1.7 Rekursive sammenhenger og programmering | Matematikk R2

Programmering og rekursjon

Programmering er et kraftig verktøy for å utforske matematiske sammenhenger. Vi kan bruke Python til å generere følger, beregne summer og simulere rekursive prosesser.

Rekursjon

a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots)

✏️Eksempel 1: Aritmetisk folge i Python

Skriv et program som genererer de 10 forste leddene i folgen $a_n = 3 + 5(n-1)$ .

# Rekursiv metode
a = 3  # Startverdi
for n in range(1, 11):
    print(f"a_{n} = {a}")
    a = a + 5  # a_n = a_{n-1} + 5

Utskrift:
a1 = 3, a2 = 8, a3 = 13, ..., a10 = 48

📝Oppgave 1

Skriv et Python-program som genererer de 15 forste leddene i folgen med $a_1 = 10$ og $d = -3$ .

✏️Eksempel 2: Fibonacci i Python

Skriv et program som beregner de 20 forste Fibonacci-tallene.

fib = [1, 1]
for i in range(2, 20):
    fib.append(fib[i-1] + fib[i-2])

for i, f in enumerate(fib, 1):
    print(f"F_{i} = {f}")

Utskrift: F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, ..., F20 = 6765

📝Oppgave 2

Beregn forholdet $\displaystyle \frac{F_n}{F_{n-1}}$ for store $n$ . Hva skjer?

Rekursive funksjoner

En rekursiv funksjon er en funksjon som kaller seg selv. Den ma ha et basiskasus som stopper rekursjonen.

✏️Eksempel 3: Fakultet rekursivt

Implementer fakultet $n! = n \cdot (n-1)!$ som en rekursiv funksjon.

def fakultet(n):
    if n <= 1:
        return 1
    return n * fakultet(n - 1)

for i in range(10):
    print(f"{i}! = {fakultet(i)}")

📝Oppgave 3

Skriv en rekursiv funksjon for det n-te Fibonacci-tallet.

✏️Eksempel 4: Simulere sprettball

Simuler en ball fra 10 m som spretter til 80% av forrige høyde.

h = 10
total = h
while h > 0.001:
    h = h * 0.8
    total += 2 * h

print(f"Total strekning: {total:.2f} m")

Utskrift: Total strekning: 90.00 m (narmer seg teoretisk 90)

📝Oppgave 4

Modifiser programmet til å finne nar ballen spretter under 1 cm.

Oppsummering

Rekursjon i programmering:
- Rekursive definisjoner kan implementeres som rekursive funksjoner
- Alternativt bruker vi lokker (iterasjon)
- Rekursive funksjoner ma alltid ha et basiskasus

Typiske anvendelser:

Problem	Rekursiv formel
Aritmetisk folge	$a_n = a_{n-1} + d$
Geometrisk folge	$a_n = k \cdot a_{n-1}$
Fibonacci	$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Fakultet	$n! = n \cdot (n-1)!$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver