1.5 Uendelige rekker og konvergens | Matematikk R2

Når konvergerer en uendelig rekke?

55 min

9 oppgaver

KonvergensDivergensGrenseverdiKonvergenskriterier

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.4Rekker og summasjon

Uendelige rekker

I forrige kapittel så vi på endelige rekker - summer med et bestemt antall ledd. Men hva skjer når vi lar antall ledd gå mot uendelig?

Tenk på rekken $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ . Selv om vi legger sammen uendelig mange ledd, vokser ikke summen over alle grenser - den nærmer seg tallet 2.

Uendelig rekke

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

Konvergens og divergens

\{S_n\}

📜Uendelig geometrisk rekke

For en geometrisk rekke med første ledd

a_1

og kvotient

k

der

|k| < 1

$\sum_{n=1}^{\infty} a_1 \cdot k^{n-1} = \frac{a_1}{1 - k}$

Hvis $|k| \geq 1$ , divergerer rekken.

✏️Eksempel 1: Geometrisk rekke

Finn summen av den uendelige geometriske rekken $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$

Vi har

a_1 = 1

\displaystyle k = \frac{1}{2}

Delsummene:
- $S_1 = 1$
- $S_2 = 1{,}5$
- $S_3 = 1{,}75$
- $S_4 = 1{,}875$

Når $n \to \infty$ , går $\displaystyle (\frac{1}{2})^n \to 0$ , så:
$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$

Svar: Rekken konvergerer mot $2$ .

📝Oppgave 1

Finn summen av den uendelige geometriske rekken $\displaystyle 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$

✏️Eksempel 2: Sprettball

En ball slippes fra 10 m og spretter til 60 % av forrige høyde. Finn total strekning.

Første fall: 10 m ned.
Første sprett: 6 m opp + 6 m ned = 12 m
Andre sprett: 3,6 m opp + 3,6 m ned = 7,2 m

Total strekning:
$S = 10 + 2(6 + 3{,}6 + 2{,}16 + \cdots)$

Rekken $6 + 3{,}6 + \cdots$ er geometrisk med $a_1 = 6$ , $k = 0{,}6$ :
$S = 10 + 2 \cdot \frac{6}{1-0{,}6} = 10 + 2 \cdot 15 = 40 \text{ m}$

Svar: Den totale strekningen er $40$ m.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Konvergens av en geometrisk rekke

Delsummene

S_n = 2(1 - 0{,}5^n)

av rekken

\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots

nærmer seg grensen

S = 2

(stiplet linje). Endre kvotienten og se hva som skjer når

|k| \ge 1

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

l1 = Sequence((n, 2 (1 - 0.5^n)), n, 1, 15)
g: y = 2
SetLineStyle(g, 2)
SetColor(g, "Red")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 2

En pendel svinger fra side til side med avtagende utslag. Den første svingningen er 20 cm lang, og hver ny svingning er 75 % av den forrige. Finn hvor langt pendelen beveger seg til sammen.

Divergente rekker

Ikke alle uendelige rekker konvergerer. Den harmoniske rekken $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$ divergerer, selv om leddene går mot null.

📜Nødvendig betingelse for konvergens

Hvis rekken $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergerer, så må $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ .

Merk: Dette er nødvendig, men ikke tilstrekkelig. At $a_n \to 0$ garanterer ikke konvergens!

✏️Eksempel 3: Harmonisk rekke

Undersøk om den harmoniske rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ konvergerer.

Leddene går mot null:

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

Men rekken divergerer! Vi kan gruppere leddene:
$1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{8}\right) + \cdots$

Hver gruppe er større enn $\displaystyle \frac{1}{2}$ , så summen vokser uten grense.

Svar: Den harmoniske rekken divergerer.

📝Oppgave 3

Avgjør om rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}$ konvergerer eller divergerer.

📜Fordypning: p-rekker

Rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ konvergerer hvis $p > 1$ og divergerer hvis $p \leq 1$ .

Fordypning: setningen bevises ikke i R2 og er ikke eksamensstoff. Den harmoniske rekken ( $p = 1$ ) i eksempel 3 er det tilfellet du må kjenne.

✏️Eksempel 4 (fordypning): p-rekker

Avgjør om $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ og $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ konvergerer.

Rekke 1:

p = 2 > 1

, så rekken konvergerer.

Rekke 2: $\displaystyle p = \frac{1}{2} < 1$ , så rekken divergerer.

Svar: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ konvergerer, og $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ divergerer.

📝Oppgave 4

(Fordypning) Avgjør om rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1{,}5}}$ konvergerer.

Oppsummering

Type rekke	Betingelse	Konklusjon
Geometrisk	$\|k\| < 1$	Konvergerer, sum $\displaystyle = \frac{a_1}{1-k}$
Geometrisk	$\|k\| \geq 1$	Divergerer
p-rekke (fordypning)	$p > 1$	Konvergerer
p-rekke (fordypning)	$p \leq 1$	Divergerer

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.