3.2 Delvis integrasjon

Integrasjon ved delvis integrasjon.

55 min

15 oppgaver

Delvis integrasjonProduktregel baklengsLIATE

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Ubestemt integral

Innledning

I forrige kapittel lærte vi substitusjon, som er kjerneregelen baklens. Nå skal vi lære en annen viktig integrasjonsteknikk: delvis integrasjon.

Delvis integrasjon brukes når vi skal integrere et produkt av to funksjoner, for eksempel $x \cdot e^x$ eller $x \cdot \sin(x)$ .

Ideen er å bruke produktregelen for derivasjon baklens. La oss først huske produktregelen:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Hvis vi integrerer begge sider, får vi:

$u \cdot v = \int u' \cdot v \, dx + \int u \cdot v' \, dx$

Ved å omorganisere denne likningen, kan vi utlede formelen for delvis integrasjon.

Forkunnskap fra kapittel 4: Eksempler og oppgaver i dette kapitlet som bruker sinus, cosinus eller tangens, bygger på radianer og derivasjonsreglene

(\sin x)' = \cos x

(\cos x)' = -\sin x

\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

fra kapittel 4. Hopp over dem ved første gjennomgang og kom tilbake til dem etter kapittel 4.

Utledning av formelen

Vi starter med produktregelen:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Integrerer vi begge sider med hensyn på $x$ :

$\int (u \cdot v)' \, dx = \int u' \cdot v \, dx + \int u \cdot v' \, dx$

Venstre side er bare $u \cdot v$ (integralet av den deriverte gir tilbake funksjonen):

$u \cdot v = \int u' \cdot v \, dx + \int u \cdot v' \, dx$

Nå løser vi for $\int u \cdot v' \, dx$ :

$\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx$

Dette er formelen for delvis integrasjon!

Delvis integrasjon

u = u(x)

✏️Eksempel 1: Integrere

x \cdot e^x

Finn $\displaystyle\int x \cdot e^x \, dx$ .

Løsning:

Vi bruker delvis integrasjon med:
- $u = x \quad \Rightarrow \quad u' = 1$
- $v' = e^x \quad \Rightarrow \quad v = e^x$

Setter inn i formelen $\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx$ :

$\int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx$

$= x \cdot e^x - e^x + C$

$= e^x(x - 1) + C$

Sjekk ved derivasjon:
$(e^x(x-1))' = e^x(x-1) + e^x \cdot 1 = e^x \cdot x - e^x + e^x = x \cdot e^x$ ✓

Svar: $\int x \cdot e^x \, dx = e^x(x - 1) + C$

📝Oppgave 3.2.1

Bruk delvis integrasjon til å finne integralene.

\displaystyle\int x \cdot e^{2x} \, dx

\displaystyle\int x \cdot e^{-x} \, dx

\displaystyle\int 2x \cdot e^x \, dx

Valg av $u$ og $v'$

Det viktigste ved delvis integrasjon er å velge riktig $u$ og $v'$ . Målet er at det nye integralet $\int u' \cdot v \, dx$ skal være enklere enn det opprinnelige.

Velg $u$ som den faktoren som blir enklere når den deriveres, og $v'$ som en faktor du kan integrere:

Faktor i integranden	Velg som	Grunn
$\ln x$	$u$	$\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$ er enklere, mens $\ln x$ er vanskelig å integrere
polynom ( $x$ , $x^2$ , …)	$u$	graden synker for hver derivasjon
$e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$	$v'$	lette å integrere, og blir ikke mer kompliserte

Står et polynom sammen med

\ln x

, velger vi

u = \ln x

v'

= polynomet.

✏️Eksempel 2: Integrere

x \cdot \sin(x)

Finn $\displaystyle\int x \cdot \sin(x) \, dx$ .

Løsning:

Faktoren $x$ blir enklere når vi deriverer, og $\sin(x)$ er lett å integrere.

Vi velger:
- $u = x \quad \Rightarrow \quad u' = 1$
- $v' = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad v = -\cos(x)$

Delvis integrasjon gir:

$\begin{aligned} &\int x \cdot \sin(x) \, dx \\ = {}&x \cdot (-\cos(x)) - \int 1 \cdot (-\cos(x)) \, dx \end{aligned}$

$= -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx$

$= -x \cos(x) + \sin(x) + C$

Sjekk: $(-x\cos(x) + \sin(x))' = -\cos(x) + x\sin(x) + \cos(x) = x\sin(x)$ ✓

Svar: $\int x \cdot \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C$

📝Oppgave 3.2.2

Bruk delvis integrasjon til å finne integralene.

\displaystyle\int x \cdot \cos(x) \, dx

\displaystyle\int x \cdot \cos(2x) \, dx

\displaystyle\int x \cdot \sin(3x) \, dx

✏️Eksempel 3: Integrere

\ln(x)

Finn $\displaystyle\int \ln(x) \, dx$ .

Løsning:

Her har vi tilsynelatende bare en funksjon, men vi kan skrive $\ln(x) = \ln(x) \cdot 1$ .

Vi kan ikke integrere $\ln(x)$ direkte, men den deriverte $\displaystyle \frac{1}{x}$ er enkel. Derfor velger vi $u = \ln(x)$ og $v' = 1$ .

Vi velger:
- $\displaystyle u = \ln(x) \quad \Rightarrow \quad u' = \frac{1}{x}$
- $v' = 1 \quad \Rightarrow \quad v = x$

Delvis integrasjon gir:

$\int \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot x - \int \frac{1}{x} \cdot x \, dx$

$= x \ln(x) - \int 1 \, dx$

$= x \ln(x) - x + C$

$= x(\ln(x) - 1) + C$

Sjekk: $\displaystyle (x\ln(x) - x)' = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x)$ ✓

Svar: $\int \ln(x) \, dx = x(\ln(x) - 1) + C$

📝Oppgave 3.2.3

Finn integralene ved å bruke delvis integrasjon.

\displaystyle\int x \cdot \ln(x) \, dx

\displaystyle\int x^2 \cdot \ln(x) \, dx

\displaystyle\int \ln(2x) \, dx

Gjentatt delvis integrasjon

Noen ganger må vi bruke delvis integrasjon flere ganger for å løse et integral. Dette skjer typisk når vi har et polynom av grad 2 eller høyere ganget med en eksponential- eller trigonometrisk funksjon.

For eksempel krever $\int x^2 \cdot e^x \, dx$ to runder med delvis integrasjon fordi $x^2$ må deriveres to ganger for å bli en konstant.

✏️Eksempel 4: Gjentatt delvis integrasjon

Finn $\displaystyle\int x^2 \cdot e^x \, dx$ .

Løsning:

Første runde:
- $u = x^2 \quad \Rightarrow \quad u' = 2x$
- $v' = e^x \quad \Rightarrow \quad v = e^x$

$\int x^2 \cdot e^x \, dx = x^2 \cdot e^x - \int 2x \cdot e^x \, dx$

Andre runde (på $\int 2x \cdot e^x \, dx$ ):
- $u = 2x \quad \Rightarrow \quad u' = 2$
- $v' = e^x \quad \Rightarrow \quad v = e^x$

$\int 2x \cdot e^x \, dx = 2x \cdot e^x - \int 2 \cdot e^x \, dx = 2x \cdot e^x - 2e^x$

Setter sammen:

$\int x^2 \cdot e^x \, dx = x^2 \cdot e^x - (2x \cdot e^x - 2e^x) + C$

$= x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$

$= e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

Sjekk: $(e^x(x^2 - 2x + 2))' = e^x(x^2 - 2x + 2) + e^x(2x - 2) = e^x(x^2 - 2x + 2 + 2x - 2) = x^2 e^x$ ✓

Svar: $\int x^2 \cdot e^x \, dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

Tabellarisk delvis integrasjon

Når vi har et polynom ganget med $e^x$ eller en trigonometrisk funksjon, kan vi bruke en tabellarisk metode som gjør utregningen mer oversiktlig.

Vi setter opp en tabell med tre kolonner:
1. Fortegn: Vekslende $+$ og $-$
2. Deriverte av $u$ : Deriver til du når 0
3. Integraler av $v'$ : Integrer like mange ganger

Svaret får vi ved å multiplisere diagonalt og summere.

✏️Eksempel 5: Tabellarisk metode

Bruk tabellarisk metode til å finne $\displaystyle\int x^3 \cdot e^{2x} \, dx$ .

Løsning:

Vi setter opp tabellen med $u = x^3$ (deriverer) og $v' = e^{2x}$ (integrerer):

Fortegn	Deriverte av $u$	Integraler av $v'$
$+$	$x^3$	$e^{2x}$
$-$	$3x^2$	$\displaystyle \frac{1}{2}e^{2x}$
$+$	$6x$	$\displaystyle \frac{1}{4}e^{2x}$
$-$	$6$	$\displaystyle \frac{1}{8}e^{2x}$
$+$	$0$	$\displaystyle \frac{1}{16}e^{2x}$

Multipliserer diagonalt (rad 1 med rad 2, rad 2 med rad 3, osv.) og summerer:

\begin{aligned} &\int x^3 \cdot e^{2x} \, dx \\ = {}&(+)x^3 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + (-)3x^2 \cdot \frac{1}{4}e^{2x} \\ &\quad {} + (+)6x \cdot \frac{1}{8}e^{2x} + (-)6 \cdot \frac{1}{16}e^{2x} + C \end{aligned}

= \frac{e^{2x}}{2}x^3 - \frac{3e^{2x}}{4}x^2 + \frac{6e^{2x}}{8}x - \frac{6e^{2x}}{16} + C

= \frac{e^{2x}}{16}(8x^3 - 12x^2 + 12x - 6) + C

= \frac{e^{2x}}{8}(4x^3 - 6x^2 + 6x - 3) + C

Svar:

\displaystyle \int x^3 \cdot e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{8}(4x^3 - 6x^2 + 6x - 3) + C

📝Oppgave 3.2.4

Bruk gjentatt delvis integrasjon (eller tabellarisk metode) til å finne integralene.

\displaystyle\int x^2 \cdot \cos(x) \, dx

\displaystyle\int x^2 \cdot e^{-x} \, dx

\displaystyle\int x^3 \cdot e^x \, dx

\displaystyle\int x^2 \cdot \sin(2x) \, dx

Sirkulær delvis integrasjon

Noen ganger leder delvis integrasjon oss i en sirkel - vi ender opp med det samme integralet vi startet med! Dette skjer typisk med produkter av eksponential- og trigonometriske funksjoner, for eksempel $\int e^x \sin(x) \, dx$ .

Løsningen er å sette opp en likning der integralet vi søker etter er den ukjente, og deretter løse for denne ukjente.

📜Sirkulær delvis integrasjon

Hvis vi etter to runder med delvis integrasjon ender opp med det opprinnelige integralet

I

igjen, setter vi opp en likning og løser den for

I

$I = M - c \cdot I \quad \Rightarrow \quad (1 + c)I = M \quad \Rightarrow \quad I = \frac{M}{1 + c}$

der $M$ er mellomresultatet og $c > 0$ er tallet foran $I$ på høyre side.

Viktig: Pass på fortegnet og tallet foran $I$ på høyre side. Står det $+I$ med samme koeffisient som på venstre side, har valget av $u$ og $v'$ gått i ring, og vi må velge annerledes.

✏️Eksempel 6: Sirkulær delvis integrasjon

Finn $\displaystyle\int e^x \cdot \sin(x) \, dx$ .

Løsning:

La $I = \int e^x \sin(x) \, dx$ .

Første runde:
- $u = e^x \quad \Rightarrow \quad u' = e^x$
- $v' = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad v = -\cos(x)$

$\begin{aligned} I &= -e^x \cos(x) - \int (-\cos(x)) \cdot e^x \, dx \\ &= -e^x \cos(x) + \int e^x \cos(x) \, dx \end{aligned}$

Andre runde (på $\int e^x \cos(x) \, dx$ ):
- $u = e^x \quad \Rightarrow \quad u' = e^x$
- $v' = \cos(x) \quad \Rightarrow \quad v = \sin(x)$

$\begin{aligned} &\int e^x \cos(x) \, dx \\ = {}&e^x \sin(x) - \int e^x \sin(x) \, dx \\ = {}&e^x \sin(x) - I \end{aligned}$

Setter sammen:

$I = -e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - I$

$2I = e^x(\sin(x) - \cos(x))$

$I = \frac{e^x(\sin(x) - \cos(x))}{2} + C$

Sjekk: $\displaystyle \left(\frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}\right)' = \frac{e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x)}{2} = \frac{2e^x \sin x}{2} = e^x \sin x$ ✓

Svar: $\displaystyle \int e^x \cdot \sin(x) \, dx = \frac{e^x(\sin(x) - \cos(x))}{2} + C$

📝Oppgave 3.2.5

Bruk sirkulær delvis integrasjon til å finne integralene.

\displaystyle\int e^x \cdot \cos(x) \, dx

\displaystyle\int e^{2x} \cdot \sin(x) \, dx

\displaystyle\int e^{-x} \cdot \cos(2x) \, dx

📜Generell formel for

\int e^{ax} \sin(bx) \, dx

\int e^{ax} \cos(bx) \, dx

For konstanter

a

b

gjelder:

$\int e^{ax} \sin(bx) \, dx = \frac{e^{ax}(a\sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2 + b^2} + C$

$\int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2 + b^2} + C$

Merk: Disse formlene kan utledes ved sirkulær delvis integrasjon, men er nyttige å ha tilgjengelig for å spare tid.

Bestemt integral med delvis integrasjon

Når vi bruker delvis integrasjon på et bestemt integral, har vi to tilnærminger:

Metode 1: Finn først det ubestemte integralet, og evaluer deretter ved grensene.

Metode 2: Bruk formelen for delvis integrasjon direkte med grenser:

$\int_a^b u \cdot v' \, dx = \Big[u \cdot v\Big]_a^b - \int_a^b u' \cdot v \, dx$

Metode 2 kan være mer effektiv fordi vi slipper å holde styr på integrasjonskonstanten.

✏️Eksempel 7: Bestemt integral

Beregn $\displaystyle\int_0^1 x \cdot e^x \, dx$ .

Løsning:

Vi bruker formelen $\int_a^b u \cdot v' \, dx = [u \cdot v]_a^b - \int_a^b u' \cdot v \, dx$ .

Med $u = x$ , $u' = 1$ , $v' = e^x$ , $v = e^x$ :

$\int_0^1 x \cdot e^x \, dx = \Big[x \cdot e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x \, dx$

$= \Big[x \cdot e^x\Big]_0^1 - \Big[e^x\Big]_0^1$

$= (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - (e^1 - e^0)$

$= e - 0 - e + 1$

$= 1$

Svar: $\int_0^1 x \cdot e^x \, dx = 1$

📝Oppgave 3.2.6

Beregn de bestemte integralene ved hjelp av delvis integrasjon.

\displaystyle\int_0^{\pi} x \cdot \sin(x) \, dx

\displaystyle\int_1^e \ln(x) \, dx

\displaystyle\int_0^2 x \cdot e^{-x} \, dx

\displaystyle\int_1^e x \cdot \ln(x) \, dx

Løs oppgaven

✏️Eksempel 8: Kombinere teknikker

Finn $\displaystyle\int x^2 \cdot \sin(x) \, dx$ .

Løsning:

Dette krever to runder med delvis integrasjon.

Første runde:
- $u = x^2 \quad \Rightarrow \quad u' = 2x$
- $v' = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad v = -\cos(x)$

$\int x^2 \sin(x) \, dx = -x^2 \cos(x) - \int (-\cos(x)) \cdot 2x \, dx$
$= -x^2 \cos(x) + 2\int x \cos(x) \, dx$

Andre runde (på $\int x \cos(x) \, dx$ ):
- $u = x \quad \Rightarrow \quad u' = 1$
- $v' = \cos(x) \quad \Rightarrow \quad v = \sin(x)$

$\begin{aligned} \int x \cos(x) \, dx &= x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx \\ &= x \sin(x) + \cos(x) \end{aligned}$

Setter sammen:

$\begin{aligned} &\int x^2 \sin(x) \, dx \\ = {}&-x^2 \cos(x) + 2(x \sin(x) + \cos(x)) + C \end{aligned}$
$= -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) + C$
$= (2 - x^2)\cos(x) + 2x\sin(x) + C$

Svar: $\int x^2 \cdot \sin(x) \, dx = (2 - x^2)\cos(x) + 2x\sin(x) + C$

Vanlige feil ved delvis integrasjon

1. Feil valg av $u$ og $v'$ :
Hvis du velger feil, får du et vanskeligere integral. Velg

u

slik at

u'

blir enklere enn

u

2. Glemmer fortegn:
Vær nøye med minustegnet i formelen: $\int u \cdot v' \, dx = uv \mathbf{-} \int u' \cdot v \, dx$

3. Glemmer integrasjonskonstanten:
Husk alltid $+ C$ på slutten av ubestemte integraler.

4. Feil ved sirkulær integrasjon:
Pass på at integralet $I$ dukker opp med riktig fortegn når du setter opp likningen.

5. Stopper for tidlig:
Ved gjentatt delvis integrasjon, fortsett til polynomet er derivert til 0.

📝Oppgave 3.2.7

Løs disse utfordrende integralene.

\displaystyle\int (\ln(x))^2 \, dx

\displaystyle\int_1^{e} x^2 \cdot \ln(x) \, dx

\displaystyle\int_0^{\pi/2} x^2 \cdot \cos(x) \, dx

Løs oppgaven

Anvendelser av delvis integrasjon

Delvis integrasjon har mange praktiske anvendelser. Punkt 2 og 3 er fordypning (utenfor læreplanen) og viser hvor metoden brukes videre:

1. Fysikk - Arbeid og energi:
Arbeidet utført av en variabel kraft $F(x)$ over en strekning er $W = \int F(x) \, dx$ . Når kraften er et produkt av funksjoner, bruker vi delvis integrasjon.

2. Sannsynlighetsregning (fordypning, utenfor læreplanen):
Forventningsverdi og varians av kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger krever ofte delvis integrasjon.

3. Fourier-analyse (fordypning, utenfor læreplanen):
Beregning av Fourier-koeffisienter involverer integraler av typen $\int f(x) \sin(nx) \, dx$ og $\int f(x) \cos(nx) \, dx$ .

4. Differensiallikninger:
Løsning av visse differensiallikninger krever delvis integrasjon.

✏️Eksempel 9: Gjennomsnittsverdi

Finn gjennomsnittsverdien til funksjonen $f(x) = x \cdot e^{-x}$ på intervallet $[0, 2]$ .

Løsning:

Gjennomsnittsverdien på $[a, b]$ er gitt ved:

$\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$

Vi må først beregne $\int_0^2 x \cdot e^{-x} \, dx$ .

Med delvis integrasjon ( $u = x$ , $v' = e^{-x}$ ):

$\int_0^2 x \cdot e^{-x} \, dx = \Big[-x e^{-x}\Big]_0^2 + \int_0^2 e^{-x} \, dx$

$= (-2e^{-2} - 0) + \Big[-e^{-x}\Big]_0^2$

$= -2e^{-2} + (-e^{-2} + 1)$

$= 1 - 3e^{-2}$

Gjennomsnittsverdien blir:

$\bar{f} = \frac{1}{2-0}(1 - 3e^{-2}) = \frac{1 - 3e^{-2}}{2} \approx 0{,}297$

Svar: Gjennomsnittsverdien er $\displaystyle \frac{1 - 3e^{-2}}{2} \approx 0{,}297$ .

Eksamensrelevante oppgaver

På eksamen i R2 kommer delvis integrasjon ofte i kombinasjon med andre emner. Typiske oppgaver:

- Finn areal avgrenset av grafer der integralet krever delvis integrasjon
- Beregn volum av omdreiningslegemer
- Finn gjennomsnittsverdier

📝Oppgave 3.2.9

Løs disse eksamensrelevante oppgavene.

Finn arealet av området avgrenset av $y = (x + 1) \cdot e^{-x}$ , $x$ -aksen, $x = 0$ og $x = 1$ .

Finn volumet når området under $y = \ln(x)$ fra $x = 1$ til $x = e$ roteres om $x$ -aksen.

Vis at $\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx = \frac{\pi}{4}$ ved delvis integrasjon.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.2.10

Blandede oppgaver - velg riktig integrasjonsteknikk.

\displaystyle\int x^2 \cdot e^{x^3} \, dx

\displaystyle\int x \cdot \sqrt{1+x^2} \, dx

\displaystyle\int x \cdot \ln(x^2) \, dx

\displaystyle\int e^x \cdot \sin(e^x) \, dx

Når skal du bruke delvis integrasjon?

Bruk delvis integrasjon når:
1. Du har et produkt av to ulike funksjonstyper
2. Substitusjon ikke fungerer
3. En av funksjonene blir enklere ved derivasjon

Bruk substitusjon når:
1. Du ser den deriverte av en indre funksjon
2. Integranden har formen $f(g(x)) \cdot g'(x)$

Tips: Prøv substitusjon først - det er ofte raskere!

Oppsummering

Formelen for delvis integrasjon:
$\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx$

Valg av $u$ : velg den faktoren som blir enklere når den deriveres ( $\ln x$ før polynomer), og la $v'$ være en faktor som er lett å integrere ( $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ ).

Spesielle tilfeller:
- Polynomer av grad $n$ krever $n$ runder med delvis integrasjon
- Produkter av $e^x$ og trigonometriske funksjoner gir sirkulær delvis integrasjon
- $\int \ln(x) \, dx = x(\ln(x) - 1) + C$ er et viktig resultat

Husk:
- Sjekk alltid svaret ved derivasjon
- Ikke glem integrasjonskonstanten $C$
- Vurder om substitusjon er enklere før du starter med delvis integrasjon

Viktige integraler fra delvis integrasjon

\begin{aligned} \int x \cdot e^{ax} \, dx &= \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1) + C \\[6pt] \int x \cdot \sin(ax) \, dx &= \frac{\sin(ax) - ax\cos(ax)}{a^2} + C \\[6pt] \int x \cdot \cos(ax) \, dx &= \frac{\cos(ax) + ax\sin(ax)}{a^2} + C \\[6pt] \int \ln(x) \, dx &= x(\ln(x) - 1) + C \\[6pt] \int x \cdot \ln(x) \, dx &= \frac{x^2}{4}(2\ln(x) - 1) + C \\[6pt] \int e^{ax} \sin(bx) \, dx &= \frac{e^{ax}(a\sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2 + b^2} + C \\[6pt] \int e^{ax} \cos(bx) \, dx &= \frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2 + b^2} + C \end{aligned}

Disse resultatene er nyttige å huske og kan brukes direkte i beregninger.

Generelle formler for polynomer

\begin{aligned} \int x^n \cdot e^x \, dx &= e^x \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \frac{n!}{k!} x^k + C \\[1em] \text{For } n = 1: \quad &e^x(x - 1) + C \\ \text{For } n = 2: \quad &e^x(x^2 - 2x + 2) + C \\ \text{For } n = 3: \quad &e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C \end{aligned}

Legg merke til mønsteret: koeffisientene er $\displaystyle \frac{n!}{k!}$ med vekslende fortegn.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Innledning

Utledning av formelen

Valg av uuu og v′v'v′

Gjentatt delvis integrasjon

Tabellarisk delvis integrasjon

Sirkulær delvis integrasjon

Bestemt integral med delvis integrasjon

Anvendelser av delvis integrasjon

Eksamensrelevante oppgaver

Oppsummering

Valg av $u$ og $v'$