10.3 Serier: endelige og geometriske summer

Endelige summer skrevet ut, og geometriske rekker med konvergens/divergens.

40 min

6 oppgaver

Serierendeligegeometriske summer

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

10.PPrøver til del 10: Beredskap: invers, integrasjon, serier

Det siste beredskapstemaet — og det med den enkleste vinneroppskriften.

Sjanger SR — serier og geometriske summer står i 5 av 16 sett (31 prosent), og nesten alltid som ett delpunkt i sant/usant-oppgaven. Prioriteten er kjenne.

Halve poenget ligger i ett spørsmål: konvergerer rekken? En uendelig geometrisk rekke har en endelig sum bare når $\lvert r\rvert<1$ . Bruker du sumformelen uten å nevne kravet, mister du uttelling selv om regnestykket ellers er riktig — og bruker du den når $\lvert r\rvert\ge 1$ , er svaret rett og slett galt.

Delpunktene som har forekommet, faller i tre grupper:

1. Endelige summer som skal skrives ut og legges sammen.
2. Uendelige geometriske rekker der en påstått sum skal kontrolleres.
3. Divergerende rekker der hele poenget er å oppdage at $\lvert r\rvert\ge 1$ .

Merk at gruppe 3 er en felle: påstanden ser ut som en helt vanlig sumoppgave, og formelen gir et pent tall — som bare er meningsløst.

Tidsanslaget er 40 minutter, og kapitlet er kort med vilje.

Kilde for tallene: Skolesagas gjennomgang av 16 eksamenssett fra Økonomisk institutt, UiO (9 ordinære, 7 utsatte, V2018–H2025), hvorav 14 med offisiell sensorveiledning.

Forkunnskaper. Kapitlet kan leses uten forkunnskaper fra resten av boka. Trenger du å friske opp grunnlaget, ligger det i Geometriske følger, Rekker og summasjon og Uendelige rekker og konvergens fra R2.

Det eneste du må ha med deg er summetegnet:

$\sum_{t=0}^{n}a_t=a_0+a_1+\dots+a_n$

Bokstaven under tegnet er telleren, tallet under er der den starter, og tallet over er der den slutter.

En bedrift får 50 000 kroner i overskudd hvert år i overskuelig framtid. Hva er hele den strømmen verdt i dag?

Kroner i framtida er mindre verdt enn kroner i dag, så hvert års beløp må ganges ned med en faktor — én gang for hvert år som går. Summen blir

$50\,000+50\,000\beta+50\,000\beta^{2}+\dots$

Dette er en geometrisk rekke: hvert ledd er det forrige ganget med den samme faktoren. Og det bemerkelsesverdige er at en slik uendelig sum kan ha en helt endelig verdi — så lenge faktoren er mindre enn 1 i tallverdi.

Det er nettopp det kravet eksamen tester.

Løkke 1 — Endelige summer (~11 min)

Summetegnet

\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\dots+a_n

📜To formler for endelige summer

De to du bør kjenne igjen.

$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{t=0}^{n}ar^{t}=a\,\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\quad (r\ne 1)$

Den første er summen av de $n$ første heltallene. Den andre er den endelige geometriske summen — merk eksponenten $n+1$ i telleren, som kommer av at summen har $n+1$ ledd når den starter på $t=0$ .

✏️Eksempel 1: Endelige summer

Regn ut.

a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{5}\left(n^{2}-2n\right)$

b) $\displaystyle\sum_{k=1}^{20}k$

c) $\displaystyle\sum_{t=0}^{4}3\cdot 2^{t}$ , både ved utskriving og med formelen.

a) Metode: skriv ut leddene — fem ledd er raskere enn noen formel.

$n$	$n^{2}$	$2n$	$n^{2}-2n$
1	1	2	$-1$
2	4	4	$0$
3	9	6	$3$
4	16	8	$8$
5	25	10	$15$

\sum_{n=1}^{5}\left(n^{2}-2n\right)=-1+0+3+8+15=25

Merk at det første leddet er negativt — det er lett å overse når man regner i hodet.
b) Med formelen for de

n

første heltallene:

\sum_{k=1}^{20}k=\frac{20\cdot 21}{2}=\frac{420}{2}=210

Kontroll: summen av tall fra 1 til 20 er 20 tall med gjennomsnitt

\tfrac{1+20}{2}=10{,}5

, altså

20\cdot 10{,}5=210

✓
c) Ved utskriving:

$3\cdot 2^{0}+3\cdot 2^{1}+3\cdot 2^{2}+3\cdot 2^{3}+3\cdot 2^{4}=3+6+12+24+48=93$

Med formelen — her er $a=3$ , $r=2$ og $n=4$ , altså fem ledd:

$\sum_{t=0}^{4}3\cdot 2^{t}=3\cdot\frac{1-2^{5}}{1-2}=3\cdot\frac{1-32}{-1}=3\cdot 31=93\ ✓$

Merk eksponenten: $n+1=5$ , ikke 4. Summen har fem ledd fordi den starter på $t=0$ .

Verbal konklusjon: for korte summer er utskriving både raskest og sikrest. Formelen trengs først når antallet ledd er stort — eller uendelig.

📝Oppgave 1

Regn ut.

a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{4}\left(n^{2}+n\right)$

b) $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k$

c) $\displaystyle\sum_{t=0}^{3}5\cdot 3^{t}$

Løkke 2 — Den uendelige geometriske rekka (~15 min)

Geometrisk rekke

a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots=\sum_{t=0}^{\infty}ar^{t}

📜Sumformelen og konvergenskravet

En uendelig geometrisk rekke har en endelig sum bare når kvotienten er mindre enn 1 i tallverdi.

$\sum_{t=0}^{\infty}ar^{t}=\frac{a}{1-r}\qquad\textbf{hvis og bare hvis}\qquad \lvert r\rvert<1$

Er $\lvert r\rvert\ge 1$ , divergerer rekka: leddene blir ikke små nok, og summen vokser uten grense (eller svinger uten å nærme seg noe tall).

Kravet er ikke en teknisk detalj — det er halve svaret. Skriv det alltid ut: «Her er $r=0{,}8$ , og $\lvert r\rvert<1$ , så rekka konvergerer og sumformelen gjelder.»

Hvorfor kravet må være der. Den endelige summen er

$\sum_{t=0}^{n}ar^{t}=a\,\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$

Spørsmålet er hva som skjer med $r^{n+1}$ når $n$ vokser.

- Er $\lvert r\rvert<1$ , krymper $r^{n+1}$ mot null — $0{,}8^{50}\approx 0{,}000014$ . Da nærmer hele uttrykket seg $\dfrac{a}{1-r}$ .
- Er $\lvert r\rvert>1$ , vokser $r^{n+1}$ uten grense — $1{,}5^{50}\approx 6\cdot 10^{8}$ . Summen løper av gårde.
- Er $r=1$ , er hvert ledd like stort som det forrige, og summen av uendelig mange like ledd er uendelig.

Intuisjon: rekka konvergerer bare når leddene krymper raskt nok til at halen blir ubetydelig.

✏️Eksempel 2: Konvergens og divergens

Avgjør for hver rekke om den konvergerer, og finn i så fall summen.

a) $\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty}\left(0{,}8\right)^{t}$

b) $\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty}4\left(\tfrac13\right)^{t}$

c) $\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty}3\left(1{,}5\right)^{t}$

d) $\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty}5\left(-0{,}5\right)^{t}$

a) Her er

a=1

r=0{,}8

Konvergenssjekk: $\lvert 0{,}8\rvert<1$ ✓ Rekka konvergerer.

$\sum_{t=0}^{\infty}\left(0{,}8\right)^{t}=\frac{1}{1-0{,}8}=\frac{1}{0{,}2}=5$

Rimelighetssjekk: de fem første leddene er $1+0{,}8+0{,}64+0{,}512+0{,}41=3{,}36$ , og halen legger på resten opp mot 5 ✓

b) Her er $a=4$ og $r=\tfrac13$ .

Konvergenssjekk: $\left\lvert\tfrac13\right\rvert<1$ ✓

$\sum_{t=0}^{\infty}4\left(\tfrac13\right)^{t}=\frac{4}{1-\tfrac13}=\frac{4}{\tfrac23}=4\cdot\frac32=6$

Merk regningen med brøk i nevneren: å dele på $\tfrac23$ er å gange med $\tfrac32$ .

c) Her er $a=3$ og $r=1{,}5$ .

Konvergenssjekk: $\lvert 1{,}5\rvert>1$ — rekka divergerer, og sumformelen gjelder ikke.

Hva formelen ville gitt hvis man brukte den ulovlig: $\dfrac{3}{1-1{,}5}=\dfrac{3}{-0{,}5}=-6$ . Et negativt tall som sum av bare positive ledd er åpenbart meningsløst — og det er selve varselsignalet. En rekke med positive ledd kan aldri summere til noe negativt.

d) Her er $a=5$ og $r=-0{,}5$ .

Konvergenssjekk: $\lvert -0{,}5\rvert=0{,}5<1$ ✓ Kravet gjelder tallverdien, så en negativ kvotient er helt greit.

$\sum_{t=0}^{\infty}5\left(-0{,}5\right)^{t}=\frac{5}{1-(-0{,}5)}=\frac{5}{1{,}5}=\frac{10}{3}\approx 3{,}33$

Merk fortegnet i nevneren: $1-(-0{,}5)=1{,}5$ , ikke $0{,}5$ . Å trekke fra et negativt tall er å legge til.

Rimelighetssjekk: leddene veksler fortegn — $5-2{,}5+1{,}25-0{,}625+\dots$ — og delsummene svinger seg inn mot $3{,}33$ ✓

Verbal konklusjon: framgangsmåten er alltid den samme. Finn $a$ og $r$ , sjekk $\lvert r\rvert$ , og bruk formelen bare hvis kravet er oppfylt.

📝Oppgave 2

Sjanger SR

Avgjør for hver rekke om den konvergerer, og finn i så fall summen.

a) $\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty}6\left(\tfrac14\right)^{t}$

b) $\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}2^{i}$

c) $\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty}10\left(-0{,}2\right)^{t}$

📝Oppgave 3

Sjanger SR

Regn ut, og begrunn konvergensen.

a) $\displaystyle\sum_{t=1}^{\infty}\left(\tfrac12\right)^{t}$

b) $\displaystyle \displaystyle\sum_{t=0}^{\infty}\frac{3}{2^{t}}$

c) $\displaystyle\sum_{t=2}^{\infty}\left(0{,}9\right)^{t}$

Løkke 3 — Eksamensformatet og nåverdien (~14 min)

Nåverdien av en evig strøm

\sum_{t=0}^{\infty}z\beta^{t}=\frac{z}{1-\beta},\qquad 0<\beta<1

Fremgangsmåten på et SR-delpunkt

1)\ \text{er den geometrisk?};\quad 2)\ \text{finn }a\ \text{og }r;\quad 3)\ \text{sjekk }\lvert r\rvert<1;\quad 4)\ \text{regn eller konkluder divergens}

✏️Eksempel 3: Eksamensnivå — sant eller usant

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne, og begrunn.

a) « $\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty}\left(0{,}8\right)^{t}=5$ »

b) « $\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}2^{i}=-1$ »

c) «En bedrift får $z$ kroner hvert år i all framtid, med diskonteringsfaktor $\beta$ . Nåverdien er $\dfrac{z}{1-\beta}$ uansett verdi på $\beta$ .»

a) Sann.

Begrunnelse ved utregning: rekka er geometrisk med $a=1$ og $r=0{,}8$ .

Konvergenssjekk: $\lvert 0{,}8\rvert<1$ , så rekka konvergerer og sumformelen gjelder.

$\frac{1}{1-0{,}8}=\frac{1}{0{,}2}=5\ ✓$

Påstanden stemmer.

b) Usann.

Begrunnelse: rekka er geometrisk med $a=1$ og $r=2$ , og $\lvert 2\rvert>1$ . Kravet for konvergens er ikke oppfylt, så rekka divergerer og har ingen sum.

Tallet $-1$ er nettopp det man får ved å bruke sumformelen ulovlig:

$\frac{1}{1-2}=-1$

Hvorfor det ikke kan stemme: alle leddene $1,2,4,8,\dots$ er positive, og allerede det første leddet alene er 1. En sum av positive tall kan ikke være negativ.

Dette er sjangerens signaturfelle: formelen gir et pent tall, og tallet er meningsløst. Konvergenssjekken er hele forsvaret.

c) Usann.

Begrunnelse: formelen krever $\lvert\beta\rvert<1$ . Er $\beta\ge 1$ — altså at en krone neste år er verdt like mye som eller mer enn en krone i dag — divergerer rekka, og nåverdien er ikke endelig.

Konkret: med $\beta=1$ blir summen $z+z+z+\dots$ , som vokser uten grense uansett hvor liten $z$ er.

Presist sagt: formelen er riktig, men påstandens «uansett verdi på $\beta$ » er det som gjør den usann. I praksis er $0<\beta<1$ når renta er positiv, men det er en forutsetning som må nevnes, ikke noe som gjelder automatisk.

📝Oppgave 4

Sjanger SU

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne, og begrunn.

a) « $\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty}4\left(\tfrac13\right)^{t}=6$ »

b) « $\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty}\left(-1{,}2\right)^{t}$ konvergerer, siden kvotienten er negativ.»

c) « $\displaystyle\sum_{n=1}^{5}\left(n^{2}-2n\right)=25$ »

📝Oppgave 5

Sjanger SR

En bedrift mottar 60 000 kroner i overskudd ved slutten av hvert år, i all framtid. Diskonteringsfaktoren er $\beta$ .

a) Sett opp nåverdien som en rekke, og finn et uttrykk for den når $\beta=0{,}95$ .

b) Hvor mye endres nåverdien hvis $\beta$ faller til $0{,}90$ ?

c) Forklar hvorfor nåverdien er så følsom for $\beta$ .

📝Oppgave 6

Sjanger SR

Betrakt rekka

$S(x)=\sum_{t=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{t}.$

a) For hvilke $x$ konvergerer rekka? Begrunn.

b) Finn $S(x)$ der den konvergerer, og forenkle.

c) Regn ut $S(1)$ og $S(-1)$ , og forklar hvorfor $S(3)$ ikke finnes.

Typiske feil med serier

- Å bruke sumformelen uten å sjekke $\lvert r\rvert<1$ . Dette er kapitlets hovedfelle. Formelen gir alltid et tall, også når rekka divergerer, og tallet er da meningsløst. Skriv konvergenssjekken som en egen setning hver gang.
- Å tro at negativ kvotient betyr divergens. Kravet gjelder tallverdien: $r=-0{,}5$ gir konvergens, $r=-1{,}2$ gir divergens. Fortegnet i seg selv avgjør ingenting.
- Å snu nevneren. Formelen er $\dfrac{a}{1-r}$ , ikke $\dfrac{a}{r-1}$ . Kontroll: med $0<r<1$ skal summen være større enn første ledd, aldri negativ.
- Feil startledd når summen ikke begynner på $t=0$ . $a$ er alltid det første leddet som faktisk er med. Skriv ut de to første leddene, så ser du både $a$ og $r$ .
- Feil eksponent i den endelige summen. $\sum_{t=0}^{n}ar^{t}$ har $n+1$ ledd, og formelen har derfor $r^{n+1}$ i telleren.
- Regnefeil i korte endelige summer. Skriv dem ut i stedet for å bruke formel. Fem ledd tar femten sekunder, og negative eller null-ledd er lette å overse i hoderegning.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Sumformelen med sitt krav

\sum_{t=0}^{\infty}ar^{t}=\frac{a}{1-r}\qquad\text{hvis og bare hvis}\qquad\lvert r\rvert<1

Når rekka divergerer

\lvert r\rvert\ge 1\ \Longrightarrow\ \text{ingen endelig sum}

Kravet gjelder tallverdien

r=-0{,}5:\ \text{konvergerer};\qquad r=-1{,}2:\ \text{divergerer}

Den endelige geometriske summen

\sum_{t=0}^{n}ar^{t}=a\,\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\quad (r\ne 1)

Summen av de n første heltallene

\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}

Startleddet når summen ikke begynner på null

\sum_{t=2}^{\infty}\left(0{,}9\right)^{t}:\quad a=\left(0{,}9\right)^{2}=0{,}81,\quad r=0{,}9

Slik kjenner du igjen en geometrisk rekke

\frac{a_{t+1}}{a_t}=r\ \text{for alle }t

Nåverdien av en evig strøm

\sum_{t=0}^{\infty}z\beta^{t}=\frac{z}{1-\beta},\qquad 0<\beta<1

Hvorfor nåverdien er så følsom

\beta=0{,}95\Rightarrow 1-\beta=0{,}05;\qquad \beta=0{,}90\Rightarrow 1-\beta=0{,}10

Varselsignalet: negativ sum av positive ledd

\frac{1}{1-2}=-1\quad\text{for}\quad \sum_{i=0}^{\infty}2^{i}

Skriv om til standardform

\frac{3}{2^{t}}=3\left(\tfrac12\right)^{t};\qquad \left(\frac{x}{2}\right)^{t}\ \text{har}\ r=\frac{x}{2}

SR-delpunktet i fire steg

1)\ \text{geometrisk?};\quad 2)\ a\ \text{og}\ r;\quad 3)\ \lvert r\rvert<1?;\quad 4)\ \text{regn eller konkluder}

Repetisjonsoppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.