1.1 Følger og tallmønstre | Matematikk R2

Hva er en folge?

Har du noen gang lagt merke til monstre i tall?

- $2, 4, 6, 8, 10, \ldots$ (partall)
- $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ (kvadrattall)
- $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ (Fibonacci-tall)

Slike ordnede lister av tall kalles følger. Folger dukker opp overalt - fra renter og befolkningsvekst til spiralmonstre i naturen.

Folge

a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots

✏️Eksempel 1: Lese av ledd

La folgen være $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ . Finn $a_1$ , $a_3$ og $a_5$ .

a_1 = 1

a_3 = 9

a_5 = 25

Dette er kvadrattallene: $a_n = n^2$ .

📝Oppgave 1

La $a_n = 2n + 3$ . Finn $a_1$ , $a_5$ og $a_{10}$ .

Eksplisitt formel

a_n = f(n)

✏️Eksempel 2: Bruke eksplisitt formel

Gitt $a_n = 3n - 1$ . a) Finn de fem forste leddene. b) Finn $a_{100}$ .

a) $a_1 = 2$ , $a_2 = 5$ , $a_3 = 8$ , $a_4 = 11$ , $a_5 = 14$

b) $a_{100} = 3 \cdot 100 - 1 = 299$

📝Oppgave 2

Skriv de fem forste leddene for $a_n = n^2$ og $a_n = 2^n$ .

Rekursiv formel

a_1 = 2

✏️Eksempel 3: Fra rekursiv til eksplisitt

Gitt $a_1 = 5$ og $a_{n+1} = a_n + 4$ . Finn eksplisitt formel.

Folgen er $5, 9, 13, 17, 21, \ldots$

$a_n = 5 + 4(n-1) = 4n + 1$

📝Oppgave 3

Gitt $a_1 = 2$ og $a_{n+1} = a_n + 5$ . Finn eksplisitt formel og $a_{20}$ .

📜Viktige tallmonstre

Partall:

a_n = 2n

Oddetall: $a_n = 2n - 1$

Kvadrattall: $a_n = n^2$

Trekanttall: $\displaystyle a_n = \frac{n(n+1)}{2}$

✏️Eksempel 4: Finne formel fra monster

Finn eksplisitt formel for $5, 8, 11, 14, \ldots$

Differansen mellom leddene er konstant: $8-5 = 3$ , $11-8 = 3$ , osv.

Forste ledd er 5. Formelen blir:
$a_n = 5 + 3(n-1) = 3n + 2$

📝Oppgave 4

Finn eksplisitt formel for $7, 11, 15, 19, \ldots$

Fibonacci-folgen

F_1 = 1

✏️Eksempel 5: Fibonacci-tall

Finn $F_8$ i Fibonacci-folgen.

F_1 = 1, F_2 = 1

F_3 = 1+1 = 2

F_4 = 1+2 = 3

F_5 = 2+3 = 5

F_6 = 3+5 = 8

F_7 = 5+8 = 13

F_8 = 8+13 = 21

📝Oppgave 5

Finn $F_{10}$ i Fibonacci-folgen.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Følge: En ordnet liste av tall $a_1, a_2, a_3, \ldots$ der hvert tall kalles et ledd.
- Eksplisitt formel: Gir leddet $a_n$ direkte som funksjon av $n$ , f.eks. $a_n = 3n + 1$ .
- Rekursiv formel: Gir neste ledd ut fra forrige, f.eks. $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = a_n + 5$ .
- Viktige tallmønstre: Kvadrattall ( $n^2$ ), trekanttall ( $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$ ), toerpotenser ( $2^n$ ).
- Fibonacci-følgen: $F_1 = F_2 = 1$ og $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , altså $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Følge	Ordnet liste av tall $a_1, a_2, a_3, \ldots$
Eksplisitt formel	$a_n$ uttrykt direkte ved $n$
Rekursiv formel	$a_{n+1}$ uttrykt ved tidligere ledd
Trekanttall	$\displaystyle T_n = \frac{n(n+1)}{2}$
Fibonacci-følgen	Hvert ledd er summen av de to foregående

Viktige formler

- Trekanttall:

\displaystyle T_n = \frac{n(n+1)}{2}

- Kvadrattall:

K_n = n^2

- Fibonacci:

F_{n+2} = F_{n+1} + F_n

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver