1.4 Rekker og summasjon | Matematikk R2

Summer av følger og sigmanotasjon.

55 min

10 oppgaver

RekkeSigmanotasjonDelsumSummeformel

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Geometriske følger

Brukes videre i

1.5Uendelige rekker og konvergens 1.6Induksjonsbevis

Fra følger til rekker

En rekke er summen av leddene i en følge.

Tenk deg at du sparer 1000 kr hver måned. Etter 6 måneder har du spart:
$1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 = 6000 \text{ kr}$

Dette er et eksempel på en rekke.

Sigmanotasjon

\Sigma

✏️Eksempel 1: Beregne en sum

Beregn $\displaystyle\sum_{i=1}^{4} i^2$ .

Vi setter inn $i = 1, 2, 3, 4$ :

$\sum_{i=1}^{4} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$

Svar: $\sum_{i=1}^{4} i^2 = 30$

📝Oppgave 1

Beregn $\displaystyle\sum_{i=1}^{5} 2i$ .

✏️Eksempel 2: Skrive med sigmanotasjon

Skriv summen $5 + 10 + 15 + 20 + 25$ med sigmanotasjon.

Leddene er

5 \cdot 1, 5 \cdot 2, 5 \cdot 3, 5 \cdot 4, 5 \cdot 5

Det generelle leddet er $a_i = 5i$ .

$5 + 10 + 15 + 20 + 25 = \sum_{i=1}^{5} 5i$

Svar: $5 + 10 + 15 + 20 + 25 = \sum_{i=1}^{5} 5i$

📝Oppgave 2

Skriv summen $1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36$ med sigmanotasjon.

📜Sum av aritmetisk rekke

For en aritmetisk følge:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Alternativt:
$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

✏️Eksempel 3: Sum av aritmetisk rekke

Finn summen $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$ .

a_1 = 1

a_{100} = 100

n = 100

$\displaystyle S_{100} = \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$

Svar: Summen er $5050$ .

📝Oppgave 3

Finn summen $3 + 6 + 9 + \ldots + 99$ .

📜Sum av geometrisk rekke

For en geometrisk følge med

k \neq 1

S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}

Utledning: Vi skriver summen, ganger med $k$ og trekker fra:
$S_n = a_1 + a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^{n-1}$
$k \cdot S_n = a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^{n-1} + a_1k^n$
$k \cdot S_n - S_n = a_1k^n - a_1$
$S_n(k - 1) = a_1(k^n - 1)$
Alle leddene i midten faller bort. Vi deler på $k - 1$ og får formelen.

✏️Eksempel 4: Sum av geometrisk rekke

Finn summen $2 + 4 + 8 + 16 + 32$ .

a_1 = 2

k = 2

n = 5

$\displaystyle S_5 = 2 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 2 \cdot \frac{31}{1} = 62$

Svar: Summen er $62$ .

📝Oppgave 4

Finn summen $1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243$ .

✏️Eksempel 5: Fast sparebeløp hvert år

Du setter inn 20 000 kr på en konto 1. januar hvert år i 10 år. Renten er 4 % per år. Hvor mye står på kontoen rett etter det tiende innskuddet?

Det siste innskuddet har ikke fått rente, det nest siste har fått rente i 1 år, og det første har fått rente i 9 år:

$\begin{aligned} &20\,000 + 20\,000 \cdot 1{,}04 + 20\,000 \cdot 1{,}04^2 \\ &\quad {} + \cdots + 20\,000 \cdot 1{,}04^9 \end{aligned}$

Dette er en geometrisk rekke med $a_1 = 20\,000$ , $k = 1{,}04$ og $n = 10$ .

$\begin{aligned} S_{10} &= 20\,000 \cdot \frac{1{,}04^{10} - 1}{1{,}04 - 1} \\ &\approx 20\,000 \cdot \frac{0{,}480244}{0{,}04} \\ &\approx 240\,122 \end{aligned}$

Svar: Rett etter det tiende innskuddet står det omtrent $240\,122$ kr på kontoen.

📝Oppgave 5

Sparing med fast beløp.

Ola setter inn 1500 kr på en konto hver måned i 3 år. Månedsrenten er 0,3 %. Hvor mye står på kontoen rett etter det siste innskuddet?

Kari setter inn 20 000 kr hvert år med 4 % rente per år, som i eksempel 5. Hvor mange innskudd må hun gjøre før kontoen rett etter et innskudd passerer 500 000 kr?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 6: Praktisk anvendelse

Du sparer 500 kr første måned, og øker med 100 kr hver måned. Hvor mye har du spart etter 12 måneder?

Dette er en aritmetisk følge: $a_1 = 500$ , $d = 100$ , $n = 12$ .

$a_{12} = 500 + 11 \cdot 100 = 1600$

$\displaystyle S_{12} = \frac{12(500 + 1600)}{2} = \frac{12 \cdot 2100}{2} = 12\,600$ kr

Svar: Du har spart $12\,600$ kr etter 12 måneder.

📝Oppgave 6

En kinosal har 15 seter i første rad og 3 flere i hver rad. Det er 10 rader. Hvor mange seter er det totalt?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Sigmanotasjon: $\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ er en kompakt skrivemåte for summer.
- Aritmetisk rekke: $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ .
- Geometrisk rekke: $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$ for $k \neq 1$ .
- Praktiske anvendelser: Sparing, nedbetaling og vekstprosesser kan ofte modelleres som rekker.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Rekke	Summen av leddene i en følge
Sigmanotasjon	$\sum_{i=1}^{n} a_i$
Aritmetisk rekke	Sum av aritmetisk følge
Geometrisk rekke	Sum av geometrisk følge

Viktige formler

- Aritmetisk:

\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

- Geometrisk:

\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}

k \neq 1

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.