11.4 Øvingseksamen 3: utsatt-profil (produsentteori + CES)

Ta dette settet sist. Har du ikke gjort øvingseksamen 1 og 2, begynn der — de dekker de mest frekvente sjangrene, og dette settet forutsetter at grunnmetodene sitter.

Øvingseksamen 3

ECON1100-lignende sett — Matematikk I for økonomer, utsatt-profil

Varighet: 3 timer. Ingen hjelpemidler. 100 poeng — poengsummen står ved hvert delpunkt.

Om poengfordelingen: på de virkelige settene presiserer sensor at poengene fordeles likt mellom delpunktene innen hver oppgave, slik at jevn innsats lønner seg og det ikke svarer seg å bruke uforholdsmessig lang tid på ett punkt. Her er de tyngste delpunktene vektet et par poeng høyere enn de letteste, men totalen per oppgave er den samme.

Alle svar skal begrunnes. Ubegrunnede konklusjoner gir ingen uttelling.

---

Oppgave 1 (20 poeng) — Partiellderivasjon

Finn de partiellderiverte som er etterspurt. Forenkle svarene.

a) (5 p) La $F(K,L)=\left(K^{1/2}+L^{1/2}\right)^{2}$. Finn $F'_K$, og forenkle så langt som mulig.

b) (5 p) La $f(x,y)=x^{2}y^{3}e^{-xy}$. Finn $f'_x$.

c) (5 p) La $g(x)=\left(x^{2}+1\right)^{x}$. Finn $g'(x)$ ved logaritmisk derivasjon.

d) (5 p) La $k(K,L)=K^{1/3}L^{2/3}$. Finn $k''_{KL}$, og regn ut verdien i punktet $(8,27)$.

---

Oppgave 2 (25 poeng) — Sant eller usant

Avgjør om hver påstand er sann eller usann, og begrunn. Ubegrunnet svar gir null poeng. (5 poeng per påstand.)

a) For $F(K,L)=K^{0{,}3}L^{0{,}5}$ vil en dobling av begge innsatsfaktorer mer enn doble produksjonen.

b) Er $F$ homogen av grad $k$, gjelder $K\,F'_K+L\,F'_L=kF$.

c) For $f(x,y,z)=xyz$ er $df=yz\,dx+xz\,dy$.

d) Et globalt minimum på et lukket område kan vises ved å sette inn noen $x$-verdier og sammenligne.

e) $\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty}3\left(\tfrac14\right)^{t}=4$

---

Oppgave 3 (22 poeng) — Kostnadsminimering med CES-teknologi

En bedrift har CES-teknologien

$$F(K,L)=\left(K^{1/3}+L^{1/3}\right)^{3},\qquad K>0,\ L>0,$$

og skal produsere $\bar Y=216$. Kapitalprisen er $r=1$ og lønna $w=4$.

a) (5 p) Bestem substitusjonsparameteren $\gamma$ og skalaparameteren, og finn substitusjonselastisiteten $\sigma$. Tolk tallet.

b) (6 p) Utled tangeringsbetingelsen for denne teknologien, og vis at faktorforholdet $K/L$ er uavhengig av $\bar Y$.

c) (7 p) Finn $K^*$, $L^*$ og den minimale kostnaden.

d) (4 p) Bestem homogenitetsgraden til $F$, og si hva slags skalautbytte teknologien har.

---

Oppgave 4 (18 poeng) — Profittmaksimering og komparativ statikk

En bedrift har produktfunksjonen $F(N)=20\sqrt N$, selger til pris $p=3$ og betaler lønn $w=6$.

a) (5 p) Finn den profittmaksimerende sysselsettingen $N^*$ og profitten. Kontroller andreordensbetingelsen, og si om maksimum er lokalt eller globalt.

b) (7 p) Finn $\dfrac{dN^*}{dw}$ ved implisitt derivasjon av førsteordensbetingelsen, og regn ut tallverdien. Kontroller ved å finne $N^*(w)$ eksplisitt.

c) (6 p) Vis generelt at $\dfrac{dN^*}{dw}<0$ for enhver produktfunksjon med $F''<0$, og tolk resultatet økonomisk.

---

Oppgave 5 (15 poeng) — Nyttemaksimering med $n$ variabler

En kommune fordeler et budsjett på $m=200$ mellom fire like kostbare tiltak, hvert med pris $p=5$ per enhet. Samlet nytte er

$$U(x_1,x_2,x_3,x_4)=\sum_{i=1}^{4}\ln x_i,\qquad x_i>0.$$

a) (5 p) Sett opp Lagrange-funksjonen og førsteordensbetingelsene.

b) (6 p) Begrunn at løsningen er symmetrisk, og finn $x_i^*$ og $\lambda$.

c) (4 p) Kommunen vurderer fordelingen $(5,5,15,15)$ i stedet. Vis at den er tillatt, og avgjør ved å sammenligne funksjonsverdier om den er bedre eller dårligere enn den symmetriske.

---

Slutt på settet. Løsningsforslagene ligger i boksene under — én per oppgave.

Etter settet — og etter boka

Sjekkliste — kryss av:

☐ Jeg forenklet $F'_K$ til $1+\sqrt{L/K}$ i 1a).

☐ Jeg trakk ut fellesfaktoren i 1b).

☐ Jeg brukte $2^{k}$ og ikke $2k$ i 2a).

☐ Jeg talte leddene i differensialet i 2c) — tre variabler gir tre ledd.

☐ Jeg viste at parentesen forkortes bort i tangeringsbetingelsen i 3b).

☐ Jeg tok tredjerota av produksjonskravet før innsetting i 3c).

☐ Jeg brukte kjerneregelen i den implisitte derivasjonen i 4b).

☐ Jeg knyttet fortegnet i 4c) til andreordensbetingelsen.

☐ Jeg begrunnet symmetrien i 5b) i stedet for å påstå den.

☐ Jeg sjekket at fordelingen i 5c) faktisk var tillatt før jeg sammenlignet.

---

Du er gjennom hele boka

Har du tatt alle tre øvingseksamenene på tid, har du sett hver sjanger som bærer poeng i dette faget — flere av dem to og tre ganger.

De tre tingene som skiller besvarelsene, i denne rekkefølgen:

1. Begrunnelse på sant/usant. Oppgave 2 er verdt en firedel av settet, og ubegrunnet ja eller nei gir null. Ingen annen enkeltvane er verdt like mye.
2. Kontroll av eget svar. Sett løsningen tilbake i bibetingelsen eller førsteordensbetingelsen. Det tar sekunder og fanger nesten alt.
3. Forenkling. Åpenbar forenkling kreves for full uttelling, og et uforenklet sluttuttrykk koster poeng selv når alt annet er riktig.

Er noe fortsatt vaklende, gå tilbake til drillkapitlene framfor teorikapitlene: kap. 1.6 for partiellderivasjon, kap. 4.5 for funksjonsdrøfting, kap. 8.5 for Lagrange, kap. 9.3 for produsentteori og kap. 11.1 for sant/usant.

Og husk hva C betyr: det er en god og vanlig karakter, særlig i første semester. Boka er bygget for å gjøre gapet til A synlig som en meny av konkrete vaner — ikke for å antyde at noe mindre er et nederlag.