1.3 Geometriske følger | Matematikk R2

Hva er en geometrisk folge?

I forrige kapittel sa vi på aritmetiske følger, der vi adderer en fast differanse $d$ for a ga fra ett ledd til det neste. Na skal vi se på geometriske følger.

I en geometrisk folge gar vi fra ett ledd til det neste ved a multiplisere med et fast tall $k$ , som kalles kvotienten.

Eksempler fra hverdagen:
- Rentes rente (banksparing og lan)
- Befolkningsvekst
- Radioaktiv nedbrytning

Geometrisk folge

k

✏️Eksempel 1: Er folgen geometrisk?

Avgjer om $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$ er en geometrisk folge.

Vi sjekker forholdene:
$\displaystyle \frac{6}{3} = 2$
$\displaystyle \frac{12}{6} = 2$
$\displaystyle \frac{24}{12} = 2$

Forholdet er konstant, sa folgen er geometrisk med $k = 2$ .

📝Oppgave 1

Avgjer om $81, 27, 9, 3, \ldots$ er en geometrisk folge. Finn i sa fall $k$ .

📜Eksplisitt formel

For en geometrisk folge med forste ledd

a_1

og kvotient

k

$a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$

✏️Eksempel 2: Finne et bestemt ledd

En geometrisk folge har $a_1 = 5$ og $k = 2$ . Finn $a_8$ .

a_8 = 5 \cdot 2^{8-1} = 5 \cdot 2^7 = 5 \cdot 128 = 640

📝Oppgave 2

En geometrisk folge har $a_1 = 4$ og $k = 3$ . Finn $a_6$ .

✏️Eksempel 3: Finne kvotienten

I en geometrisk folge er $a_2 = 12$ og $a_5 = 324$ . Finn $k$ .

Fra $a_2$ til $a_5$ er det $5 - 2 = 3$ steg.

$a_5 = a_2 \cdot k^3$
$324 = 12 \cdot k^3$
$k^3 = 27$
$k = 3$

📝Oppgave 3

I en geometrisk folge er $a_3 = 20$ og $a_6 = 540$ . Finn $k$ og $a_1$ .

Vekstfaktor og prosentvis endring

Kvotienten $k$ kalles ofte vekstfaktoren:

$k = 1 + \frac{p}{100}$

der $p$ er prosentvis endring.

Eksempler:
- 5% okning: $k = 1{,}05$
- 3% nedgang: $k = 0{,}97$

✏️Eksempel 4: Rentes rente

Du setter 10 000 kr i banken med 4% arlig rente. Hvor mye har du etter 5 ar?

Vekstfaktoren er $k = 1{,}04$ .

$a_5 = 10\,000 \cdot 1{,}04^5 = 10\,000 \cdot 1{,}2167 \approx 12\,167$ kr

📝Oppgave 4

En bil mister 15% av verdien hvert ar. Den kostet 300 000 kr ny. Hva er den verdt etter 3 ar?

✏️Eksempel 5: Halveringstid

Et radioaktivt stoff har halveringstid på 10 ar. Du starter med 200 gram. Hvor mye er igjen etter 30 år?

Halveringstid betyr $k = 0{,}5$ per periode.

30 år = 3 halveringsperioder.

$a_3 = 200 \cdot 0{,}5^3 = 200 \cdot 0{,}125 = 25$ gram

📝Oppgave 5

Bakterier dobler seg hver time. Du starter med 100 bakterier. Nar er det over 10 000?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Geometrisk følge: En følge der forholdet (kvotienten) $\displaystyle k = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ er konstant.
- Eksplisitt formel: $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ .
- Finne kvotienten: Fra to kjente ledd: $a_m = a_n \cdot k^{m-n}$ gir en likning for $k$ .
- Anvendelser: Rentes rente (vekstfaktor $\displaystyle k = 1 + \frac{p}{100}$ ), halveringstid ( $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ ) og verditap ( $\displaystyle k = 1 - \frac{p}{100}$ ).

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Geometrisk følge	Konstant forhold mellom påfølgende ledd
Kvotient $k$	$\displaystyle k = \frac{a_{n+1}}{a_n}$
Vekstfaktor	$\displaystyle 1 \pm \frac{p}{100}$ ved prosentvis endring
Halveringstid	Tiden det tar før verdien er halvert

Viktige formler

a_n = a_1 \cdot k^{n-1}

- Rentes rente: verdi etter

n

år

\displaystyle = \text{startverdi} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver