2.7 Areal mellom kurver

Området mellom to grafer

En bedrift tegner to kurver i samme diagram: inntektene og kostnadene måned for måned. Sjefen peker på området som ligger klemt mellom kurvene — der inntektslinjen ligger over kostnadslinjen — og spør: «Hvor stort er overskuddet vårt, totalt?» Svaret er bokstavelig talt arealet mellom de to kurvene.

Til nå har vi målt areal mellom én graf og $x$-aksen. Men aksen er egentlig bare en spesielt kjedelig kurve ($g(x) = 0$), og ideen generaliserer vakkert: arealet mellom to grafer er integralet av avstanden mellom dem — øverste funksjon minus nederste.

Tre spørsmål må besvares underveis, og de utgjør kapittelets arbeidsgang: Hvor begynner og slutter området? (Skjæringspunktene gir grensene.) Hvem ligger øverst? (Testpunkt eller skisse.) Og hva gjør vi når kurvene krysser hverandre midtveis og bytter plass? (Del opp — som i forrige kapittel.)

Øverst minus nederst

Grunnformelen er enkel og intuitiv. Når $f(x) \geq g(x)$ på hele $[a,b]$, er arealet mellom grafene

$$A = \int_a^b \left( f(x) - g(x) \right) dx$$

Tenk på det som rektangelstriper igjen: hver stripe har høyde $f(x) - g(x)$ — avstanden fra nederste til øverste graf — og bredde $dx$. Vi trekker alltid den nedre fra den øvre, slik at integranden er positiv. Et fint poeng: formelen bryr seg ikke om kurvene ligger over eller under $x$-aksen — bare om avstanden mellom dem. Aksen har mistet særstillingen sin.

Som regel må vi finne grensene selv, og de sitter i skjæringspunktene: løs $f(x) = g(x)$. La oss ta linjen $f(x) = x + 2$ og parabelen $g(x) = x^2$. Skjæring:

$$x + 2 = x^2 \iff x^2 - x - 2 = 0 \iff (x-2)(x+1) = 0$$

altså $x = -1$ og $x = 2$. Hvem ligger øverst mellom dem? Testpunkt $x = 0$: $f(0) = 2 > 0 = g(0)$, så linjen er øverst. Da er

$$\begin{aligned} A &= \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\,dx \\ &= \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} \\ &= \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2} \end{aligned}$$

Grensene fra skjæringen, øverst-testen med ett punkt, og integralet av differansen — det er hele metoden.

Når kurvene bytter plass

Hva om kurvene krysser hverandre inne i intervallet? Da bytter «øverst» og «nederst» plass, og ett enkelt integral blander positive og negative bidrag — samme felle som i forrige kapittel. Løsningen er også den samme: del opp ved skjæringspunktene, og sørg for riktig rekkefølge i hver del. Kompakt skrevet: $A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$.

Klassisk eksempel: $f(x) = x^3$ og $g(x) = x$ på $[-1, 1]$. Skjæring: $x^3 = x$ gir $x(x-1)(x+1) = 0$, altså $x = -1, 0, 1$. Testpunkter: ved $x = -0{,}5$ er $x^3 = -0{,}125 > -0{,}5 = x$, så $x^3$ ligger øverst på $[-1, 0]$; ved $x = 0{,}5$ er det omvendt. Dermed

$$A = \int_{-1}^{0} (x^3 - x)\,dx + \int_{0}^{1} (x - x^3)\,dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

Et nyttig tidssparingstriks til slutt: symmetri. For de to parablene $f(x) = 4 - x^2$ og $g(x) = x^2 - 2$ gir skjæringen $x = \pm\sqrt{3}$, og differansen $f - g = 6 - 2x^2$ er en partallsfunksjon — symmetrisk om $y$-aksen. Da kan vi regne halve området og doble:

$$\begin{aligned} A &= 2\int_0^{\sqrt{3}} (6 - 2x^2)\,dx \\ &= 2\left[6x - \frac{2x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{3}} \\ &= 2\left(6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\right) = 8\sqrt{3} \end{aligned}$$

Halvparten av innsettingsarbeidet, og null risiko for fortegnsrot i den negative enden.

Overskuddet — areal i kroner

Tilbake til sjefens spørsmål. Skal arealet mellom to kurver være et overskudd, må kurvene vise rater: hvor mye inntekten og kostnaden vokser per måned eller per ekstra produsert enhet. Bedriften har marginalinntekt $I'(x) = 100 - 2x$ og marginalkostnad $K'(x) = 20$ (i tusen kroner per hundre enheter), der $x$ er produksjonen i hundre enheter. Fortjenesten er $P(x) = I(x) - K(x)$, så $P'(x) = I'(x) - K'(x)$. Økningen i fortjeneste når produksjonen går fra $10$ til $40$ er derfor arealet mellom kurvene:

$$\Delta P = \int_{10}^{40} \bigl(I'(x) - K'(x)\bigr)\,dx = \int_{10}^{40} (80 - 2x)\,dx$$

Først bør vi forsikre oss om at marginalinntekten faktisk ligger øverst på hele intervallet. Likningen $I'(x) = K'(x)$ gir $100 - 2x = 20$, altså $x = 40$ — det høyre endepunktet, så ingen oppdeling trengs.

Så regner vi:

$$\left[80x - x^2\right]_{10}^{40} = (3200 - 1600) - (800 - 100) = 900$$

Fortjenesten øker med $900$ tusen kroner. Hvert trinn i metoden hadde en økonomisk mening: skjæringspunktet $x = 40$ er der én ekstra enhet gir like mye inntekt som kostnad, «øverst-testen» sjekker at hver ekstra enhet gir overskudd, og integralet summerer bidragene enhet for enhet. Øker bedriften produksjonen forbi $40$ (hundre enheter), ligger $K'$ over $I'$, og fortjenesten begynner å synke. Arealet mellom kurver er med andre ord ikke bare geometri — det er differansen mellom to rater, akkumulert over et helt forløp.

Oppsummering: avstanden som integreres

Arealet mellom to kurver er integralet av avstanden mellom dem: $A = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ når $f$ ligger øverst — eller helt generelt $A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$. Arbeidsgangen sitter nå i fingrene: finn skjæringspunktene ved å løse $f(x) = g(x)$ (de gir grensene), avgjør med et testpunkt hvem som ligger øverst, og del opp integralet hvis kurvene bytter plass underveis — akkurat som nullpunktene tvang oss til i forrige kapittel. Symmetri kan halvere arbeidet: en partallsfunksjon integrert over $[-a, a]$ er det dobbelte av integralet over $[0, a]$, slik parablene ga oss $8\sqrt{3}$ med halv innsats.

Og som bedriftens kurver viste: dette er mer enn geometri. Arealet mellom marginalinntekt og marginalkostnad er endringen i fortjeneste, mellom to hastigheter ligger forspranget, mellom tilbud og etterspørsel bor økonomenes overskuddsbegreper. Du har nå hele grunnpakken i integralregning — antideriverte, fundamentalsetningen og arealer. I kapittel 3 ruster vi opp teknikkene: substitusjon, delvis integrasjon og delbrøkoppspalting venter, sammen med numerikk, volumer og programmering.