2.4
Bestemt integral som grenseverdi

2.4 Bestemt integral som grenseverdi

Alle fag for VG3

Integralet som grense for en sum av rektangler.

60 min
10 oppgaver
RiemannsumGrenseverdiØvre sumNedre sum
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Areal under en kurve

Hvordan finner vi arealet under en kurve? For rektangler og trekanter har vi enkle formler, men hva med arealet under en buet kurve som f(x)=x2f(x) = x^2?

Ideen er gammel - allerede Arkimedes (ca. 250 f.Kr.) brukte en genial metode: Del opp arealet i mange smale rektangler, og la antallet rektangler gå mot uendelig.

Denne ideen er selve grunnlaget for integrasjon og kalles Riemannsummen, oppkalt etter den tyske matematikeren Bernhard Riemann (1826-1866).

Inndeling av et intervall
La [a,b][a, b] være et lukket intervall. En inndeling av [a,b][a, b] i nn delintervaller er gitt ved punktene:

a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=ba = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b

Hvert delintervall har bredde:
Δx=b−an\Delta x = \frac{b - a}{n}

når vi bruker lik inndeling (alle delintervaller like brede).

✏️Eksempel 1: Inndeling av et intervall

Del intervallet [0,4][0, 4] inn i 4 like delintervaller. Finn delingspunktene og bredden Δx\Delta x.

Løsning:

Bredden av hvert delintervall:
Δx=b−an=4−04=1\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{4 - 0}{4} = 1

Delingspunktene blir:
- x0=0x_0 = 0
- x1=1x_1 = 1
- x2=2x_2 = 2
- x3=3x_3 = 3
- x4=4x_4 = 4

Delintervallene er: [0,1][0, 1], [1,2][1, 2], [2,3][2, 3], [3,4][3, 4].

Svar: Δx=1\Delta x = 1, og delingspunktene er 0,1,2,30, 1, 2, 3 og 44.

📝Oppgave 1

Del intervallet [1,5][1, 5] inn i 8 like delintervaller. Finn Δx\Delta x og skriv opp alle delingspunktene x0,x1,…,x8x_0, x_1, \ldots, x_8.

Riemannsum
La ff være en funksjon definert på [a,b][a, b], og la intervallet være delt i nn like delintervaller med bredde Δx=b−an\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}.

En Riemannsum er summen av arealene til nn rektangler:

Sn=∑i=1nf(xi∗)⋅ΔxS_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \cdot \Delta x

der xi∗x_i^* er et punkt i det ii-te delintervallet.

Vanlige valg for xi∗x_i^*:
- Venstresum: xi∗=xi−1x_i^* = x_{i-1} (venstre endepunkt)
- Høyresum: xi∗=xix_i^* = x_i (høyre endepunkt)
- Midtpunktsum: xi∗=xi−1+xi2\displaystyle x_i^* = \frac{x_{i-1} + x_i}{2} (midtpunktet)

✏️Eksempel 2: Beregne en Riemannsum

La f(x)=x2f(x) = x^2 på [0,2][0, 2]. Beregn høyresummen S4S_4 med n=4n = 4 delintervaller.

Løsning:

Finn Δx\Delta x:
Δx=2−04=0,5\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0{,}5

Finn delingspunktene:
x0=0,x1=0,5,x2=1,x3=1,5,x4=2x_0 = 0, \quad x_1 = 0{,}5, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 1{,}5, \quad x_4 = 2

For høyresum bruker vi x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4:
S4=f(0,5)⋅0,5+f(1)⋅0,5+f(1,5)⋅0,5+f(2)⋅0,5\begin{aligned} &S_4 \\ = {}&f(0{,}5) \cdot 0{,}5 + f(1) \cdot 0{,}5 + f(1{,}5) \cdot 0{,}5 + f(2) \cdot 0{,}5 \end{aligned}

Beregn funksjonsverdiene:
S4=0,25⋅0,5+1⋅0,5+2,25⋅0,5+4⋅0,5S_4 = 0{,}25 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}5 + 2{,}25 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}5
S4=0,125+0,5+1,125+2=3,75S_4 = 0{,}125 + 0{,}5 + 1{,}125 + 2 = 3{,}75

Kommentar: Den eksakte verdien av ∫02x2 dx=83≈2,67\displaystyle \int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3} \approx 2{,}67. Høyresummen overestimerer fordi f(x)=x2f(x) = x^2 er voksende.

Svar: S4=3,75S_4 = 3{,}75

📝Oppgave 2

La f(x)=x2f(x) = x^2 på [0,2][0, 2]. Beregn venstresummen S4S_4 med n=4n = 4 delintervaller.

📜Over- og undersum

For en voksende funksjon ff på [a,b][a, b]:
- Venstresummen er en undersum (underestimerer arealet)
- Høyresummen er en oversum (overestimerer arealet)

For en avtagende funksjon er det motsatt.

Viktig observasjon: Når n→∞n \to \infty, vil både over- og undersummen konvergere mot det eksakte arealet.

✏️Eksempel 3: Sigmanotasjon for Riemannsum

Skriv høyresummen for f(x)=x2f(x) = x^2 på [0,3][0, 3] med nn delintervaller ved hjelp av sigmanotasjon.

Løsning:

Finn Δx\Delta x og delingspunktene:
Δx=3−0n=3n\Delta x = \frac{3 - 0}{n} = \frac{3}{n}
xi=0+i⋅3n=3inx_i = 0 + i \cdot \frac{3}{n} = \frac{3i}{n}

Skriv høyresummen:
Sn=∑i=1nf(xi)⋅Δx=∑i=1n(3in)2⋅3nS_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{3i}{n}\right)^2 \cdot \frac{3}{n}

Forenkle:
Sn=∑i=1n9i2n2⋅3n=27n3∑i=1ni2S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{9i^2}{n^2} \cdot \frac{3}{n} = \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2

Svar: Sn=27n3∑i=1ni2\displaystyle S_n = \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2

📝Oppgave 3

Skriv høyresummen for f(x)=2xf(x) = 2x på [0,4][0, 4] med nn delintervaller ved hjelp av sigmanotasjon. Forenkle uttrykket.

Viktige summeformler
For å beregne Riemannsummer trenger vi disse summeformlene:

∑i=1n1=n\sum_{i=1}^{n} 1 = n

∑i=1ni=n(n+1)2\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}

∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

∑i=1ni3=(n(n+1)2)2\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

✏️Eksempel 4: Beregne grenseverdi av Riemannsum

Finn ∫03x2 dx\displaystyle\int_0^3 x^2 \, dx ved å ta grenseverdien lim⁡n→∞Sn\lim_{n \to \infty} S_n.

Løsning:

Fra Eksempel 3 har vi:
Sn=27n3∑i=1ni2=27n3⋅n(n+1)(2n+1)6S_n = \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{27}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Forenkle:
Sn=27⋅n(n+1)(2n+1)6n3=27(n+1)(2n+1)6n2S_n = \frac{27 \cdot n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{27(n+1)(2n+1)}{6n^2}

Utvid telleren:
Sn=27(2n2+3n+1)6n2=27⋅2n2+27⋅3n+276n2S_n = \frac{27(2n^2 + 3n + 1)}{6n^2} = \frac{27 \cdot 2n^2 + 27 \cdot 3n + 27}{6n^2}

Sn=54n2+81n+276n2=9+13,5n+4,5n2S_n = \frac{54n^2 + 81n + 27}{6n^2} = 9 + \frac{13{,}5}{n} + \frac{4{,}5}{n^2}

Ta grenseverdien:
lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞(9+13,5n+4,5n2)=9\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(9 + \frac{13{,}5}{n} + \frac{4{,}5}{n^2}\right) = 9

Svar: ∫03x2 dx=9\displaystyle\int_0^3 x^2 \, dx = 9

📝Oppgave 4

Bruk grenseverdien av en Riemannsum til å vise at ∫042x dx=16\displaystyle\int_0^4 2x \, dx = 16.

Det bestemte integralet
La ff være en kontinuerlig funksjon på [a,b][a, b]. Det bestemte integralet av ff fra aa til bb er definert som:

∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi∗)⋅Δx\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \cdot \Delta x

der Δx=b−an\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n} og xi∗x_i^* er et vilkårlig punkt i det ii-te delintervallet.

Tolkning:
- Hvis f(x)≥0f(x) \geq 0 på [a,b][a, b], gir integralet arealet mellom grafen og xx-aksen.
- Hvis f(x)<0f(x) < 0 noen steder, får vi fortegnsarealet (negativt bidrag under xx-aksen).

✏️Eksempel 5: Integral som areal

Beregn ∫023 dx\displaystyle\int_0^2 3 \, dx både geometrisk og ved Riemannsum.

Løsning:

Geometrisk:
Funksjonen f(x)=3f(x) = 3 er en horisontal linje. Arealet er et rektangel med bredde 2−0=22 - 0 = 2 og høyde 33:
A=2⋅3=6A = 2 \cdot 3 = 6

Ved Riemannsum:
Sn=∑i=1nf(xi)⋅Δx=∑i=1n3⋅2n=6n∑i=1n1=6n⋅n=6\begin{aligned} S_n &= \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x \\ &= \sum_{i=1}^{n} 3 \cdot \frac{2}{n} = \frac{6}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 = \frac{6}{n} \cdot n = 6 \end{aligned}

lim⁡n→∞Sn=6\lim_{n \to \infty} S_n = 6

Svar: ∫023 dx=6\displaystyle\int_0^2 3 \, dx = 6

📝Oppgave 5

Beregn ∫145 dx\displaystyle\int_1^4 5 \, dx både geometrisk og ved å bruke definisjonen av det bestemte integralet (Riemannsum).

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Inndeling: Intervallet [a,b][a, b] deles i nn like deler med bredde Δx=b−an\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}.
- Riemannsum: ∑i=1nf(xi)Δx\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x tilnærmer arealet under grafen med rektangler.
- Over- og undersum: Velger vi høyeste/laveste funksjonsverdi i hvert delintervall, får vi en øvre/nedre grense for arealet.
- Bestemt integral: ∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi)Δx\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x — grenseverdien av Riemannsummene.
- Summeformler: ∑i=1ni=n(n+1)2\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} og ∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} brukes til å beregne grenseverdier eksakt.

Nøkkelbegreper


BegrepForklaring
Δx\Delta xBredden på hvert delintervall, b−an\displaystyle \frac{b-a}{n}
RiemannsumSum av rektangelarealer som tilnærmer integralet
Oversum/undersumØvre og nedre tilnærming til arealet
Bestemt integralGrenseverdien av Riemannsummen når n→∞n \to \infty

Viktige formler


- Δx=b−an\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}
- ∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi)Δx\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x
- ∑i=1ni=n(n+1)2\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}, ∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \quad \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.