3.1 Variabelskifte (substitusjon)

Kjerneregelen i revers

I kapittel 2.3 lærte du å se visse mønstre: når telleren er nevnerens deriverte, eller når eksponentens deriverte står klar som faktor, faller integralet på plass av seg selv. Det blikket skal nå bli til en fullverdig, systematisk teknikk — den viktigste i hele integralregningen.

Husk kjerneregelen forlengs: $\displaystyle \frac{d}{dx}\left[F(g(x))\right] = F'(g(x)) \cdot g'(x)$. Derivasjon av en sammensatt funksjon etterlater alltid et fingeravtrykk: kjernens deriverte som faktor. Substitusjon (variabelskifte) er kunsten å lese fingeravtrykket baklengs. Ser vi $\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx$, døper vi kjernen om til en ny variabel $u = g(x)$ — og det innfløkte integralet i $x$ kollapser til et enkelt integral i $u$.

I dette kapittelet lærer du å velge riktig $u$, å håndtere $dx$-byttet, å bruke teknikken på potenser, røtter, trigonometri, eksponential- og logaritmefunksjoner — og det elegante grensebyttet som gjør bestemte integraler enda raskere.

Metoden: døp om kjernen

Oppskriften har fire steg. Vi setter $u = g(x)$, og da er $\displaystyle \frac{du}{dx} = g'(x)$, som vi skriver $du = g'(x)\,dx$ — en bokføringsregel som sier at $g'(x)\,dx$ kan byttes ut med $du$. Substitusjonsregelen blir

$$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$$

Integrer i $u$-verdenen, og sett til slutt tilbake $u = g(x)$.

Se den i arbeid på $\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx$. Kjernen er $x^2$, og dens deriverte $2x$ står klar i integranden. Sett $u = x^2$, slik at $du = 2x\,dx$:

$$\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx = \int e^u\,du = e^u + C = e^{x^2} + C$$

Kontroll ved derivasjon: $(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x$. ✓

Hvordan velge $u$? Tommelfingerregel: let etter en indre funksjon hvis deriverte (eventuelt ganget med en konstant) også står i integranden. Typiske kandidater er uttrykket i en parentes ($u = 3x+2$ i $(3x+2)^5$), eksponenten ($u = x^2$ i $e^{x^2}$), uttrykket under rottegnet, argumentet til en trigonometrisk funksjon — eller nevneren i en brøk, hvis telleren ligner dens deriverte.

Enklest av alt er lineære kjerner $u = ax + b$: da er $du = a\,dx$, altså $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$, og vi får den nyttige formelen $\displaystyle \int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C$. For eksempel gir $u = 2x - 5$ i $\int (2x-5)^7\,dx$ resultatet $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{u^8}{8} = \frac{(2x-5)^8}{16} + C$, og tilsvarende er $\displaystyle \int \sin(3x+1)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x+1) + C$ og $\displaystyle \int e^{-4x}\,dx = -\frac{1}{4}e^{-4x} + C$.

Røtter, trigonometri og potensmønstre

Med metoden på plass kan vi gå på tyngre vilt. Røtter er potenser i forkledning: i $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\,dx$ setter vi $u = x^2 + 4$ (uttrykket under rottegnet, ikke hele roten), får $\displaystyle x\,dx = \frac{1}{2}du$ og

$$\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = u^{1/2} + C = \sqrt{x^2+4} + C$$

Samme idé for kubikkrøtter: $\int x^2\sqrt[3]{x^3+5}\,dx$ med $u = x^3+5$ gir $\displaystyle \frac{1}{3}\int u^{1/3}\,du = \frac{(x^3+5)^{4/3}}{4} + C$.

I trigonometrien er nøkkelen at $\sin$ og $\cos$ er hverandres deriverte (med et fortegn): ser du et produkt av dem, substituer med den ene. I $\int \sin^3 x \cos x\,dx$ setter vi $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$:

$$\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C$$

Generelt: $\displaystyle \int \sin^n x \cos x\,dx = \frac{\sin^{n+1}x}{n+1} + C$ og $\displaystyle \int \cos^n x \sin x\,dx = -\frac{\cos^{n+1}x}{n+1} + C$.

To klassikere fortjener egen plass. Tangens: skriv $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ og sett $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$:

$$\int \tan x\,dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln|\cos x| + C$$

Cotangens på samme vis: $\displaystyle \int \cot x\,dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \ln|\sin x| + C$. Begge er egentlig $\displaystyle \frac{g'}{g}$-mønsteret fra kapittel 2.3 — substitusjonen bare formaliserer blikket.

Eksponentialer, logaritmer og $\displaystyle \frac{g'}{g}$-mønsteret

Eksponential- og logaritmefunksjonene gir substitusjonen noen av dens fineste øyeblikk. Tre eksempler i stigende eleganse:

$\int x \cdot e^{x^2}\,dx$: kjernen $u = x^2$ gir $\displaystyle x\,dx = \frac{1}{2}du$ og svaret $\displaystyle \frac{1}{2}e^{x^2} + C$.

$\int e^{\sin x}\cos x\,dx$: kjernen $u = \sin x$ har sin deriverte $\cos x$ på plass — svaret er $e^{\sin x} + C$, rett frem.

$\displaystyle \int \frac{e^x}{1+e^x}\,dx$: telleren er nevnerens deriverte! Med $u = 1 + e^x$ blir det $\displaystyle \int \frac{du}{u} = \ln(1+e^x) + C$ (absoluttverdi unødvendig siden $1 + e^x > 0$).

Logaritmen byr på et mønster det er lett å overse: $\ln x$ og dens deriverte $\displaystyle \frac{1}{x}$ opptrer ofte sammen. I $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x}\,dx$ setter vi $u = \ln x$, $\displaystyle du = \frac{1}{x}dx$:

$$\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$

Og i $\displaystyle \int \frac{1}{x \ln x}\,dx$ gir samme substitusjon $\displaystyle \int \frac{du}{u} = \ln|\ln x| + C$ — en logaritme av en logaritme.

Til slutt et eksempel som ser umulig ut, men er $\displaystyle \frac{g'}{g}$ i forkledning: $\displaystyle \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\,dx$. Sjekk: $(e^x + e^{-x})' = e^x - e^{-x}$ — telleren! Altså er svaret $\ln(e^x + e^{-x}) + C$. Treningen i å gjenkjenne mønstre er halve teknikken; den andre halvparten er ryddig bokføring med $u$ og $du$.

Bestemte integraler: bytt grensene, slipp tilbaketuren

Ved bestemte integraler har vi et valg: integrere ubestemt, sette tilbake til $x$ og bruke de gamle grensene — eller den smartere veien: bytt grensene til $u$-verdier og bli i $u$-verdenen hele veien:

$$\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$$

Eksempel: $\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx$. Med $u = x^2+1$ blir nedre grense $g(0) = 1$ og øvre $g(1) = 2$:

$$\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$

Ingen tilbakesetting, ingen omveier. Flere i samme stil: $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cos x\,dx$ med $u = \sin x$ får grensene $0$ og $1$, og blir $\displaystyle \int_0^1 u^2\,du = \frac{1}{3}$. Og $\displaystyle \int_1^e \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx$ med $u = \ln x$ får grensene $0$ og $1$ — også $\displaystyle \frac{1}{3}$.

Til slutt fellene som koster flest poeng til eksamen. Glemt $dx$-bytte: $dx$ må alltid erstattes via $du = g'(x)\,dx$ — du kan ikke bare bytte navn på variabelen. Ufullstendig substitusjon: alle $x$-er må forsvinne; står det igjen en $x$ du ikke får uttrykt ved $u$, var substitusjonen feil valgt. Blandede grenser: enten $u$-grenser uten tilbakesetting, eller $x$-grenser etter tilbakesetting — aldri en blanding. Og når intet «funksjon pluss derivert»-mønster finnes? Da er substitusjon feil verktøy, og de neste kapitlenes teknikker — delvis integrasjon og delbrøkoppspalting — tar over.

Oppsummering: den reverserte kjerneregelen

Substitusjon er kjerneregelen spilt baklengs, og metoden er nå et fast ritual: finn kjernen $u = g(x)$ hvis deriverte (eventuelt ganget med en konstant) står i integranden, bokfør $du = g'(x)\,dx$, oversett hele integralet til $u$-verdenen via $\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$, integrer — og sett tilbake, eller bytt grensene $a \to g(a)$, $b \to g(b)$ hvis integralet er bestemt.

Underveis har mønstergjenkjennelsen blitt trent på hele funksjonsfloraen: lineære kjerner med $\displaystyle \frac{1}{a}$-faktoren, potenser og røtter der $u$ er uttrykket innenfor, trigonometriske par der $\sin$ og $\cos$ bytter på å være kjerne og derivert (med $\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$ som kronjuvel), eksponentialer og logaritmer — og overalt det allestedsnærværende $\displaystyle \frac{g'}{g}$-mønsteret som gir logaritmesvar. Huskelisten mot fellene: bytt alltid $dx$, fjern alle $x$-er, og bland aldri gamle og nye grenser.

Men hva med integraler som $\int x e^x\,dx$, der ingen faktor er den andres deriverte? Der hjelper ingen omdøping — vi trenger produktregelen baklengs. Den heter delvis integrasjon, og den venter i neste kapittel.