11.2 Øvingseksamen 1: moderne mal (nyttemaks + drøfting + nivåkurve)

Før du begynner: legg bort boka, ta fram blanke ark og et ur. Det er den eneste måten å finne ut om du faktisk rekker settet på.

Øvingseksamen 1

ECON1100-lignende sett — Matematikk I for økonomer

Varighet: 3 timer. Ingen hjelpemidler. 100 poeng — poengsummen står ved hvert delpunkt.

Om poengfordelingen: på de virkelige settene presiserer sensor at poengene fordeles likt mellom delpunktene innen hver oppgave, slik at jevn innsats lønner seg og det ikke svarer seg å bruke uforholdsmessig lang tid på ett punkt. Her er de tyngste delpunktene vektet et par poeng høyere enn de letteste, men totalen per oppgave er den samme.

Alle svar skal begrunnes. Ubegrunnede konklusjoner gir ingen uttelling.

---

Oppgave 1 (20 poeng) — Partiellderivasjon

Finn de partiellderiverte som er etterspurt. Forenkle svarene.

a) (5 p) La $\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}+y}{x+y}$. Finn $f'_x$.

b) (5 p) La $g(x)=x^{\,3x}$ for $x>0$. Finn $g'(x)$ ved logaritmisk derivasjon.

c) (5 p) La $h(x,y)=F\big(u(x,y)\big)$ der $u(x,y)=x^{2}y^{3}$ og $F$ er en deriverbar funksjon av én variabel. Finn $h'_x$ og $h'_y$, uttrykt ved de opprinnelige variablene.

d) (5 p) La $k(x,y)=x\ln y+y\,e^{x}$. Finn $k''_{xy}$, og kontroller mot $k''_{yx}$.

---

Oppgave 2 (25 poeng) — Sant eller usant

Avgjør om hver påstand er sann eller usann, og begrunn. Ubegrunnet svar gir null poeng. (5 poeng per påstand.)

a) For $f(x,y)=\sqrt x\,y$ er den lineære approksimasjonen rundt $(4,3)$ gitt ved $f\approx 6+\tfrac34\Delta x+2\Delta y$.

b) Produktfunksjonen $F(K,L)=K^{0{,}4}L^{0{,}8}$ har avtakende skalautbytte.

c) Funksjonen $f(x)=x^{4}+x$ har en invers på hele $\mathbb{R}$.

d) Hvis $f''(a)=0$, er $a$ et vendepunkt.

e) $\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty}5\left(-0{,}5\right)^{t}=\tfrac{10}{3}$

---

Oppgave 3 (22 poeng) — Klimakvoter og nyttemaksimering

En husholdning fordeler et fast beløp mellom to goder: $x$ enheter transport og $y$ enheter oppvarming. Nytten er

$$U(x,y)=2\ln x+\ln y,\qquad x>0,\ y>0.$$

Etter at en klimaavgift er lagt på transport, er prisene $p_1=4$ og $p_2=2$, og husholdningen har $m=36$ til disposisjon.

a) (5 p) Sett opp Lagrange-funksjonen og de tre førsteordensbetingelsene. Oppgi definisjonsområdet.

b) (6 p) Eliminér $\lambda$ og finn tangeringsbetingelsen. Tolk den økonomisk.

c) (6 p) Finn $x^*$, $y^*$ og $\lambda$. Kontroller svaret mot bibetingelsen.

d) (5 p) Bruk omhyllingsteoremet til å finne $\dfrac{dU^*}{dm}$, og forklar hva tallet betyr for husholdningen.

---

Oppgave 4 (18 poeng) — Funksjonsdrøfting med randløsning

En kommune måler nytten av et friluftsområde som funksjon av hvor mange dekar $x$ som opparbeides:

$$f(x)=4\sqrt x-x,\qquad x\in[0,16].$$

a) (4 p) Finn nullpunktene til $f$.

b) (5 p) Finn de stasjonære punktene, og avgjør med fortegnsanalyse av $f'$ hvor $f$ vokser og avtar.

c) (5 p) Finn de globale ekstrempunktene på $[0,16]$. Begrunn med definisjonsområdet og fortegnet på $f'$ — ikke ved å sette inn tilfeldige tallverdier.

d) (4 p) Finn likningen for tangenten i $x=1$, og skisser grafen med nullpunkter, toppunkt og tangenten inntegnet.

---

Oppgave 5 (15 poeng) — Nivåkurve

En bedrift har produktfunksjonen $F(x,y)=x^{2}y$ for $x>0$, $y>0$, og betrakter nivåkurven $F(x,y)=12$.

a) (5 p) Finn $y'$ langs nivåkurven ved implisitt derivasjon, uttrykt ved $x$ og $y$. Regn ut verdien i punktet $(2,3)$.

b) (6 p) Finn $y''$ langs nivåkurven, og avgjør om kurven er konveks eller konkav i hele området $x>0$.

c) (4 p) Skisser nivåkurven med tangenten i $(2,3)$ inntegnet, og forklar med én setning hva krumningen betyr økonomisk.

---

Slutt på settet. Løsningsforslagene ligger i boksene under — én per oppgave.

Etter settet — slik vurderer du deg selv

Poengsjekk: gå gjennom hver deloppgave og gi deg selv poeng etter om argumentet står der, ikke bare svaret. På Oppgave 2 er det spesielt viktig: et riktig «usant» uten begrunnelse er null poeng, ikke fem.

Sjekkliste — kryss av:

☐ Jeg forenklet sluttsvarene i Oppgave 1, særlig telleren i a).

☐ Jeg substituerte tilbake til de opprinnelige variablene i 1c).

☐ Jeg begrunnet hver påstand i Oppgave 2, også de jeg var sikker på.

☐ Jeg satte $x^*$ og $y^*$ tilbake i bibetingelsen i 3c).

☐ Jeg brukte omhyllingsteoremet direkte i 3d), i stedet for å regne ut $U^*(m)$.

☐ Jeg begrunnet randminimum i 4c) med definisjonsområdet og fortegnet på $f'$, ikke med innsatte tallverdier.

☐ Jeg tegnet skisser i 4d) og 5c), og de stemmer med mine egne utregninger.

☐ Jeg satte inn uttrykket for $y'$ da jeg regnet $y''$ i 5b).

Kom du i mål på tid? Klarte du alle fem oppgavene innenfor 180 minutter, er tempoet der det skal være. Brukte du mer enn 50 minutter på Oppgave 2, er det den du bør drille — kap. 11.1 er bygget for nettopp det.

Neste steg: øvingseksamen 2 har en annen storoppgavemiks — kostnadsminimering, fri optimering med Hesse-determinanten, og differensial.