3.1 Variabelskifte (substitusjon) | Matematikk R2

Integrasjon ved å skifte variabel.

55 min

31 oppgaver

SubstitusjonVariabelskifteKjerneregel baklengs

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 31 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Ubestemt integral

Variabelskifte - den reverserte kjerneregelen

Når vi deriverer sammensatte funksjoner, bruker vi kjerneregelen:
$\frac{d}{dx}[F(g(x))] = F'(g(x)) \cdot g'(x)$

Variabelskifte (også kalt substitusjon) er den omvendte prosessen. Vi bruker det når integranden inneholder en funksjon og dens deriverte.

Ideen: Hvis vi ser $\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx$ , kan vi sette $u = g(x)$ og forenkle integralet.

Dette er en av de viktigste integrasjonsteknikene, og du vil bruke den igjen og igjen i R2.

Substitusjon (variabelskifte)

u = g(x)

✏️Eksempel 1: Grunnleggende substitusjon

Finn $\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx$ .

Steg 1: Vi ser at

2x

er den deriverte av

x^2

Steg 2: Sett $u = x^2$ , da er $\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x$ , altså $du = 2x \, dx$ .

Steg 3: Substitusjonen gir:
$\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$

Steg 4: Sett tilbake $u = x^2$ :
$\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx = e^{x^2} + C$

Kontroll: Vi deriverer svaret: $\displaystyle \frac{d}{dx}[e^{x^2}] = e^{x^2} \cdot 2x = 2x \cdot e^{x^2}$ \checkmark

📝Oppgave 3.1

Finn $\int 3x^2 \cdot e^{x^3} \, dx$ ved substitusjon.

Hvordan velge substitusjon?

Tommelfingerregel: Let etter en funksjon $g(x)$ slik at den deriverte $g'(x)$ (eller en konstant multipel av den) også finnes i integranden.

Typiske kandidater for $u$ :
- Uttrykket inni en parentes: $(3x + 2)^5$ $\rightarrow$ $u = 3x + 2$
- Eksponenten: $e^{2x}$ $\rightarrow$ $u = 2x$
- Uttrykket under rottegnet: $\sqrt{x^2 + 1}$ $\rightarrow$ $u = x^2 + 1$
- Argumentet til trigonometriske funksjoner: $\sin(3x)$ $\rightarrow$ $u = 3x$
- Nevneren i en brok (hvis telleren ligner på den deriverte)

Sjekkliste for substitusjon:
1. Identifiser den "indre funksjonen"

g(x)

2. Sjekk om

g'(x)

(eller en konstant multipel) finnes i integranden
3. Sett

u = g(x)

og finn

du

4. Erstatt alle

x

-uttrykk med

u

-uttrykk
5. Integrer, og sett tilbake

📜Substitusjon med lineære uttrykk

For lineære uttrykk

u = ax + b

får vi alltid

du = a \, dx

, altså

\displaystyle dx = \frac{1}{a} du

Viktige formler:
$\int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C$

der $F$ er en antiderivert til $f$ .

Eksempler:
- $\displaystyle \int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C$
- $\displaystyle \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) + C$
- $\displaystyle \int (5x + 1)^4 \, dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x + 1)^5}{5} + C = \frac{(5x + 1)^5}{25} + C$

✏️Eksempel 2: Lineær substitusjon

Finn $\int (2x - 5)^7 \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = 2x - 5

, da er

du = 2 \, dx

, altså

\displaystyle dx = \frac{1}{2} du

Steg 2: Substitusjonen gir:
$\int (2x - 5)^7 \, dx = \int u^7 \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^7 \, du$

Steg 3: Integrer:
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^8}{8} + C = \frac{u^8}{16} + C$

Steg 4: Sett tilbake:
$= \frac{(2x - 5)^8}{16} + C$

📝Oppgave 3.2

Finn $\int (3x + 4)^5 \, dx$ .

✏️Eksempel 3: Eksponentialfunksjon med lineært argument

Finn $\int e^{-4x} \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = -4x

, da er

du = -4 \, dx

, altså

\displaystyle dx = -\frac{1}{4} du

Steg 2: Substitusjonen gir:
$\int e^{-4x} \, dx = \int e^u \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) du = -\frac{1}{4} e^u + C$

Steg 3: Sett tilbake:
$= -\frac{1}{4} e^{-4x} + C$

📝Oppgave 3.3

Finn $\int e^{5x+2} \, dx$ .

✏️Eksempel 4: Trigonometrisk funksjon med lineært argument

Finn $\int \sin(3x + 1) \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = 3x + 1

, da er

du = 3 \, dx

, altså

\displaystyle dx = \frac{1}{3} du

Steg 2: Substitusjonen gir:
$\int \sin(3x + 1) \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int \sin(u) \, du$

Steg 3: Integrer:
$= \frac{1}{3} \cdot (-\cos u) + C = -\frac{1}{3} \cos(u) + C$

Steg 4: Sett tilbake:
$= -\frac{1}{3} \cos(3x + 1) + C$

📝Oppgave 3.4

Finn $\int \cos(2x - 3) \, dx$ .

📝Oppgave 3.5

Finn $\displaystyle \int \frac{1}{4x - 7} \, dx$ .

Substitusjon med potenser og røtter

Når integranden inneholder uttrykk som $(g(x))^n$ eller $\sqrt{g(x)}$ sammen med $g'(x)$ , er substitusjon $u = g(x)$ ofte veien å gå.

Viktig: Nar vi har en potens $(g(x))^n$ , setter vi $u = g(x)$ (ikke hele potensen).

✏️Eksempel 5: Potens av sammensatt funksjon

Finn $\int x \cdot (x^2 + 1)^4 \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = x^2 + 1

, da er

\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x

, altså

du = 2x \, dx

Vi har $x \, dx$ i integranden, så $\displaystyle x \, dx = \frac{1}{2} du$ .

Steg 2: Substitusjonen gir:
$\int x \cdot (x^2 + 1)^4 \, dx = \int u^4 \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^4 \, du$

Steg 3: Integrer:
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{u^5}{10} + C$

Steg 4: Sett tilbake:
$= \frac{(x^2 + 1)^5}{10} + C$

📝Oppgave 3.6

Finn $\int x^2 \cdot (x^3 - 2)^6 \, dx$ .

✏️Eksempel 6: Integral med kvadratrot

Finn $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = x^2 + 4

, da er

du = 2x \, dx

, altså

\displaystyle x \, dx = \frac{1}{2} du

Steg 2: Substitusjonen gir:
$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du$

Steg 3: Integrer:
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = u^{1/2} + C = \sqrt{u} + C$

Steg 4: Sett tilbake:
$= \sqrt{x^2 + 4} + C$

📝Oppgave 3.7

Finn $\displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} \, dx$ .

✏️Eksempel 7: Kubikkrot

Finn $\int x^2 \cdot \sqrt[3]{x^3 + 5} \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = x^3 + 5

, da er

du = 3x^2 \, dx

, altså

\displaystyle x^2 \, dx = \frac{1}{3} du

Steg 2: Skriv om kubikkroten: $\sqrt[3]{u} = u^{1/3}$ .

Steg 3: Substitusjonen gir:
$\int x^2 \cdot \sqrt[3]{x^3 + 5} \, dx = \int u^{1/3} \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int u^{1/3} \, du$

Steg 4: Integrer:
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{4/3}}{4/3} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{4/3} + C = \frac{u^{4/3}}{4} + C$

Steg 5: Sett tilbake:
$= \frac{(x^3 + 5)^{4/3}}{4} + C$

📝Oppgave 3.8

Finn $\int x \cdot \sqrt{x^2 - 3} \, dx$ .

Substitusjon med trigonometriske funksjoner

Trigonometriske integraler krever ofte substitusjon. Husk at:
- Den deriverte av $\sin x$ er $\cos x$
- Den deriverte av $\cos x$ er $-\sin x$
- Den deriverte av $\tan x$ er $\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$

Når vi ser produkter av sinus og cosinus, er det ofte lurt å substituere med den ene av dem.

📜Nyttige trigonometriske integraler

\int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C

$\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C$

$\int \frac{1}{\cos^2(ax)} \, dx = \frac{1}{a} \tan(ax) + C$

$\int \tan(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \ln|\cos(ax)| + C$

$\int \sin^n x \cdot \cos x \, dx = \frac{\sin^{n+1} x}{n+1} + C$

$\int \cos^n x \cdot \sin x \, dx = -\frac{\cos^{n+1} x}{n+1} + C$

✏️Eksempel 8: Sinus og cosinus

Finn $\int \sin^3 x \cdot \cos x \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = \sin x

, da er

du = \cos x \, dx

Steg 2: Substitusjonen gir:
$\int \sin^3 x \cdot \cos x \, dx = \int u^3 \, du$

Steg 3: Integrer:
$= \frac{u^4}{4} + C$

Steg 4: Sett tilbake:
$= \frac{\sin^4 x}{4} + C$

📝Oppgave 3.9

Finn $\int \cos^4 x \cdot \sin x \, dx$ .

✏️Eksempel 9: Tangens

Finn $\int \tan x \, dx$ .

Steg 1: Skriv om:

\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

Steg 2: Sett $u = \cos x$ , da er $du = -\sin x \, dx$ , altså $\sin x \, dx = -du$ .

Steg 3: Substitusjonen gir:
$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C$

Steg 4: Sett tilbake:
$= -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C$

Merk: $\displaystyle \sec x = \frac{1}{\cos x}$ , så $\displaystyle \ln|\sec x| = \ln\frac{1}{|\cos x|} = -\ln|\cos x|$ .

📝Oppgave 3.10

Finn $\displaystyle \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} \, dx$ .

✏️Eksempel 10: Cotangens

Finn $\int \cot x \, dx$ .

Steg 1: Skriv om:

\displaystyle \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

Steg 2: Sett $u = \sin x$ , da er $du = \cos x \, dx$ .

Steg 3: Substitusjonen gir:
$\int \cot x \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$

Steg 4: Sett tilbake:
$= \ln|\sin x| + C$

📝Oppgave 3.11

Finn $\displaystyle \int \tan^3 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \, dx$ .

Substitusjon med eksponentialfunksjoner

Eksponentialfunksjoner har den spesielle egenskapen at de er sin egen deriverte (med en konstant faktor). Dette gjør dem ofte enkle å håndtere med substitusjon.

Viktige sammenhenger:
- $(e^x)' = e^x$
- $(e^{ax})' = a \cdot e^{ax}$
- $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$

✏️Eksempel 11: Eksponentialfunksjon i nevner

Finn $\displaystyle \int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = 1 + e^x

, da er

du = e^x \, dx

Steg 2: Substitusjonen gir:
$\int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$

Steg 3: Sett tilbake:
$= \ln|1 + e^x| + C = \ln(1 + e^x) + C$

(Vi kan droppe absoluttverdi siden $1 + e^x > 0$ alltid.)

📝Oppgave 3.12

Finn $\displaystyle \int \frac{e^{2x}}{1 + e^{2x}} \, dx$ .

✏️Eksempel 12: Sammensatt eksponentialfunksjon

Finn $\int x \cdot e^{x^2} \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = x^2

, da er

du = 2x \, dx

, altså

\displaystyle x \, dx = \frac{1}{2} du

Steg 2: Substitusjonen gir:
$\int x \cdot e^{x^2} \, dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} e^u + C$

Steg 3: Sett tilbake:
$= \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

📝Oppgave 3.13

Finn $\int x^3 \cdot e^{x^4} \, dx$ .

✏️Eksempel 13: Eksponential med trigonometrisk argument

Finn $\int e^{\sin x} \cdot \cos x \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = \sin x

, da er

du = \cos x \, dx

Steg 2: Substitusjonen gir:
$\int e^{\sin x} \cdot \cos x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$

Steg 3: Sett tilbake:
$= e^{\sin x} + C$

📝Oppgave 3.14

Finn $\int e^{\cos x} \cdot \sin x \, dx$ .

Substitusjon med logaritmer

Logaritmiske funksjoner har derivert $\displaystyle \frac{1}{x}$ , noe som gjør dem egnet for substitusjon når vi ser $\displaystyle \frac{1}{x}$ eller $\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}$ i integranden.

Viktig sammenheng:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C$

✏️Eksempel 14: Integral med ln x

Finn $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x} \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = \ln x

, da er

\displaystyle du = \frac{1}{x} \, dx

Steg 2: Substitusjonen gir:
$\int \frac{\ln x}{x} \, dx = \int u \, du = \frac{u^2}{2} + C$

Steg 3: Sett tilbake:
$= \frac{(\ln x)^2}{2} + C$

📝Oppgave 3.15

Finn $\displaystyle \int \frac{(\ln x)^3}{x} \, dx$ .

✏️Eksempel 15: Dobbel logaritme

Finn $\displaystyle \int \frac{1}{x \ln x} \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = \ln x

, da er

\displaystyle du = \frac{1}{x} \, dx

Steg 2: Substitusjonen gir:
$\int \frac{1}{x \ln x} \, dx = \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln x} \, dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$

Steg 3: Sett tilbake:
$= \ln|\ln x| + C$

📝Oppgave 3.16

Finn $\displaystyle \int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} \, dx$ .

Bestemt integral med substitusjon

Ved bestemte integraler har vi to muligheter:
1. Finn den ubestemte integralen, sett tilbake, og bruk de opprinnelige grensene
2. Bytt grensene til $u$ -verdier og regn direkte

Metode 2 er ofte mer effektiv og ryddigere!

📜Substitusjon i bestemte integraler

Når vi gjør substitusjon

u = g(x)

i et bestemt integral, må vi også bytte grensene:

$\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du$

Viktig: Når vi bruker nye grenser, trenger vi ikke sette tilbake til $x$ .

Fremgangsmåte:
1. Finn substitusjonen $u = g(x)$
2. Beregn nye grenser: nedre grense blir $g(a)$ , ovre grense blir $g(b)$
3. Bytt ut integranden og grensene
4. Integrer og evaluer direkte

✏️Eksempel 16: Bestemt integral med grensebytte

Beregn $\int_0^1 2x \cdot (x^2 + 1)^3 \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = x^2 + 1

, da er

du = 2x \, dx

Steg 2: Bytt grensene:
- Når $x = 0$ : $u = 0^2 + 1 = 1$
- Når $x = 1$ : $u = 1^2 + 1 = 2$

Steg 3: Substitusjonen gir:
$\int_0^1 2x \cdot (x^2 + 1)^3 \, dx = \int_1^2 u^3 \, du$

Steg 4: Regn ut:
$= \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$

📝Oppgave 3.17

Beregn $\int_0^2 x \cdot (x^2 + 1)^2 \, dx$ ved å bytte grenser.

✏️Eksempel 17: Trigonometrisk bestemt integral

Beregn $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cdot \cos x \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = \sin x

, da er

du = \cos x \, dx

Steg 2: Bytt grensene:
- Når $x = 0$ : $u = \sin 0 = 0$
- Når $x = \pi/2$ : $u = \sin(\pi/2) = 1$

Steg 3: Substitusjonen gir:
$\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cdot \cos x \, dx = \int_0^1 u^2 \, du$

Steg 4: Regn ut:
$= \left[\frac{u^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

📝Oppgave 3.18

Beregn $\displaystyle \int_0^{\pi/4} \tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \, dx$ .

✏️Eksempel 18: Eksponentiell bestemt integral

Beregn $\int_0^{\ln 2} e^x \cdot \sqrt{e^x + 1} \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = e^x + 1

, da er

du = e^x \, dx

Steg 2: Bytt grensene:
- Når $x = 0$ : $u = e^0 + 1 = 2$
- Når $x = \ln 2$ : $u = e^{\ln 2} + 1 = 2 + 1 = 3$

Steg 3: Substitusjonen gir:
$\int_0^{\ln 2} e^x \cdot \sqrt{e^x + 1} \, dx = \int_2^3 \sqrt{u} \, du = \int_2^3 u^{1/2} \, du$

Steg 4: Regn ut:
$= \left[\frac{2u^{3/2}}{3}\right]_2^3 = \frac{2}{3}\left(3^{3/2} - 2^{3/2}\right) = \frac{2}{3}\left(3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\right)$

📝Oppgave 3.19

Beregn $\displaystyle \int_0^1 \frac{e^x}{(e^x + 1)^2} \, dx$ .

✏️Eksempel 19: Logaritmisk bestemt integral

Beregn $\displaystyle \int_1^e \frac{(\ln x)^2}{x} \, dx$ .

Steg 1: Sett

u = \ln x

, da er

\displaystyle du = \frac{1}{x} \, dx

Steg 2: Bytt grensene:
- Når $x = 1$ : $u = \ln 1 = 0$
- Når $x = e$ : $u = \ln e = 1$

Steg 3: Substitusjonen gir:
$\int_1^e \frac{(\ln x)^2}{x} \, dx = \int_0^1 u^2 \, du$

Steg 4: Regn ut:
$= \left[\frac{u^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

📝Oppgave 3.20

Beregn $\displaystyle \int_1^{e^2} \frac{\ln x}{x} \, dx$ .

Oppsummering

Fremgangsmåte for substitusjon:
1. Identifiser en egnet substitusjon $u = g(x)$
2. Beregn $du = g'(x) \, dx$
3. Uttrykk $dx$ ved hjelp av $du$
4. Erstatt alle $x$ -uttrykk med $u$ -uttrykk
5. Integrer med hensyn på $u$
6. Sett tilbake $u = g(x)$ (ubestemt) eller bytt grenser (bestemt)

Tips for å velge $u$ :
- Let etter "funksjon og dens deriverte"
- Uttrykk i parenteser, under rottegn, eller som eksponent
- Nevneren i en brok (hvis telleren er dens deriverte)
- Den "indre funksjonen" i sammensatte funksjoner

Vanlige feil

1. Glemmer å bytte $dx$ : Når du setter $u = g(x)$ , må du også erstatte $dx$ med $\displaystyle \frac{du}{g'(x)}$ .

2. Glemmer å sette tilbake: Etter integrering må du erstatte $u$ med $g(x)$ igjen.

3. Feil grenser: Ved bestemte integraler: Enten bytt grensene til $u$ -verdier, ELLER sett tilbake og bruk de opprinnelige grensene. Ikke bland!

4. Ufullstendig substitusjon: Alle $x$ -er må forsvinne for at substitusjonen skal være gyldig.

5. Feil fortegn: Vår spesielt oppmerksom når $g'(x)$ er negativ (f.eks. $\cos x$ gir $-\sin x$ ).

Når virker ikke substitusjon?

Substitusjon fungerer best når integranden inneholder "funksjon og dens deriverte". Hvis dette monsteret ikke er tilstede, må du kanskje bruke andre teknikker:
- Delvis integrasjon (kapittel 3.2)
- Delbroksoppspaltning (kapittel 3.3)
- Trigonometriske identiteter

Oving gjør mester - etter hvert vil du "se" hvilken substitusjon som passer!

Utfordringsoppgaver

Disse oppgavene krever litt mer kreativitet i valg av substitusjon.

📝Oppgave 3.21

Finn $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$ .

📝Oppgave 3.22

Finn $\displaystyle \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx$ .

📝Oppgave 3.23

Finn $\displaystyle \int \frac{\sin(\ln x)}{x} \, dx$ .

📝Oppgave 3.24

Beregn $\int_0^{\pi/2} \cos^3 x \cdot \sin x \, dx$ .

📝Oppgave 3.25

Finn $\displaystyle \int \frac{x^2}{(x^3 + 1)^4} \, dx$ .

✏️Eksempel 20: Kompleks substitusjon

Finn $\displaystyle \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx$ .

Observasjon: Telleren er den deriverte av nevneren!

$(e^x + e^{-x})' = e^x - e^{-x}$

Steg 1: Sett $u = e^x + e^{-x}$ , da er $du = (e^x - e^{-x}) \, dx$ .

Steg 2: Substitusjonen gir:
$\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$

Steg 3: Sett tilbake:
$= \ln(e^x + e^{-x}) + C$

(Vi dropper absoluttverdi siden $e^x + e^{-x} > 0$ alltid.)

Merk: $\displaystyle \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \tanh x$ (hyperbolsk tangens), så vi har vist at $\int \tanh x \, dx = \ln(\cosh x) + C$ .

📝Oppgave 3.26

Finn $\displaystyle \int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \, dx$ for $x > 0$ .

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.