1.2 Aritmetiske følger

Den late skolegutten og det geniale trikset

Det fortelles at den tyske matematikeren Carl Friedrich Gauss som niåring fikk en straffeoppgave av læreren: legg sammen alle tallene fra $1$ til $100$. Mens klassekameratene svettet over kolonner med addisjon, leverte Gauss svaret etter få sekunder: $5050$. Trikset hans? Han paret tallene fra hver sin ende — $1 + 100 = 101$, $2 + 99 = 101$, $3 + 98 = 101$ — og innså at han hadde $50$ slike par. Altså $50 \cdot 101 = 5050$.

Tallene $1, 2, 3, \ldots, 100$ er et eksempel på en aritmetisk følge: en følge der du legger til det samme tallet for hvert steg. Slike følger dukker opp overalt — i sparepenger som vokser med fast beløp hver måned, i seteradene i et amfi og i prislister med fast påslag. I dette kapittelet skal vi finne formler for både leddene og summen, og du skal få se at Gauss' barndomstriks er selve nøkkelen til sumformelen.

Hva kjennetegner en aritmetisk følge?

Tenk deg at du setter av $500$ kroner hver måned. Sparesaldoen din blir $500, 1000, 1500, 2000, 2500, \ldots$ — for hvert steg legges det samme beløpet til. Dette er kjernen i en aritmetisk følge: differansen mellom påfølgende ledd er konstant. Vi kaller den $d$ og skriver $d = a_{n+1} - a_n$.

Differansen kan godt være negativ. Følgen $20, 17, 14, 11, \ldots$ er aritmetisk med $d = -3$ — den synker like jevnt som sparekontoen vokste. Vil du sjekke om en følge er aritmetisk, regner du rett og slett ut differansene: for $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ får vi $5-2 = 3$, $8-5 = 3$ og $11-8 = 3$. Konstant differanse, altså aritmetisk med $d = 3$.

Nå til den eksplisitte formelen. For å komme fra $a_1$ til $a_n$ tar vi $n - 1$ steg, og hvert steg legger til $d$. Dermed:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$

Har en følge $a_1 = 7$ og $d = 4$, blir ledd nummer femti $a_{50} = 7 + 49 \cdot 4 = 7 + 196 = 203$. Formelen virker også baklengs: vet vi at $a_3 = 11$ og $a_7 = 27$, er det $7 - 3 = 4$ steg mellom dem, så $27 = 11 + 4d$, som gir $d = 4$.

Gauss' triks blir formel

Tilbake til klasserommet i Tyskland. Det Gauss egentlig oppdaget, var at i en aritmetisk følge er summen av første og siste ledd alltid lik summen av andre og nest siste ledd, og så videre innover. Hvert par bidrar like mye, og vi har $\displaystyle \frac{n}{2}$ par. Det gir sumformelen for de $n$ første leddene:

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

Du kan lese den som «gjennomsnittet av første og siste ledd, ganget med antall ledd». For Gauss' oppgave: $\displaystyle S_{100} = \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$. Akkurat som han fant.

Kjenner vi ikke det siste leddet, kan vi sette inn $a_n = a_1 + (n-1)d$ og få varianten

$$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)$$

La oss bruke den på en sparesituasjon. Du sparer $1000$ kroner den første måneden og øker beløpet med $200$ kroner hver måned. Hvor mye har du etter ett år? Her er $a_1 = 1000$, $d = 200$ og $n = 12$:

$$S_{12} = \frac{12}{2}(2 \cdot 1000 + 11 \cdot 200) = 6(2000 + 2200) = 25\,200 \text{ kr}$$

Et helt års sparing oppsummert i én linje — det er aritmetikkens svar på Gauss' snarvei.

Oppsummering: jevne steg og smarte par

En aritmetisk følge er matematikkens jevne trapp: differansen $d = a_{n+1} - a_n$ er den samme hele veien, enten den er positiv som i sparekontoen eller negativ som i en jevnt synkende temperatur. Den eksplisitte formelen $a_n = a_1 + (n-1)d$ tar oss direkte til et hvilket som helst trinn, og kjenner vi to ledd, kan vi alltid regne oss tilbake til både $d$ og $a_1$.

Den store gevinsten i kapittelet er sumformelen. Gauss' parings-triks — første pluss siste, andre pluss nest siste — ga oss $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, gjennomsnittet av ytterleddene ganget med antall ledd. Med varianten $\displaystyle S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$ slipper vi til og med å kjenne det siste leddet. Dermed kan et helt års sparing, hundrevis av seterader eller summen av de tusen første oddetallene regnes ut på én linje. I neste kapittel bytter vi ut addisjon med multiplikasjon og møter de geometriske følgene — der vokser ikke trappen jevnt, men stadig brattere.