}{\sqrt x}=x^{-1/2}

∫x−1/2 dx=x1/21/2+C=2x+C\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}+C=2\sqrt x+C

Mellomregning på eksponenten: −12+1=12-\tfrac12+1=\tfrac12, og å dele på 12\tfrac12 er å gange med 2.

Kontroll: ddx(2x1/2)=2⋅12x−1/2=1x\dfrac{d}{dx}\left(2x^{1/2}\right)=2\cdot\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt x} ✓

Verbal konklusjon: kontrollen ved derivasjon er gratis og fanger så godt som alle feil. Bruk den hver gang.

📝Oppgave 1
IT

Finn de ubestemte integralene, og kontroller hvert svar ved derivasjon.

a) ∫(4x3+2x)dx\displaystyle\int\left(4x^{3}+2x\right)dx

b) ∫5x dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{5}{x}\,dx

c) ∫e−3x dx\displaystyle\int e^{-3x}\,dx

d) ∫x dx\displaystyle\int\sqrt{x}\,dx

Løkke 2 — Det bestemte integralet (~15 min)

Det bestemte integralet
Det bestemte integralet er differansen mellom den antideriverte i de to grensene.

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)

Resultatet er et tall, ikke en funksjon, og integrasjonskonstanten faller bort fordi den trekkes fra seg selv. Geometrisk er tallet arealet mellom kurven og xx-aksen fra aa til bb, regnet med fortegn: bidrag under aksen teller negativt.

✏️Eksempel 2: Bestemte integraler

Regn ut.

a) ∫03(x2−2x+5)dx\displaystyle\int_0^3\left(x^{2}-2x+5\right)dx

b) ∫191x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^9\frac{1}{\sqrt x}\,dx

c) ∫1e21x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^{e^{2}}\frac1x\,dx

d) ∫01e2x dx\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx

a) Den antideriverte fant vi i Eksempel 1:

∫03(x2−2x+5)dx=[x33−x2+5x]03\int_0^3\left(x^{2}-2x+5\right)dx=\left[\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+5x\right]_0^3

Øvre grense: 273−9+15=9−9+15=15\dfrac{27}{3}-9+15=9-9+15=15

Nedre grense: 0−0+0=00-0+0=0

=15−0=15=15-0=15

b) Med ∫x−1/2dx=2x\int x^{-1/2}dx=2\sqrt x:

∫191x dx=[2x]19=2⋅3−2⋅1=6−2=4\int_1^9\frac{1}{\sqrt x}\,dx=\Big[2\sqrt x\Big]_1^9=2\cdot 3-2\cdot 1=6-2=4

c)

∫1e21x dx=[ln⁡x]1e2=ln⁡e2−ln⁡1=2−0=2\int_1^{e^{2}}\frac1x\,dx=\Big[\ln x\Big]_1^{e^{2}}=\ln e^{2}-\ln 1=2-0=2

Merk: absoluttverditegnet er unødvendig her fordi begge grensene er positive, men det skader ikke å ha det med.

d)

∫01e2x dx=[12e2x]01=12e2−12e0=e2−12\int_0^1 e^{2x}\,dx=\left[\frac12 e^{2x}\right]_0^1=\frac12 e^{2}-\frac12 e^{0}=\frac{e^{2}-1}{2}

Tallverdi: e2≈7,389e^{2}\approx 7{,}389, så integralet er omtrent 3,193{,}19.

Verbal konklusjon: framgangsmåten er alltid den samme — finn den antideriverte, sett inn øvre grense, sett inn nedre grense, trekk fra. Regnefeil oppstår oftest i det siste steget, når to negative tall skal trekkes fra hverandre.

📝Oppgave 2
Sjanger IT

Regn ut.

a) ∫141x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^4\frac{1}{\sqrt x}\,dx

b) ∫−12(3x2+1)dx\displaystyle\int_{-1}^{2}\left(3x^{2}+1\right)dx

c) ∫1e1x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^{e}\frac1x\,dx

Areal mellom to kurver
Arealet mellom to kurver er integralet av differansen — den øverste minus den nederste.

A=∫ab(f(x)−g(x)) dx,f(x)≥g(x) pa˚ [a,b]A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx,\qquad f(x)\ge g(x)\ \text{på }[a,b]

Framgangsmåten: finn skjæringspunktene ved å løse f(x)=g(x)f(x)=g(x) — de gir grensene aa og bb. Avgjør så hvilken kurve som ligger øverst, og integrer differansen. Er rekkefølgen snudd, får du samme tall med negativt fortegn, og et areal er aldri negativt.

✏️Eksempel 3: Areal mellom kurver

Finn arealet mellom kurvene f(x)=6−x2f(x)=6-x^{2} og g(x)=2g(x)=2.

Steg 1 — finn skjæringspunktene.

6−x2=2 ⟹ x2=4 ⟹ x=−2  eller  x=26-x^{2}=2\ \Longrightarrow\ x^{2}=4\ \Longrightarrow\ x=-2\ \text{ eller }\ x=2

Grensene er altså a=−2a=-2 og b=2b=2.

Steg 2 — hvilken ligger øverst? Prøv et punkt mellom grensene, for eksempel x=0x=0:

f(0)=6,g(0)=2f(0)=6,\qquad g(0)=2

Parabelen ligger øverst på hele intervallet.

Steg 3 — integrer differansen.

A=∫−22(6−x2−2)dx=∫−22(4−x2)dx=[4x−x33]−22A=\int_{-2}^{2}\big(6-x^{2}-2\big)dx=\int_{-2}^{2}\big(4-x^{2}\big)dx=\left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2}

Øvre grense: 8−83=24−83=1638-\dfrac83=\dfrac{24-8}{3}=\dfrac{16}{3}

Nedre grense: −8+83=−24+83=−163-8+\dfrac83=\dfrac{-24+8}{3}=-\dfrac{16}{3}

A=163−(−163)=323≈10,67A=\frac{16}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{32}{3}\approx 10{,}67

Rimelighetssjekk: området ligger innenfor et rektangel med bredde 4 og høyde 4, altså areal 16. Svaret 10,6710{,}67 er under det, og over halvparten — som stemmer for en parabelform ✓

Verbal konklusjon: arealet mellom kurvene er 323\tfrac{32}{3}. Legg merke til at differansen 4−x24-x^{2} er enklere å integrere enn hver kurve for seg — trekk alltid fra først, integrer etterpå.

Figuren i ord — slik skal skissen din se ut når du må tegne den selv:

- Tegn begge kurvene i samme koordinatsystem, og marker der de krysser hverandre.
- Skjæringspunktene gir integrasjonsgrensene aa og bb på xx-aksen — sett stiplede hjelpelinjer ned til dem.
- Skraver området mellom kurvene fra aa til bb. Det er dette området integralet regner ut.
- Skriv på hvilken kurve som ligger øverst. Det avgjør rekkefølgen i differansen, og dermed fortegnet.

📝Oppgave 3
Sjanger IT

Finn arealet mellom kurvene f(x)=2xf(x)=2x og g(x)=x2g(x)=x^{2}.

Løkke 3 — Eksamensformatet og økonomibruken (~16 min)

Fremgangsmåten på et IT-delpunkt
Fire steg løser standarddelpunktet i sant/usant-oppgaven.

1) finn antiderivert;2) sett inn grensene;3) sammenlign;4) konkluder1)\ \text{finn antiderivert};\quad 2)\ \text{sett inn grensene};\quad 3)\ \text{sammenlign};\quad 4)\ \text{konkluder}

Hele leveransen er utregningen. «Usant» uten regnestykke gir null uttelling (feil #9 — ubegrunnet ja eller nei). Skriv ut den antideriverte, vis begge grenseinnsettingene, og si så om tallet stemmer.

Integralet i økonomisk bruk
Integralet av grensekostnaden fra null til qq er de variable kostnadene ved å produsere qq enheter.

C(q)−C(0)=∫0qC′(x) dxC(q)-C(0)=\int_0^{q}C'(x)\,dx

Grensekostnaden C′C' er den deriverte av kostnadsfunksjonen, så å integrere den er å gå tilbake. Samme logikk gjelder grenseinntekt og grenseprodukt: den deriverte integreres opp igjen til nivået.

✏️Eksempel 4: Eksamensnivå — sant eller usant

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne, og begrunn ved å regne ut.

a) «∫191x dx=4\displaystyle \displaystyle\int_1^9\frac{1}{\sqrt x}\,dx=4»

b) «∫x−1 dx=x00+C\displaystyle \displaystyle\int x^{-1}\,dx=\frac{x^{0}}{0}+C»

c) En bedrift har grensekostnad C′(q)=3+0,2qC'(q)=3+0{,}2q. «De variable kostnadene ved å produsere 10 enheter er 40.»

a) Sann.

Begrunnelse ved utregning:

∫19x−1/2 dx=[2x]19=29−21=6−2=4 ✓\int_1^9 x^{-1/2}\,dx=\Big[2\sqrt x\Big]_1^9=2\sqrt 9-2\sqrt 1=6-2=4\ ✓

Påstanden stemmer.

Kontroll av den antideriverte: ddx(2x1/2)=x−1/2\dfrac{d}{dx}\left(2x^{1/2}\right)=x^{-1/2} ✓

b) Usann.

Begrunnelse: potensregelen ∫xndx=xn+1n+1\int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} krever n≠−1n\ne -1. Med n=−1n=-1 blir nevneren n+1=0n+1=0, og uttrykket er udefinert — man kan ikke dele på null.

Den riktige antideriverte er

∫x−1 dx=ln⁡∣x∣+C\int x^{-1}\,dx=\ln\lvert x\rvert+C

Kontroll: ddxln⁡∣x∣=1x=x−1\dfrac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert=\dfrac1x=x^{-1} ✓

Dette er sjangerens klassiske felle: potensregelen ser ut til å gjelde alle eksponenter, men det ene unntaket er nettopp det som testes.

c) Sann.

Begrunnelse ved utregning:

∫010(3+0,2q)dq=[3q+0,1q2]010\int_0^{10}\left(3+0{,}2q\right)dq=\Big[3q+0{,}1q^{2}\Big]_0^{10}

Øvre grense: 30+0,1⋅100=30+10=4030+0{,}1\cdot 100=30+10=40

Nedre grense: 00

=40 ✓=40\ ✓

Merk hvor 0,10{,}1 kom fra: ∫0,2q dq=0,2⋅q22=0,1q2\int 0{,}2q\,dq=0{,}2\cdot\dfrac{q^{2}}{2}=0{,}1q^{2}.

Økonomisk lesning: grensekostnaden starter på 3 og stiger til 3+0,2⋅10=53+0{,}2\cdot 10=5 ved ti enheter. Gjennomsnittet er 4, og ti enheter à 4 gir 40 — som stemmer, siden grensekostnaden her er lineær.

📝Oppgave 4
Sjanger SU

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne, og begrunn ved utregning.

a) «∫03(x2−2x+5)dx=15\displaystyle\int_0^3\left(x^{2}-2x+5\right)dx=15»

b) «∫e−2x dx=12e−2x+C\displaystyle \displaystyle\int e^{-2x}\,dx=\frac12 e^{-2x}+C»

c) «∫1e1x dx=e−1\displaystyle \displaystyle\int_1^{e}\frac1x\,dx=e-1»

📝Oppgave 5
Sjanger IT

En bedrift har grensekostnad C′(q)=4+0,6qC'(q)=4+0{,}6q og faste kostnader C(0)=100C(0)=100.

a) Finn kostnadsfunksjonen C(q)C(q).

b) Hva koster det å produsere de første 20 enhetene?

c) Hva koster enhetene fra 20 til 30?

📝Oppgave 6
Sjanger IT

La f(x)=x2−4f(x)=x^{2}-4.

a) Regn ut ∫03f(x) dx\displaystyle\int_0^{3}f(x)\,dx.

b) Finn arealet mellom kurven og xx-aksen fra x=0x=0 til x=3x=3.

c) Forklar hvorfor svarene i a) og b) er forskjellige.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Potensregelen for integrasjon
Den første av de tre antideriverte — med sitt ene unntak.

∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\ne -1)

Legg til én på eksponenten og del på den nye eksponenten. Unntaket n=−1n=-1 ville gitt null i nevneren.

Logaritmeregelen
Regelen som dekker unntaket i potensregelen.

∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int\frac1x\,dx=\ln\lvert x\rvert+C

Absoluttverdien er med fordi 1/x1/x også er definert for negative xx, mens logaritmen bare tar positive argumenter.

Eksponentialregelen
Den tredje antideriverte, med faktoren som veier opp kjerneregelen.

∫ekx dx=1kekx+C(k≠0)\int e^{kx}\,dx=\frac1k e^{kx}+C\quad (k\ne 0)

Er kk negativ, blir faktoren negativ: ∫e−3xdx=−13e−3x+C\int e^{-3x}dx=-\tfrac13 e^{-3x}+C.

Det bestemte integralet
Fra funksjon til tall, ved å sette inn to grenser.

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

Integrasjonskonstanten faller bort fordi den trekkes fra seg selv. Skriv opp F(b)F(b) og F(a)F(a) hver for seg før du trekker fra.

Integralet er lineært
Derfor kan sammensatte uttrykk tas ledd for ledd.

∫(af(x)+bg(x))dx=a∫f(x) dx+b∫g(x) dx\int\big(af(x)+bg(x)\big)dx=a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx

Konstante faktorer settes utenfor; ledd i en sum integreres hver for seg.

Sensors egen kontroll
Den raskeste feilsjekken som finnes i dette temaet.

ddxF(x)=?f(x)\frac{d}{dx}F(x)\overset{?}{=}f(x)

Deriver den antideriverte og se om du får integranden tilbake. Fanger nesten alle fortegn- og eksponentfeil på fem sekunder.

Areal mellom kurver
Øverste minus nederste, integrert mellom skjæringspunktene.

A=∫ab(f(x)−g(x))dx,f≥g pa˚ [a,b]A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)dx,\qquad f\ge g\ \text{på }[a,b]

Skjæringspunktene finnes ved å løse f(x)=g(x)f(x)=g(x). Får du negativt svar, har du snudd rekkefølgen.

Integral mot areal
De to er ikke det samme når kurven krysser aksen.

∫abf dx regner med fortegn;areal=∑∣delintegraler∣\int_a^b f\,dx\ \text{regner med fortegn};\qquad \text{areal}=\sum\lvert\text{delintegraler}\rvert

Spør oppgaven om areal, må du først finne nullpunktene og dele opp intervallet.

Skriv om til potensform først
Første grep på nesten enhver integrand som ser vanskelig ut.

1x=x−1/2;x23=x2/3;1x3=x−3\frac{1}{\sqrt x}=x^{-1/2};\qquad \sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3};\qquad \frac{1}{x^{3}}=x^{-3}

Etter omskrivingen er potensregelen som regel alt du trenger.

Det som ikke er pensum
Avgrensningen som sparer deg for arbeid.

substitusjon, delvis integrasjon, delbrøk: ikke pensum i ECON1100\text{substitusjon, delvis integrasjon, delbrøk: ikke pensum i ECON1100}

Null forekomster i alle 16 sett. Ser et integral ut til å kreve dem, har du lest oppgaven feil.

Fra grensestørrelse til nivå
Integralet i sin økonomiske rolle.

C(q)−C(0)=∫0qC′(x) dxC(q)-C(0)=\int_0^{q}C'(x)\,dx

Grensekostnaden integreres opp til de variable kostnadene. Integrasjonskonstanten er de faste kostnadene.

IT-delpunktet i fire steg
Hele sjangeren, slik den skal føres.

1) antiderivert;2) grenser inn;3) sammenlign;4) konkluder1)\ \text{antiderivert};\quad 2)\ \text{grenser inn};\quad 3)\ \text{sammenlign};\quad 4)\ \text{konkluder}

Hele leveransen er utregningen. En konklusjon uten regnestykke gir null uttelling.

Repetisjonsoppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.