2.1 Repetisjon av derivasjon

Verktøykassa fra R1 — på tide med en inspeksjon

Tenk deg en snekker som skal bygge sitt mest ambisiøse hus til nå. Før første spikerslag går hun gjennom verktøykassa: er sagen skarp, fungerer vateret? I R2 skal vi bygge integralregningen — og siden integrasjon er derivasjon baklengs, må derivasjonsverktøyene fra R1 sitte som støpt.

Derivasjon handler om momentan endring: $f'(x)$ forteller hvor raskt $f$ endrer seg akkurat i punktet $x$ — farten på speedometeret, ikke gjennomsnittsfarten for hele turen. I dette kapittelet pusser vi støvet av hele settet: grunnreglene for potenser og summer, produkt- og brøkregelen for sammensatte uttrykk, kjerneregelen — derivasjonens universalnøkkel — og de spesielle deriverte til $e^x$ og $\ln x$ — pluss en forhåndsvisning av $\sin x$ og $\cos x$ fra kapittel 4. Alt sammen blir bærebjelker når vi snur prosessen i neste kapittel.

Grunnreglene: potenser, summer og konstanter

De fire grunnreglene gjør at vi kan derivere ethvert polynom nesten uten å tenke. Konstantregelen sier at $f(x) = c$ gir $f'(x) = 0$ — en konstant endrer seg ikke, så endringsraten er null. Potensregelen er arbeidshesten: $f(x) = x^n$ gir

$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$

Eksponenten hopper ned som faktor, og den nye eksponenten blir én mindre. Dermed er $(x^4)' = 4x^3$.

De to siste reglene lar oss kombinere: sumregelen $(g + h)' = g' + h'$ sier at vi kan derivere ledd for ledd, og konstantfaktorregelen $(c \cdot g)' = c \cdot g'$ at tallfaktorer bare blir med på lasset.

Sammen tygger de seg gjennom hva som helst av polynomer. Ta $h(x) = 3x^5 - 2x^3 + 7x - 4$. Ledd for ledd: $3 \cdot 5x^4 = 15x^4$, så $-2 \cdot 3x^2 = -6x^2$, så $7$, og konstanten $-4$ gir null:

$$h'(x) = 15x^4 - 6x^2 + 7$$

Geometrisk er $f'(x)$ stigningstallet til tangenten. Der grafen har en horisontal tangent — på toppen av en bakke eller i bunnen av en dal — er $f'(x) = 0$. Den koblingen mellom graf og derivert får vi rikelig bruk for i drøftingskapitlene senere.

Produkter, brøker og kjernen i det hele

Når funksjoner ganges eller deles, trengs kraftigere verktøy. Produktregelen sier at for $f = g \cdot h$ er

$$f' = g' \cdot h + g \cdot h'$$

— «den deriverte av den første ganger den andre, pluss den første ganger den deriverte av den andre». For $f(x) = (x^2+1)(x^3-2x)$ gir den $f'(x) = 2x(x^3-2x) + (x^2+1)(3x^2-2) = 5x^4 - 3x^2 - 2$. (Gang gjerne ut først og deriver — samme svar.)

Brøkregelen håndterer brøker: for $\displaystyle f = \frac{g}{h}$ er

$$f' = \frac{g' \cdot h - g \cdot h'}{h^2}$$

Merk minustegnet i telleren og kvadratet i nevneren. For $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$ får vi $\displaystyle f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$.

Og så universalnøkkelen: kjerneregelen. Er $f(x) = g(u)$ med kjerne $u = h(x)$, er

$$f'(x) = g'(u) \cdot h'(x)$$

— deriver det ytre med hensyn på kjernen, og gang med kjernens deriverte. For $f(x) = (3x+2)^5$ er kjernen $u = 3x+2$: $f'(x) = 5u^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4$. For $g(x) = \sqrt{x^2+1} = (x^2+1)^{1/2}$ blir det $\displaystyle g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. Kjerneregelen er regelen du kommer til å savne mest om du glemmer den — hele substitusjonsteknikken i integralregningen er denne regelen kjørt i revers.

De spesielle funksjonene: $e^x$, $\ln x$ og trigonometrien

Noen deriverte må rett og slett kunnes utenat — de er gangetabellen i R2. Den mest bemerkelsesverdige er eksponentialfunksjonen:

$$(e^x)' = e^x$$

Funksjonen er sin egen deriverte — vekstfarten er alltid lik funksjonsverdien. For andre grunntall gjelder $(a^x)' = a^x \ln a$. Logaritmen følger som speilbilde: $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$, og generelt $\displaystyle (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

Som forhåndsvisning av kapittel 4 (fordypning her) tar vi med trigonometrien: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$ — merk minusen — og $\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$.

Den virkelige kraften kommer når vi kobler disse med kjerneregelen: $(e^u)' = e^u \cdot u'$, $\displaystyle (\ln u)' = \frac{u'}{u}$, $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$ og $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$. La oss ta fire på rappen. $f(x) = e^{3x}$: kjernen $3x$ gir $f'(x) = 3e^{3x}$. $g(x) = \ln(x^2+1)$: $\displaystyle g'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$. $h(x) = \sin(2x)$: $h'(x) = 2\cos(2x)$. Og $p(x) = x^2 e^x$ krever produktregelen: $p'(x) = 2xe^x + x^2e^x = e^x \cdot x(x+2)$.

Legg spesielt merke til mønsteret $\displaystyle \frac{u'}{u}$ fra logaritmen — det dukker opp igjen som et av de viktigste integralmønstrene i kapittel 2.3.

Oppsummering: verktøykassa er klar

Inspeksjonen er fullført, og alt virker. Grunnreglene — konstant $(c)' = 0$, potens $(x^n)' = nx^{n-1}$, sum $(f+g)' = f' + g'$ og konstantfaktor $(cf)' = cf'$ — gjør polynomer til rutine. Produktregelen $(fg)' = f'g + fg'$ og brøkregelen $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ håndterer sammensatte uttrykk, og kjerneregelen $(g(u))' = g'(u) \cdot u'$ er universalnøkkelen som låser opp alle funksjoner-inni-funksjoner.

På utenat-lista står $(e^x)' = e^x$ — funksjonen som er sin egen deriverte — sammen med $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$, $(\sin x)' = \cos x$ og $(\cos x)' = -\sin x$ (de to siste som forhåndsvisning av kapittel 4). Og med kjerneregelen i bunn: $(e^u)' = e^u u'$, $\displaystyle (\ln u)' = \frac{u'}{u}$, $(\sin u)' = u'\cos u$.

Hvorfor all denne repetisjonen? Fordi neste kapittel snur spørsmålet på hodet. I stedet for «hva er den deriverte av $f$?» spør vi «hvilken funksjon har $f$ som sin deriverte?». Hvert mønster du nå behersker forlengs, skal du snart gjenkjenne baklengs — og da begynner integralregningen.