1.7 Rekursive sammenhenger og programmering | Matematikk R2

Utforske følger med programmering.

55 min

9 oppgaver

RekursjonProgrammeringPythonSimulering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Følger og tallmønstre

Programmering og rekursjon

Programmering er et kraftig verktøy for å utforske matematiske sammenhenger. Vi kan bruke Python til å generere følger, beregne summer og simulere rekursive prosesser.

Rekursjon

a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots)

✏️Eksempel 1: Aritmetisk følge i Python

Skriv et program som genererer de 10 første leddene i følgen $a_n = 3 + 5(n-1)$ .

# Rekursiv metode
a = 3  # Startverdi
for n in range(1, 11):
    print(f"a_{n} = {a}")
    a = a + 5  # a_n = a_{n-1} + 5

Utskrift:
a1 = 3, a2 = 8, a3 = 13, ..., a10 = 48

Svar: De ti første leddene er $3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43$ og $48$ .

📝Oppgave 1

Skriv et Python-program som genererer de 15 første leddene i følgen med $a_1 = 10$ og $d = -3$ .

✏️Eksempel 2: Fibonacci i Python

Skriv et program som beregner de 20 første Fibonacci-tallene.

fib = [1, 1]
for i in range(2, 20):
    fib.append(
        fib[i - 1] + fib[i - 2]
    )

for i, f in enumerate(fib, 1):
    print(f"F_{i} = {f}")

Utskrift: F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, ..., F20 = 6765

Svar: Det tjuende Fibonacci-tallet er $F_{20} = 6765$ .

📝Oppgave 2

Beregn forholdet $\displaystyle \frac{F_n}{F_{n-1}}$ for store $n$ . Hva skjer?

Rekursive funksjoner

En rekursiv funksjon er en funksjon som kaller seg selv. Den må ha et grunntilfelle som stopper rekursjonen.

✏️Eksempel 3: Fakultet rekursivt

Implementer fakultet $n! = n \cdot (n-1)!$ som en rekursiv funksjon.

def fakultet(n):
    if n <= 1:
        return 1
    return n * fakultet(n - 1)

for i in range(10):
    print(f"{i}! = {fakultet(i)}")

Svar: Funksjonen fakultet kaller seg selv med $n - 1$ til grunntilfellet $n \le 1$ og skriver ut $0! = 1$ , $1! = 1$ , $2! = 2$ , …, $9! = 362\,880$ .

📝Oppgave 3

Skriv en rekursiv funksjon for det n-te Fibonacci-tallet.

✏️Eksempel 4: Simulere sprettball

Simuler en ball fra 10 m som spretter til 80 % av forrige høyde.

h = 10
total = h
while h > 0.001:
    h = h * 0.8
    total += 2 * h

print(
    "Total strekning:"
    f" {total:.2f} m"
)

Utskrift: Total strekning: 89.99 m

Den teoretiske totalstrekningen er $\displaystyle 10 + 2 \cdot \frac{8}{1 - 0{,}8} = 90$ m. Løkka stopper når spretthøyden er under $0{,}001$ m, så summen blir litt mindre enn $90$ m.

Svar: Simuleringen gir $89{,}99$ m, litt mindre enn den teoretiske totalstrekningen på $90$ m.

📝Oppgave 4

Modifiser programmet til å finne når ballen spretter under 1 cm.

✏️Eksempel 5: Delsummer av en geometrisk rekke

Skriv et program som regner ut delsummene $S_1, S_2, \ldots, S_{20}$ av rekken $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ , og sammenlign med summen $\displaystyle \frac{a_1}{1-k}$ .

a = 1      # første ledd
k = 0.5    # kvotient
S = 0
for n in range(1, 21):
    S = S + a
    a = a * k
    print(n, S)

Utskrift (utdrag):

$n$	$S_n$
1	1
2	1,5
3	1,75
10	1,998047
20	1,999998

Summen av den uendelige rekken er

\displaystyle \frac{a_1}{1-k} = \frac{1}{1-0{,}5} = 2

.
Svar: Delsummene nærmer seg

2

, som stemmer med summeformelen.

📝Oppgave 5

Bruk programmet fra eksempel 5.

Endre programmet slik at det stopper første gang $S_n$ ligger nærmere $2$ enn $0{,}001$ , og skriver ut $n$ .

Rekken $3 + 3 \cdot 0{,}75 + 3 \cdot 0{,}75^2 + \cdots$ konvergerer. Finn summen, og bruk et program til å finne hvor mange ledd som trengs før delsummen ligger nærmere summen enn $0{,}01$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

Rekursjon i programmering:
- Rekursive definisjoner kan implementeres som rekursive funksjoner
- Alternativt bruker vi løkker (iterasjon)
- Rekursive funksjoner må alltid ha et grunntilfelle

Typiske anvendelser:

Problem	Rekursiv formel
Aritmetisk følge	$a_n = a_{n-1} + d$
Geometrisk følge	$a_n = k \cdot a_{n-1}$
Fibonacci	$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Fakultet	$n! = n \cdot (n-1)!$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.