2.1
Repetisjon av derivasjon

2.1 Repetisjon av derivasjon

Alle fag for VG3

Gjennomgang av derivasjonsregler fra R1.

40 min
10 oppgaver
DerivasjonDerivasjonsreglerKjerneregelProduktregel
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Derivasjon - en oversikt

I R1 lærte du å derivere funksjoner. Derivasjon handler om å finne den momentane endringsraten til en funksjon, altså hvor raskt funksjonen endrer seg i et bestemt punkt.

I dette kapittelet repeterer vi de viktigste derivasjonsreglene før vi går videre til nye temaer i R2.

Grunnleggende derivasjonsregler

Vi starter med de enkleste reglene som danner grunnlaget for all derivasjon.

Konstantregelen
Hvis f(x)=cf(x) = c der cc er en konstant, så er

f′(x)=0f'(x) = 0

En konstant funksjon har ingen endring, derfor er den deriverte lik null.

Potensregelen
Hvis f(x)=xnf(x) = x^n der nn er et reelt tall, så er

f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Eksponenten flyttes ned som en faktor, og den nye eksponenten blir én mindre.

Sumregelen
Hvis f(x)=g(x)+h(x)f(x) = g(x) + h(x), så er

f′(x)=g′(x)+h′(x)f'(x) = g'(x) + h'(x)

Den deriverte av en sum er summen av de deriverte. Tilsvarende gjelder for differanser.

Konstantfaktorregel
Hvis f(x)=c⋅g(x)f(x) = c \cdot g(x) der cc er en konstant, så er

f′(x)=c⋅g′(x)f'(x) = c \cdot g'(x)

En konstant faktor kan "tas utenfor" derivasjonen.

✏️Eksempel 1: Grunnleggende derivasjon

Deriver følgende funksjoner:

a) f(x)=5f(x) = 5
b) g(x)=x4g(x) = x^4
c) h(x)=3x5−2x3+7x−4h(x) = 3x^5 - 2x^3 + 7x - 4

Løsning:

a) f(x)=5f(x) = 5 er en konstant, så:
f′(x)=0f'(x) = 0

b) g(x)=x4g(x) = x^4

Vi bruker potensregelen:
g′(x)=4x4−1=4x3g'(x) = 4x^{4-1} = 4x^3

c) h(x)=3x5−2x3+7x−4h(x) = 3x^5 - 2x^3 + 7x - 4

Vi bruker sum- og konstantfaktorregelen på hvert ledd:
h′(x)=3⋅5x4−2⋅3x2+7⋅1−0=15x4−6x2+7\begin{aligned} h'(x) &= 3 \cdot 5x^4 - 2 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 - 0 \\ &= 15x^4 - 6x^2 + 7 \end{aligned}

Svar: a) f′(x)=0f'(x) = 0 b) g′(x)=4x3g'(x) = 4x^3 c) h′(x)=15x4−6x2+7h'(x) = 15x^4 - 6x^2 + 7

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: f, f' og tangenten

f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x (blå), den deriverte f′(x)f'(x) (rød, stiplet) og tangenten i x=1x = 1. Legg merke til at tangenten er horisontal akkurat der f′f' har nullpunkt. Flytt tangeringspunktet ved å endre tallet i Tangent-kommandoen.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^3 - 3x
g(x) = f'(x)
T = Tangent(1, f)
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Red")
SetLineStyle(g, 2)
SetColor(T, "Green")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra(åpnes i ny fane)
📝Oppgave 1

Deriver funksjonene.

a
f(x)=x7f(x) = x^7
b
g(x)=4x3−2x2+xg(x) = 4x^3 - 2x^2 + x
c
h(x)=12x6−3x4+5\displaystyle h(x) = \frac{1}{2}x^6 - 3x^4 + 5
d
p(x)=x−2+x−1p(x) = x^{-2} + x^{-1}
Løs oppgaven

Produktregel og brøkregel

Når vi skal derivere produkter eller brøker av funksjoner, trenger vi egne regler.

Produktregelen
Hvis f(x)=g(x)⋅h(x)f(x) = g(x) \cdot h(x), så er

f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)

Huskeregel: "Den deriverte av den første ganger den andre, pluss den første ganger den deriverte av den andre."

Brøkregelen
Hvis f(x)=g(x)h(x)\displaystyle f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} der h(x)≠0h(x) \neq 0, så er

f′(x)=g′(x)⋅h(x)−g(x)⋅h′(x)[h(x)]2f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

Huskeregel: "Deriverte av teller ganger nevner, minus teller ganger deriverte av nevner, alt delt på nevner i andre."

✏️Eksempel 2: Produktregelen

Deriver f(x)=(x2+1)(x3−2x)f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2x) ved hjelp av produktregelen.

Løsning:

La g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1 og h(x)=x3−2xh(x) = x^3 - 2x.

Da er g′(x)=2xg'(x) = 2x og h′(x)=3x2−2h'(x) = 3x^2 - 2.

Vi bruker produktregelen:
f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)

f′(x)=2x⋅(x3−2x)+(x2+1)⋅(3x2−2)f'(x) = 2x \cdot (x^3 - 2x) + (x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 2)

f′(x)=2x4−4x2+3x4−2x2+3x2−2f'(x) = 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2

f′(x)=5x4−3x2−2f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2

Kontroll: Vi kan også gange ut først: f(x)=x5−2x3+x3−2x=x5−x3−2xf(x) = x^5 - 2x^3 + x^3 - 2x = x^5 - x^3 - 2x, og derivere: f′(x)=5x4−3x2−2f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2 ✓

Svar: f′(x)=5x4−3x2−2f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2

📝Oppgave 2

Bruk produktregelen til å derivere funksjonene.

a
f(x)=x2⋅(x+1)f(x) = x^2 \cdot (x + 1)
b
g(x)=(2x−1)(x2+3)g(x) = (2x - 1)(x^2 + 3)
c
h(x)=(x3+2)(x2−1)h(x) = (x^3 + 2)(x^2 - 1)
Løs oppgaven
✏️Eksempel 3: Brøkregelen

Deriver f(x)=x2+1x−1\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} ved hjelp av brøkregelen.

Løsning:

La g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1 (teller) og h(x)=x−1h(x) = x - 1 (nevner).

Da er g′(x)=2xg'(x) = 2x og h′(x)=1h'(x) = 1.

Vi bruker brøkregelen:
f′(x)=g′(x)⋅h(x)−g(x)⋅h′(x)[h(x)]2f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

f′(x)=2x⋅(x−1)−(x2+1)⋅1(x−1)2f'(x) = \frac{2x \cdot (x - 1) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2}

f′(x)=2x2−2x−x2−1(x−1)2f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2}

f′(x)=x2−2x−1(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}

Svar: f′(x)=x2−2x−1(x−1)2\displaystyle f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}

📝Oppgave 3

Bruk brøkregelen til å derivere funksjonene.

a
f(x)=xx+2\displaystyle f(x) = \frac{x}{x + 2}
b
g(x)=x2x−1\displaystyle g(x) = \frac{x^2}{x - 1}
c
h(x)=x2−4x+3\displaystyle h(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 3}
Løs oppgaven

Kjerneregelen

Kjerneregelen brukes når vi skal derivere sammensatte funksjoner, altså funksjoner der en funksjon er satt inn i en annen.

Kjerneregelen
Hvis f(x)=g(u)f(x) = g(u) der u=h(x)u = h(x) (en "kjerne"), så er

f′(x)=g′(u)⋅h′(x)f'(x) = g'(u) \cdot h'(x)

eller skrevet på en annen måte:

dfdx=dgdu⋅dudx\frac{df}{dx} = \frac{dg}{du} \cdot \frac{du}{dx}

Huskeregel: "Deriver ytre funksjon med hensyn på kjernen, gang med den deriverte av kjernen."

✏️Eksempel 4: Kjerneregelen

Deriver følgende funksjoner ved hjelp av kjerneregelen:

a) f(x)=(3x+2)5f(x) = (3x + 2)^5
b) g(x)=x2+1g(x) = \sqrt{x^2 + 1}

Løsning:

a) f(x)=(3x+2)5f(x) = (3x + 2)^5

La kjernen være u=3x+2u = 3x + 2, så f=u5f = u^5.

Ytre derivert: dfdu=5u4\displaystyle \frac{df}{du} = 5u^4

Indre derivert (kjernens deriverte): dudx=3\displaystyle \frac{du}{dx} = 3

Kjerneregelen gir:
f′(x)=5u4⋅3=5(3x+2)4⋅3=15(3x+2)4f'(x) = 5u^4 \cdot 3 = 5(3x + 2)^4 \cdot 3 = 15(3x + 2)^4

b) g(x)=x2+1=(x2+1)1/2g(x) = \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{1/2}

La kjernen være u=x2+1u = x^2 + 1, så g=u1/2g = u^{1/2}.

Ytre derivert: dgdu=12u−1/2=12u\displaystyle \frac{dg}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}

Indre derivert: dudx=2x\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x

Kjerneregelen gir:
g′(x)=12x2+1⋅2x=xx2+1g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}

Svar: a) f′(x)=15(3x+2)4f'(x) = 15(3x + 2)^4 b) g′(x)=xx2+1\displaystyle g'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}

📝Oppgave 4

Bruk kjerneregelen til å derivere funksjonene.

a
f(x)=(2x−5)4f(x) = (2x - 5)^4
b
g(x)=(x3+2x)3g(x) = (x^3 + 2x)^3
c
h(x)=4x+1h(x) = \sqrt{4x + 1}
d
p(x)=1(x2+1)2\displaystyle p(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}
Løs oppgaven

Derivasjon av spesielle funksjoner

Noen funksjoner har spesielle derivasjonsregler som vi må kunne utenat.

📜Derivasjon av eksponentialfunksjoner
ddx(ex)=ex\frac{d}{dx}(e^x) = e^x

ddx(ax)=ax⋅ln⁡a(for a>0,a≠1)\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \cdot \ln a \quad \text{(for } a > 0, a \neq 1\text{)}

Med kjerneregelen: ddx(eu)=eu⋅u′\displaystyle \frac{d}{dx}(e^{u}) = e^{u} \cdot u'

📜Derivasjon av logaritmefunksjoner
ddx(ln⁡x)=1x\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}

ddx(log⁡ax)=1xln⁡a\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}

Med kjerneregelen: ddx(ln⁡u)=1u⋅u′=u′u\displaystyle \frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{u'}{u}

📜Fordypning: derivasjon av trigonometriske funksjoner
Fordypning her: trigonometriske funksjoner og radianer hører til R2 og innføres i kapittel 4, der reglene også vises (kapittel 4.9). De står her som en forhåndsvisning, slik at oppgavene som bruker dem kan løses nå.

ddx(sin⁡x)=cos⁡x\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x

ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x

ddx(tan⁡x)=1cos⁡2x=1+tan⁡2x\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x

Med kjerneregelen:
- (sin⁡u)′=cos⁡u⋅u′(\sin u)' = \cos u \cdot u'
- (cos⁡u)′=−sin⁡u⋅u′(\cos u)' = -\sin u \cdot u'

✏️Eksempel 5: Derivasjon av spesielle funksjoner

Deriver følgende funksjoner:

a) f(x)=e3xf(x) = e^{3x}
b) g(x)=ln⁡(x2+1)g(x) = \ln(x^2 + 1)
c) h(x)=sin⁡(2x)h(x) = \sin(2x) (Fordypning: trigonometri fra kapittel 4.)
d) p(x)=x2⋅exp(x) = x^2 \cdot e^x

Løsning:

a) f(x)=e3xf(x) = e^{3x}

La u=3xu = 3x, så u′=3u' = 3.
f′(x)=e3x⋅3=3e3xf'(x) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}

b) g(x)=ln⁡(x2+1)g(x) = \ln(x^2 + 1)

La u=x2+1u = x^2 + 1, så u′=2xu' = 2x.
g′(x)=1x2+1⋅2x=2xx2+1g'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}

c) h(x)=sin⁡(2x)h(x) = \sin(2x)

La u=2xu = 2x, så u′=2u' = 2.
h′(x)=cos⁡(2x)⋅2=2cos⁡(2x)h'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)

d) p(x)=x2⋅exp(x) = x^2 \cdot e^x

Her må vi bruke produktregelen med g(x)=x2g(x) = x^2 og h(x)=exh(x) = e^x.
p′(x)=2x⋅ex+x2⋅ex=ex(2x+x2)=ex⋅x(x+2)\begin{aligned} p'(x) &= 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x \\ &= e^x(2x + x^2) \\ &= e^x \cdot x(x + 2) \end{aligned}

Svar: a) f′(x)=3e3xf'(x) = 3e^{3x} b) g′(x)=2xx2+1\displaystyle g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} c) h′(x)=2cos⁡(2x)h'(x) = 2\cos(2x) d) p′(x)=ex⋅x(x+2)p'(x) = e^x \cdot x(x + 2)

📝Oppgave 5

Deriver funksjonene. Bruk kjerneregelen der det er nødvendig.

a
f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}
b
g(x)=ln⁡(sin⁡x)g(x) = \ln(\sin x) (Fordypning: trigonometri fra kapittel 4.)
c
h(x)=cos⁡(x3)h(x) = \cos(x^3) (Fordypning: trigonometri fra kapittel 4.)
d
p(x)=ex⋅sin⁡xp(x) = e^x \cdot \sin x (Fordypning: trigonometri fra kapittel 4.)
e
q(x)=ln⁡xx\displaystyle q(x) = \frac{\ln x}{x}
Løs oppgaven
Komplett formelsamling for derivasjon

Oppsummering av derivasjonsregler

Grunnleggende regler:
- Konstantregelen: (c)′=0(c)' = 0
- Potensregelen: (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}
- Sumregelen: (f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'
- Konstantfaktorregel: (c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f'

Produktregelen og brøkregelen:
- Produktregelen: (f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'
- Brøkregelen: (fg)′=f′⋅g−f⋅g′g2\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}

Kjerneregelen:
- (g(u))′=g′(u)⋅u′(g(u))' = g'(u) \cdot u' der u=h(x)u = h(x)

Spesielle funksjoner:
- (ex)′=ex(e^x)' = e^x
- (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}
- (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x (fordypning, kap. 4)
- (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x (fordypning, kap. 4)

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.