1.4 Rekker og summasjon

Fra liste til sum

I de forrige kapitlene har vi studert følger — ordnede lister av tall. Men ofte er det ikke selve listen vi bryr oss om, det er totalen. Sparer du $1000$ kroner i måneden, er det ikke månedsbeløpene som teller når du skal kjøpe moped, men summen: $1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 = 6000$ kroner etter et halvt år.

Når vi summerer leddene i en følge, får vi en rekke. Og her møter vi to utfordringer. Den første er praktisk: å skrive ut lange summer ledd for ledd blir fort uhåndterlig — vi trenger en kompakt notasjon. Den andre er matematisk: finnes det snarveier for å regne ut summene, slik Gauss fant for $1 + 2 + \cdots + 100$? Svaret er ja på begge. I dette kapittelet lærer du sigmanotasjonen, summeformelen for aritmetiske rekker — og en helt ny formel for de geometriske, der sjakkbrettets riskorn endelig kan telles opp.

Sigmanotasjon — matematikkens sammendrag

Grekerne ga oss bokstaven, matematikerne ga den jobb: stor sigma, $\Sigma$, betyr «summer alt dette». Vi skriver

$$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$$

Under sigmaen står summeringsindeksen $k$ og dens startverdi (nedre grense), over står sluttverdien (øvre grense), og bak står uttrykket som skal summeres. Notasjonen er som en løkke i programmering: «la $k$ løpe fra $1$ til $n$, og legg sammen $a_k$ for hver verdi».

La oss lese en: $\sum_{k=1}^{4} k^2$ betyr at vi setter inn $k = 1, 2, 3, 4$ i $k^2$ og summerer: $1 + 4 + 9 + 16 = 30$.

Vi kan også gå motsatt vei og pakke en sum sammen. Ta $5 + 10 + 15 + 20 + 25$. Leddene er $5 \cdot 1, 5 \cdot 2, 5 \cdot 3, 5 \cdot 4, 5 \cdot 5$ — altså $5k$ for $k$ fra $1$ til $5$:

$$5 + 10 + 15 + 20 + 25 = \sum_{k=1}^{5} 5k$$

Kunsten er å finne det generelle leddet. Når du har det, er resten bare å notere grensene.

Aritmetiske rekker — Gauss på nytt

Summen av en aritmetisk følge kalles en aritmetisk rekke, og her høster vi det vi sådde i kapittel 1.2. Gauss' parings-idé ga oss

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

og når vi ikke kjenner siste ledd, varianten $\displaystyle S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$. Klassikeren $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$ blir $\displaystyle S_{100} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$.

Formelen skinner i praktiske oppgaver. Si at du sparer $500$ kroner første måned og øker med $100$ kroner hver måned. Etter tolv måneder er siste innskudd $a_{12} = 500 + 11 \cdot 100 = 1600$ kroner, og totalen blir

$$S_{12} = \frac{12(500 + 1600)}{2} = \frac{12 \cdot 2100}{2} = 12\,600 \text{ kr}$$

Legg merke til arbeidsflyten: finn først det siste leddet med den eksplisitte formelen, og sett deretter inn i sumformelen. To formler, to linjer — og et helt års sparing er gjort opp.

Geometriske rekker — riskornenes regnskap

Hva så med summen av en geometrisk følge — en geometrisk rekke? Her hjelper ikke Gauss' paring, for leddene vokser ikke jevnt. Men det finnes et minst like elegant triks. For en geometrisk følge med første ledd $a_1$ og kvotient $k \neq 1$ er summen av de $n$ første leddene

$$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$$

(Trikset bak: multipliser summen med $k$, trekk fra den opprinnelige — nesten alle ledd kansellerer.)

La oss teste: $2 + 4 + 8 + 16 + 32$ har $a_1 = 2$, $k = 2$ og $n = 5$:

$$S_5 = 2 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 2 \cdot 31 = 62$$

Stemmer — tell gjerne etter. Og nå kan vi endelig gjøre opp sjakkbrettets regnskap fra kapittel 1.3: ett riskorn som dobles over $64$ ruter gir $\displaystyle S_{64} = 1 \cdot \frac{2^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1$, et tall med tjue sifre. Kongen var sjanseløs.

Med sigmanotasjon, den aritmetiske og den geometriske sumformelen har du nå tre verktøy som sammen dekker de aller fleste summer du møter — fra spareplaner til lånekostnader.

Oppsummering: summer satt i system

En rekke er summen av leddene i en følge, og i dette kapittelet har vi skaffet oss både språket og snarveiene. Sigmanotasjonen $\sum_{k=1}^{n} a_k$ pakker lange summer inn i én linje: indeksen løper fra nedre til øvre grense mens uttrykket bak sigmaen summeres — akkurat som en løkke i et program.

Snarveiene kom i to varianter. For aritmetiske rekker gjenbrukte vi Gauss: $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, gjennomsnittet av ytterleddene ganget med antall ledd. For geometriske rekker fant vi $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$ for $k \neq 1$ — formelen som endelig lot oss telle riskornene på sjakkbrettet og som styrer alt fra spareavtaler til nedbetaling av lån. Arbeidsflyten er gjerne den samme: identifiser typen rekke, finn $a_1$, $d$ eller $k$ og antall ledd, og sett inn. Men ett spørsmål står igjen og dirrer: hva skjer hvis vi aldri slutter å summere? Kan uendelig mange ledd gi en endelig sum? Det er neste kapittels store overraskelse.