3.2 Delvis integrasjon

Produktregelen baklengs

Substitusjon ga oss kjerneregelen baklengs. Men prøv den på $\int x \cdot e^x\,dx$ — og du står fast. Ingen av faktorene er den andres deriverte; det finnes ingen kjerne å døpe om. Integralet er et ekte produkt av to ulike funksjonstyper, og produkter krever sitt eget verktøy.

Verktøyet ligger gjemt i en regel du kan fra før. Produktregelen sier $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Integrer begge sider, og venstresiden blir bare $uv$ igjen:

$$u \cdot v = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx$$

Flytt det ene integralet over på den andre siden, og du har delvis integrasjon:

$$\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx$$

Lest med litt velvilje sier formelen: «du får lov til å bytte hvilken faktor som er derivert» — mot å betale med leddet $uv$ og et fortegn. Er det nye integralet enklere enn det gamle, har byttet lønt seg. I dette kapittelet lærer du å velge riktig, å bruke teknikken gjentatte ganger, å håndtere det forunderlige sirkulære tilfellet — og noen triks som $\int \ln x\,dx$, der produktet er usynlig.

Formelen og det første byttet

La oss ta $\int x \cdot e^x\,dx$ med en gang. Vi må fordele rollene: én faktor blir $u$ (og skal deriveres), den andre blir $v'$ (og skal integreres). Velg $u = x$, $v' = e^x$, slik at $u' = 1$ og $v = e^x$:

$$\int x e^x\,dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x\,dx = xe^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$$

Det nye integralet, $\int e^x\,dx$, var trivielt — byttet lønte seg. Kontroll: $(e^x(x-1))' = e^x(x-1) + e^x = xe^x$. ✓

Hva om vi hadde valgt omvendt, $u = e^x$ og $v' = x$? Da ville det nye integralet blitt $\displaystyle \int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$ — verre enn utgangspunktet. Valget av $u$ er altså avgjørende. Regelen er: velg som $u$ den faktoren som blir enklere når den deriveres, og som $v'$ en faktor som er lett å integrere. $\ln x$ er vond å integrere, men den deriverte $\displaystyle \frac{1}{x}$ er enkel, så $\ln x$ blir $u$. Polynomer blir også $u$, fordi graden synker for hver derivasjon — $x^3 \to 3x^2 \to 6x \to 6 \to 0$. $e^x$, $\sin x$ og $\cos x$ er gode valg for $v'$, fordi de ikke blir mer kompliserte av å integreres.

Ett eksempel til: $\int x \sin x\,dx$. Polynomet $x$ blir $u$, og $v' = \sin x$ gir $v = -\cos x$:

$$\int x \sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x + C$$

Det usynlige produktet og gjentatte runder

Noen integraler skjuler produktet sitt. Se på $\int \ln x\,dx$ — bare én funksjon? Trikset er å skrive $\ln x = \ln x \cdot 1$. Logaritmen er lett å derivere, men vond å integrere, så $u = \ln x$, $v' = 1$, som gir $\displaystyle u' = \frac{1}{x}$ og $v = x$:

$$\begin{aligned} \int \ln x\,dx &= x\ln x - \int \frac{1}{x} \cdot x\,dx \\ &= x\ln x - \int 1\,dx \\ &= x\ln x - x + C \end{aligned}$$

Et resultat verdt å huske. Samme valg virker når logaritmen står sammen med et polynom. For $\int x\ln x\,dx$ velger vi $u = \ln x$ og $v' = x$, slik at $\displaystyle u' = \frac{1}{x}$ og $\displaystyle v = \frac{x^2}{2}$:

$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

der restintegralet forenkles til $\displaystyle \int \frac{x}{2}\,dx$ før vi integrerer.

Når polynomet har grad to eller høyere, må vi sveive flere runder. $\int x^2 e^x\,dx$: første runde med $u = x^2$ gir $x^2e^x - \int 2xe^x\,dx$; andre runde på restintegralet gir $2xe^x - 2e^x$. Samlet:

$$\int x^2 e^x\,dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$$

Tilsvarende gir to runder $\int x^2 \sin x\,dx = (2 - x^2)\cos x + 2x\sin x + C$. Mønsteret: grad $n$ krever $n$ runder, og polynomet deriveres ett hakk per runde til det forsvinner. For lange tilfeller finnes en tabellarisk metode — sett opp kolonner med vekslende fortegn, derivertene av $u$ nedover ($x^3, 3x^2, 6x, 6, 0$) og integralene av $v'$ nedover, og summer diagonalproduktene. For $\int x^3 e^{2x}\,dx$ gir den $\displaystyle \frac{e^{2x}}{8}(4x^3 - 6x^2 + 6x - 3) + C$ uten mellomregninger.

Sirkelen som løser seg selv — og bestemte integraler

Nå til teknikkens mest forbløffende øyeblikk. Prøv $I = \int e^x \sin x\,dx$. Med $u = e^x$, $v' = \sin x$:

$$I = -e^x\cos x + \int e^x\cos x\,dx$$

Ny runde på restintegralet, samme rollefordeling:

$$\int e^x\cos x\,dx = e^x\sin x - \int e^x\sin x\,dx = e^x\sin x - I$$

Vi er tilbake der vi startet — integralet $I$ dukker opp på høyre side! Men det er ikke et nederlag; det er en likning:

$$\begin{aligned} &I = -e^x\cos x + e^x\sin x - I \\ \implies {}&2I = e^x(\sin x - \cos x) \\ \implies {}&I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C \end{aligned}$$

Dette kalles sirkulær delvis integrasjon, og det fungerer alltid for produkter av eksponential- og trigonometriske funksjoner — to runder, så løses likningen for $I$. (Pass nøye på fortegnet foran $I$; det avgjør om du får $2I$ eller $0 = \ldots$.) Generelt: $\displaystyle \int e^{ax}\sin(bx)\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2} + C$.

For bestemte integraler tas grensene med hele veien:

$$\int_a^b uv'\,dx = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b u'v\,dx$$

Eksempel: $\int_0^1 xe^x\,dx = \left[xe^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1$. Pent og rundt.

Når velger man så hva? Tommelfingerregelen: prøv substitusjon først — ser du en kjerne med sin deriverte, er det raskere. Delvis integrasjon er riktig når integranden er et produkt av to ulike funksjonstyper og ingen av dem er den andres kjerne-derivert. Og i anvendelser dukker teknikken opp overalt: gjennomsnittsverdier som $\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^2 xe^{-x}\,dx = \frac{1 - 3e^{-2}}{2}$, arealer, volumer og sannsynlighetsregningens forventningsverdier.

Oppsummering: byttehandelen som lønner seg

Delvis integrasjon er produktregelen baklengs: $\int uv'\,dx = uv - \int u'v\,dx$ — en byttehandel der vi flytter derivasjonen fra én faktor til den andre og betaler med leddet $uv$ og et minustegn. Handelen lønner seg når det nye integralet er enklere, og regelen for valget er enkel: $u$ er faktoren som blir enklere av å deriveres ($\ln x$ og polynomer), og $v'$ er en faktor som er lett å integrere.

Verktøykassen rommer nå flere spesialiteter: det usynlige produktet ($\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$ via faktoren $1$), gjentatte runder for polynomer av høyere grad ($\int x^2e^x\,dx = e^x(x^2-2x+2) + C$, eventuelt med tabellarisk bokføring), og den sirkulære varianten der integralet vender tilbake og løses som likning — $\displaystyle \int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$. Bestemte integraler tar grensene med i hvert ledd: $\int_0^1 xe^x\,dx = 1$. Og strategien på toppen: prøv substitusjon først, grip til delvis integrasjon når produktet er ekte.

To teknikker er på plass. Den tredje gjelder brøker av polynomer — rasjonale funksjoner — og bygger på en idé fra brøkregningens barndom: å spalte det sammensatte i enkle deler.