11.3 Øvingseksamen 2: moderne mal (kostnadsmin + fri optimering + differensial)

Har du ikke tatt øvingseksamen 1 ennå, ta den først — sjangrene der er de mest frekvente, og dette settet forutsetter at du kjenner formatet.

Øvingseksamen 2

ECON1100-lignende sett — Matematikk I for økonomer

Varighet: 3 timer. Ingen hjelpemidler. 100 poeng — poengsummen står ved hvert delpunkt.

Om poengfordelingen: på de virkelige settene presiserer sensor at poengene fordeles likt mellom delpunktene innen hver oppgave, slik at jevn innsats lønner seg og det ikke svarer seg å bruke uforholdsmessig lang tid på ett punkt. Her er de tyngste delpunktene vektet et par poeng høyere enn de letteste, men totalen per oppgave er den samme.

Alle svar skal begrunnes. Ubegrunnede konklusjoner gir ingen uttelling.

---

Oppgave 1 (20 poeng) — Partiellderivasjon

Finn de partiellderiverte som er etterspurt. Forenkle svarene.

a) (5 p) La $f(x,y)=x^{3}y\,e^{2x}$. Finn $f'_x$.

b) (5 p) La $g(x)=x^{\ln x}$ for $x>0$. Finn $g'(x)$ ved logaritmisk derivasjon.

c) (5 p) La $h(x,y)=G\!\left(\dfrac{x}{y}\right)$, der $G$ er en deriverbar funksjon av én variabel. Finn $h'_x$ og $h'_y$, uttrykt ved de opprinnelige variablene.

d) (5 p) La $k(x,y)=x^{2}\ln y+\dfrac{y^{3}}{x}$. Finn $k''_{xy}$, og kontroller mot $k''_{yx}$.

---

Oppgave 2 (25 poeng) — Sant eller usant

Avgjør om hver påstand er sann eller usann, og begrunn. Ubegrunnet svar gir null poeng. (5 poeng per påstand.)

a) For $f(x,y)=x^{2}+3xy$ er $df=(2x+3y)\,dx$.

b) For $f(x)=\left(3x^{2}\right)^{4}$ er $\mathrm{El}_x f=8$.

c) Nivåkurven til $F(x,y)=c$ har helning $y'=\dfrac{F'_x}{F'_y}$.

d) Omhyllingsteoremet sier at $\dfrac{dV}{da}=\dfrac{\partial L^*}{\partial a}$.

e) $\displaystyle \displaystyle\int_1^{4}\frac{1}{\sqrt x}\,dx=2$

---

Oppgave 3 (20 poeng) — Kostnadsminimering

En bedrift skal produsere $\bar Y=40$ enheter med teknologien

$$F(K,L)=K^{1/2}L^{1/2},\qquad K>0,\ L>0.$$

Kapitalprisen er $r=2$ og lønna er $w=8$.

a) (5 p) Sett opp minimeringsproblemet og Lagrange-funksjonen, og skriv de tre førsteordensbetingelsene.

b) (5 p) Utled tangeringsbetingelsen, og tolk den økonomisk.

c) (6 p) Finn $K^*$, $L^*$ og den minimale kostnaden. Kontroller svaret med kostnadsandelene.

d) (4 p) Finn $\lambda$, og forklar hva tallet betyr for bedriften.

---

Oppgave 4 (18 poeng) — Fri optimering i to variabler

La

$$f(x,y)=x^{3}-3x+y^{2}.$$

a) (5 p) Finn alle stasjonære punkter.

b) (7 p) Klassifiser hvert av dem med Hesse-determinanten.

c) (6 p) Avgjør om $f$ har et globalt minimum. Begrunn.

---

Oppgave 5 (17 poeng) — Differensial og elastisitet

a) (6 p) La $f(x,y)=x^{2}\sqrt y$. Finn den lineære approksimasjonen rundt $(3,4)$, og bruk den til å anslå $f(3{,}1;\ 4{,}2)$.

b) (4 p) Regn ut den eksakte verdien, og kommenter avviket.

c) (7 p) Etterspørselen etter et gode er $x(p)=\dfrac{500}{p^{1{,}5}}$. Finn $\mathrm{El}_p x$, og tolk tallet. Hva skjer med samlet omsetning $p\cdot x(p)$ når prisen stiger?

---

Slutt på settet. Løsningsforslagene ligger i boksene under — én per oppgave.

Etter settet — slik vurderer du deg selv

Sjekkliste — kryss av:

☐ Jeg trakk ut fellesfaktoren i 1a) i stedet for å levere to uforenklede ledd.

☐ Jeg brukte logaritmisk derivasjon i 1b), ikke potensregelen.

☐ Jeg substituerte tilbake til $x/y$ i 1c).

☐ Jeg kontrollerte $k''_{xy}$ mot $k''_{yx}$ i 1d).

☐ Jeg begrunnet hver påstand i Oppgave 2.

☐ Jeg kontrollerte kostnadsandelene i 3c) mot eksponentene.

☐ Jeg fant begge stasjonære punkter i 4a).

☐ Jeg pekte på en konkret retning der $f$ stuper i 4c), ikke bare «den er ikke konveks».

☐ Jeg hadde med begge ledd i den lineære approksimasjonen i 5a).

☐ Jeg brukte at elastisiteter adderes for produkter da jeg drøftet omsetningen i 5c).

Vanligste tapte poeng i dette settet, i rekkefølge: å bare finne det ene stasjonære punktet i 4a), å utelate $dy$-leddet i 2a), og å svare på Oppgave 2 uten begrunnelse.

Neste steg: øvingseksamen 3 er kalibrert mot utsatt-settenes tyngre produsent- og CES-profil — den er den vanskeligste av de tre.