2.7 Areal mellom kurver

For $x \in [-2, 2]$ er $f(x) = 4 - x^2 \geq 0$, så $f(x)$ er den øvre funksjonen og $g(x) = 0$ er den nedre.

Sett opp integralet

$$A = \int_{-2}^{2} \left( (4 - x^2) - 0 \right) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$$

Beregn integralet

$$A = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2}$$

$$= \left( 4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right)$$

$$= \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right)$$

$$= 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3}$$

Svar: Arealet er $\displaystyle \frac{32}{3}$ arealenheter.

Setter $f(x) = g(x)$:
$$x + 2 = x^2$$
$$x^2 - x - 2 = 0$$
$$(x - 2)(x + 1) = 0$$
$$x = 2 \quad \text{eller} \quad x = -1$$

Avgjør hvilken funksjon som er øverst

For $x = 0$ (et punkt mellom $-1$ og $2$):
- $f(0) = 0 + 2 = 2$
- $g(0) = 0^2 = 0$

Siden $f(0) > g(0)$, er $f(x) = x + 2$ den øvre funksjonen i intervallet $[-1, 2]$.

Sett opp og beregn integralet

$$A = \int_{-1}^{2} \left( (x + 2) - x^2 \right) \, dx = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \, dx$$

$$= \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$$

For $x = 2$:
$$\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} = 2 + 4 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18 - 8}{3} = \frac{10}{3}$$

For $x = -1$:
$$\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = \frac{3 + 2}{6} - 2 = \frac{5}{6} - 2 = -\frac{7}{6}$$

$$A = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

Svar: Arealet er $\displaystyle \frac{9}{2}$ arealenheter.

$$x^3 = x$$
$$x^3 - x = 0$$
$$x(x^2 - 1) = 0$$
$$x(x-1)(x+1) = 0$$
$$x = -1, \quad x = 0, \quad x = 1$$

Avgjør hvilken funksjon som er øverst i hvert delintervall

For $x = -0{,}5$ (mellom $-1$ og $0$):
- $f(-0{,}5) = (-0{,}5)^3 = -0{,}125$
- $g(-0{,}5) = -0{,}5$

Siden $-0{,}125 > -0{,}5$, er $f(x) = x^3$ øverst på $[-1, 0]$.

For $x = 0{,}5$ (mellom $0$ og $1$):
- $f(0{,}5) = 0{,}125$
- $g(0{,}5) = 0{,}5$

Siden $0{,}5 > 0{,}125$, er $g(x) = x$ øverst på $[0, 1]$.

Del opp integralet

$$A = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx + \int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx$$

Første integral:
$$\begin{aligned} \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx &= \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} \\ &= 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) \\ &= 0 - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \end{aligned}$$

Andre integral:
$$\int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - 0 = \frac{1}{4}$$

Totalt areal:
$$A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

Svar: Arealet er $\displaystyle \frac{1}{2}$ arealenheter.

$$4 - x^2 = x^2 - 2$$
$$6 = 2x^2$$
$$x^2 = 3$$
$$x = \pm\sqrt{3}$$

Avgjør hvilken funksjon som er øverst

For $x = 0$:
- $f(0) = 4$
- $g(0) = -2$

Siden $4 > -2$, er $f(x) = 4 - x^2$ den øvre funksjonen.

Beregn integralet

$$A = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \left( (4 - x^2) - (x^2 - 2) \right) \, dx$$

$$= \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (6 - 2x^2) \, dx$$

Siden integranden er en partall-funksjon (symmetrisk om $y$-aksen), kan vi forenkle:

$$A = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (6 - 2x^2) \, dx$$

$$= 2 \left[ 6x - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{3}}$$

$$= 2 \left( 6\sqrt{3} - \frac{2(\sqrt{3})^3}{3} \right)$$

$$= 2 \left( 6\sqrt{3} - \frac{2 \cdot 3\sqrt{3}}{3} \right)$$

$$= 2 \left( 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \right)$$

$$= 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$

Svar: Arealet er $8\sqrt{3}$ arealenheter.

$$I'(x) = K'(x)$$
$$100 - 2x = 20$$
$$x = 40$$

På $[10, 40]$ er $I'(x) \geq K'(x)$, så grafen til $I'$ ligger øverst.

$$\Delta P = \int_{10}^{40} \bigl(I'(x) - K'(x)\bigr) \, dx = \int_{10}^{40} (80 - 2x) \, dx$$

$$\begin{aligned} = {}&\left[ 80x - x^2 \right]_{10}^{40} \\ = {}&(3200 - 1600) - (800 - 100) = 900 \end{aligned}$$

Svar: Fortjenesten øker med 900 tusen kroner, altså 900 000 kr. Det er arealet mellom grafene til $I'$ og $K'$ på $[10, 40]$.