1.3 Geometriske følger

Riskorn på et sjakkbrett

En gammel legende forteller om vismannen som oppfant sjakkspillet og fikk velge sin egen belønning av kongen. Ønsket virket beskjedent: ett riskorn på sjakkbrettets første rute, to på den andre, fire på den tredje — en dobling for hver av de 64 rutene. Kongen lo og sa ja. Så begynte tjenerne å regne. På rute 21 passerte de en million korn. På rute 41 en billion. Hele brettet ville krevd mer ris enn det finnes i verden.

Det vismannen utnyttet, var kraften i en geometrisk følge: i stedet for å legge til et fast tall, som i de aritmetiske følgene fra forrige kapittel, multipliserer vi med et fast tall for hvert steg. Slik vekst starter uskyldig og eksploderer. Du møter den i rentes rente på sparekontoen, i befolkningsvekst — og speilvendt, som jevn krymping, i radioaktiv nedbrytning. I dette kapittelet skal vi temme denne veksten med formler.

Kvotienten — følgens vekstmotor

En geometrisk følge er en følge der forholdet mellom påfølgende ledd er konstant. Dette forholdet kalles kvotienten og betegnes $k$:

$$k = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

Følgen $2, 6, 18, 54, \ldots$ har $k = 3$ — hvert ledd er tre ganger det forrige. Og kvotienten trenger ikke gi vekst: $100, 50, 25, \ldots$ har $k = 0{,}5$ og halveres for hvert steg. Vil du sjekke om en følge er geometrisk, regner du ut forholdene: $\displaystyle \frac{6}{3} = 2$, $\displaystyle \frac{12}{6} = 2$, $\displaystyle \frac{24}{12} = 2$ forteller oss at $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$ er geometrisk med $k = 2$.

Den eksplisitte formelen følger samme logikk som hos de aritmetiske følgene, bare med multiplikasjon: fra $a_1$ til $a_n$ multipliserer vi med $k$ i alt $n - 1$ ganger:

$$a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$$

En følge med $a_1 = 5$ og $k = 2$ har for eksempel $a_8 = 5 \cdot 2^7 = 5 \cdot 128 = 640$. Og som før kan vi gå baklengs: er $a_2 = 12$ og $a_5 = 324$, ligger det tre steg mellom dem, så $324 = 12 \cdot k^3$. Det gir $k^3 = 27$ og dermed $k = 3$.

Vekstfaktor: prosent møter geometri

Hvorfor er geometriske følger så vanlige i økonomi? Fordi prosentvis endring er multiplikasjon. Øker noe med $5\,\%$, multipliserer vi med $1{,}05$. Synker det med $3\,\%$, multipliserer vi med $0{,}97$. Kvotienten $k$ kalles da gjerne vekstfaktoren:

$$k = 1 + \frac{p}{100}$$

der $p$ er den prosentvise endringen (negativ $p$ gir nedgang).

La oss sette penger i banken: $10\,000$ kroner til $4\,\%$ årlig rente. Hvert år multipliseres saldoen med $1{,}04$ — rentes rente er rett og slett en geometrisk følge. Etter fem år har vi

$$10\,000 \cdot 1{,}04^5 \approx 12\,167 \text{ kr}$$

Renten det fjerde året beregnes av en saldo som allerede inneholder rente fra de tre første — det er derfor veksten skyter fart over tid, akkurat som riskornene på sjakkbrettet.

Den samme matematikken beskriver forfall. Et radioaktivt stoff med halveringstid på $10$ år multipliseres med $k = 0{,}5$ for hver tiårsperiode. Starter vi med $200$ gram, har vi etter $30$ år — altså tre halveringer — igjen $200 \cdot 0{,}5^3 = 25$ gram. Vekst og forfall, sparekonto og atomkjerner: samme formel, bare ulik kvotient.

Oppsummering: multiplikasjonens makt

Sjakkbrett-legenden viste oss hva som skjer når vi multipliserer i stedet for å addere: veksten blir eksplosiv. En geometrisk følge har konstant kvotient $\displaystyle k = \frac{a_{n+1}}{a_n}$, og det $n$-te leddet finner vi med $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ — start på $a_1$ og multipliser med $k$ i $n-1$ steg. Kjenner vi to ledd, gir likningen $a_m = a_n \cdot k^{m-n}$ oss kvotienten.

Broen til hverdagen heter vekstfaktor: prosentvis endring $p$ tilsvarer multiplikasjon med $\displaystyle k = 1 \pm \frac{p}{100}$. Dermed er rentes rente, verditap på bil og befolkningsvekst alle geometriske følger i forkledning, og halveringstid er bare det spesialtilfellet der $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ per periode. Sammen med de aritmetiske følgene fra forrige kapittel har du nå de to viktigste vekstmønstrene i matematikken: jevn vekst med fast tillegg, og prosentvis vekst med fast faktor. I neste kapittel skal vi summere leddene i begge typene — og da kommer sjakkbrettets riskorn til å få sitt endelige regnskap.