1.2 Aritmetiske følger | Matematikk R2

Hva er en aritmetisk følge?

Tenk deg at du sparer 500 kr hver måned. Sparesaldoen utvikler seg slik:
$500, 1000, 1500, 2000, 2500, \ldots$

Differansen mellom hvert ledd er konstant (500 kr). Dette er en aritmetisk følge.

Aritmetisk følge

d

✏️Eksempel 1: Er følgen aritmetisk?

Avgjør om $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ er en aritmetisk følge.

Vi sjekker differansene:
$5 - 2 = 3$
$8 - 5 = 3$
$11 - 8 = 3$

Differansen er konstant, så følgen er aritmetisk med $d = 3$ .

Svar: Følgen er aritmetisk med $d = 3$ .

📝Oppgave 1

Avgjør om $100, 90, 80, 70, \ldots$ er en aritmetisk følge. Finn i så fall $d$ .

📜Eksplisitt formel

For en aritmetisk følge med første ledd

a_1

og differanse

d

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$

✏️Eksempel 2: Finne et bestemt ledd

En aritmetisk følge har $a_1 = 7$ og $d = 4$ . Finn $a_{50}$ .

a_{50} = 7 + (50-1) \cdot 4 = 7 + 196 = 203

Svar: $a_{50} = 203$

📝Oppgave 2

En aritmetisk følge har $a_1 = 5$ og $d = 3$ . Finn $a_{100}$ .

✏️Eksempel 3: Finne differansen

I en aritmetisk følge er $a_3 = 11$ og $a_7 = 27$ . Finn $d$ .

Fra $a_3$ til $a_7$ er det $7 - 3 = 4$ steg.

$a_7 = a_3 + 4d$
$27 = 11 + 4d$
$d = 4$

Svar: $d = 4$

📝Oppgave 3

I en aritmetisk følge er $a_5 = 20$ og $a_{10} = 35$ . Finn $d$ og $a_1$ .

📜Sum av aritmetisk følge

Summen av de

n

første leddene i en aritmetisk følge:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

✏️Eksempel 4: Summen av en aritmetisk følge

Finn summen $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$ .

Dette er en aritmetisk følge med $a_1 = 1$ , $a_{100} = 100$ , $n = 100$ .

$\displaystyle S_{100} = \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$

Svar: Summen er $5050$ .

📝Oppgave 4

Finn summen $2 + 4 + 6 + \ldots + 200$ .

✏️Eksempel 5: Praktisk anvendelse

Du sparer 1000 kr første måned, og øker med 200 kr hver måned. Hvor mye har du spart etter 12 måneder?

a_1 = 1000

d = 200

n = 12

$\displaystyle S_{12} = \frac{12}{2}(2 \cdot 1000 + 11 \cdot 200) = 6(2000 + 2200) = 25\,200$ kr

Svar: Du har spart $25\,200$ kr etter 12 måneder.

📝Oppgave 5

Et kinosal har 20 seter i første rad, og hver rad har 2 seter mer enn raden foran. Hvor mange seter er det totalt i 15 rader?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Aritmetisk følge: En følge der differansen $d = a_{n+1} - a_n$ er konstant.
- Eksplisitt formel: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ .
- Sum av aritmetisk følge: $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ — gjennomsnittet av første og siste ledd ganget med antall ledd.
- Finne $d$ og $a_1$ : To kjente ledd gir to likninger som bestemmer følgen entydig.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Aritmetisk følge	Konstant differanse mellom påfølgende ledd
Differanse $d$	$d = a_{n+1} - a_n$
Eksplisitt formel	$a_n = a_1 + (n-1)d$
Sum $S_n$	Summen av de $n$ første leddene

Viktige formler

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver