11.1 Sant/usant-stordrillen: de tolv påstandstypene med begrunnelse

$$f\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\,\Delta x+f'_y(x_0,y_0)\,\Delta y$$

Begrunnelse: regn ut $f(x_0,y_0)$, $f'_x$ og $f'_y$ i punktet, sett inn, og sammenlign ledd for ledd med påstanden.

Vanligste felle: ett ledd mangler, eller de partiellderiverte er evaluert i feil punkt. Teori i kap. 3.2.

$$df=f'_x\,dx+f'_y\,dy$$

Begrunnelse: partiellderiver med hensyn på hver variabel og sett sammen. Har $f$ tre variabler, har $df$ tre ledd.

Vanligste felle (#4): ett ledd er utelatt, typisk fordi den ene variabelen «ikke ser ut til å endre seg». Differensialet tar med alle. Teori i kap. 3.1.

$$f(tx,ty)=t^{k}f(x,y)$$

Begrunnelse: sett inn $tx$ og $ty$ symbolsk og les av potensen på $t$. For rene potensfunksjoner er graden summen av eksponentene.

Vanligste felle: å svare at dobling ganger funksjonen med $2k$ i stedet for $2^{k}$. Teori i kap. 7.1.

$$f'\ \text{konstant fortegn på }I\ \Longrightarrow\ \text{invers finnes};\qquad g'(y)=\frac{1}{f'(x)}$$

Begrunnelse: regn ut $f'$ og vis fortegnet i hele området. Gjelder påstanden $g'$, finn først det $x$ som svarer til $y$.

Vanligste felle: å sjekke monotoni i bare ett punkt, eller å glemme å snu brøken. Teori i kap. 10.1.

$$f''(a)=0\ \text{alene garanterer INGENTING}$$

Begrunnelse: motbevis er raskest. $f(x)=x^{4}$ har $f''(0)=0$ og globalt minimum; $f(x)=x^{3}$ har $f''(0)=0$ og vendepunkt. Samme forutsetning, to ulike utfall.

Vanligste felle (#2 og #7): å konkludere fra $f''=0$ uten å sjekke fortegnsskifte. Teori i kap. 4.2.

$$f'\ge 0\ \text{og}\ f''\le 0\ \text{kan gjelde samtidig}$$

Begrunnelse: motbevis med $\sqrt x$ eller $\ln x$ — begge vokser, og begge har avtakende derivert.

Vanligste felle: å tro at «voksende» sier noe om krumningen. De to egenskapene er uavhengige. Teori i kap. 4.1.

$$\mathrm{El}_x f=\frac{x}{f}f'(x);\qquad \mathrm{El}_x(fg)=\mathrm{El}_x f+\mathrm{El}_x g$$

Begrunnelse: for en ren potens $f=Cx^{a}$ er elastisiteten $a$ — les den av. Ellers regn ut fra definisjonen.

Vanligste felle: å blande elastisitet med den deriverte, eller å multiplisere elastisiteter der de skal legges sammen. Teori i kap. 2.1.

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$

Begrunnelse: finn den antideriverte, sett inn begge grenser, sammenlign. Kontroller antideriverte ved å derivere den tilbake.

Vanligste felle: å bruke potensregelen på $x^{-1}$, som krever $\ln\lvert x\rvert$ i stedet. Teori i kap. 10.2.

$$\sum_{t=0}^{\infty}ar^{t}=\frac{a}{1-r}\qquad\text{bare når}\qquad\lvert r\rvert<1$$

Begrunnelse: identifiser $a$ og $r$, sjekk $\lvert r\rvert$ eksplisitt, og regn eller konkluder divergens. Endelige summer skrives ut ledd for ledd.

Vanligste felle: å bruke sumformelen når $\lvert r\rvert\ge 1$. Varselsignalet er negativ sum av positive ledd. Teori i kap. 10.3.

$$y'(x)=-\frac{F'_x}{F'_y}$$

Begrunnelse: regn ut begge partiellderiverte i punktet og sett inn. Minustegnet hører til formelen.

Vanligste felle: å utelate minustegnet, eller å bytte om teller og nevner. Begge gir feil fortegn på en helning som skal være negativ. Teori i kap. 5.1.

$$\frac{dV}{da}=\frac{\partial L^*}{\partial a}$$

Begrunnelse: teoremet brukes direkte — å reutlede det er sløsing med tid, ikke en dyd. Deriver Lagrange-funksjonen partielt mht. parameteren og evaluer i optimum.

Vanligste felle: å derivere $F$ i stedet for $L$, som mister bidraget fra bibetingelsen. Teori i kap. 8.3.

$$xf'_x+yf'_y=kf;\qquad f'_x\ \text{er homogen av grad}\ k-1$$

Begrunnelse: for Eulers relasjon, regn ut venstresiden i et punkt og sammenlign med $kf$. For graden til den deriverte: derivasjon senker graden med én.

Vanligste felle: å påstå at $f'_x$ har samme grad $k$ som $f$. Teori i kap. 7.2.

$$\text{konklusjon alene}=0\ \text{poeng}$$

Ubegrunnet ja eller nei gir null, også med riktig konklusjon (feil #9). Begrunnelsen ER leveransen.

$$\text{ett moteksempel}\ \Longrightarrow\ \text{påstanden er usann}$$

En generell påstand faller på ett enkelt eksempel. Det er både raskere å skrive og like mye verdt.

$$\text{metoden bærer poengene, ikke svaret}$$

En regnefeil midtveis koster lite hvis argumentet er riktig ført. Et blankt felt koster alt.

$$\text{5 påstander}\ /\ 45\ \text{min}\approx 9\ \text{min per påstand}$$

Kjenner du ikke igjen typen på ett minutt, hopp videre og kom tilbake.

$$f\approx f_0+f'_x\Delta x+f'_y\Delta y$$

Ordene «tilnærmet», «omtrent» eller et uttrykk med $\Delta x$ og $\Delta y$ i.

$$\text{ett ledd mangler, eller } f'_x\ \text{er evaluert i feil punkt}$$

Regn ut alle tre størrelsene i punktet og sammenlign ledd for ledd.

$$df=f'_x\,dx+f'_y\,dy$$

Antall ledd er antall variabler. Feil #4 er å utelate ett.

$$f'_y\ne 0\ \Longrightarrow\ dy\text{-leddet MÅ være med}$$

Er den partiellderiverte ulik null, påvirker variabelen $f$, og leddet kan ikke droppes.

$$f(tx,ty)=t^{k}f(x,y)$$

For rene potensfunksjoner er $k$ summen av eksponentene. Tre linjer, umulig å argumentere imot.

$$\text{dobling ganger med }2^{k},\ \text{aldri }2k$$

Med $k=0{,}6$ gir $2^{k}\approx 1{,}52$ mot $2k=1{,}2$ — helt ulike svar.

$$k>1\ \text{økende};\quad k=1\ \text{konstant};\quad k<1\ \text{avtakende}$$

En påstand om «konstant skalautbytte» er en påstand om at $k=1$ nøyaktig.

$$f'\ \text{konstant fortegn på }I\ \Longrightarrow\ \text{invers på }I$$

Ett punkt holder ikke. Skriv «for alle $x$» i argumentet.

$$g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}\ \text{der}\ f(x_0)=y_0$$

$g'$ evalueres i $y_0$, men $f'$ i $x_0$. Å sette $y_0$ inn i $f'$ gir feil tall.

$$f'<0\ \text{overalt}\ \Longrightarrow\ \text{invers finnes}$$

En påstand om at bare voksende funksjoner har invers, er usann.

$$f'(a)=0\ \Longrightarrow\ \text{stasjonærpunkt, ikke nødvendigvis ekstrempunkt}$$

Motbevis: $f(x)=x^{3}$ har $f'(0)=0$ og vokser rett gjennom null.

$$f''\ \text{må SKIFTE FORTEGN i punktet}$$

Motbevis mot det motsatte: $f(x)=x^{4}$ har $f''(0)=0$ uten fortegnsskifte, og er et globalt minimum.

$$f(x)=x^{4}:\ f'(0)=f''(0)=0,\ \text{men globalt minimum}$$

Brukes som motbevis mot både «$f''=0$ gir vendepunkt» og «andrederiverttesten avgjør alltid».

$$f'\ \text{sier om den vokser};\qquad f''\ \text{sier hvordan den krummer}$$

En voksende funksjon kan godt være konkav. Motbevis: $\sqrt x$ og $\ln x$.

$$f(x)=\sqrt x:\ f'(1)=\tfrac12,\ f'(4)=\tfrac14$$

Voksende funksjon, avtakende derivert. Samme mønster som avtakende grenseprodukt.

$$\mathrm{El}_x f=\frac{x}{f}f'(x)$$

Prosent per prosent. Enhetsløs, i motsetning til den deriverte.

$$f=Cx^{a}\ \Longrightarrow\ \mathrm{El}_x f=a$$

Konstanten $C$ forsvinner alltid. Les eksponenten rett av.

$$\mathrm{El}_x(fg)=\mathrm{El}_x f+\mathrm{El}_x g;\qquad \mathrm{El}_x\!\left(\frac fg\right)=\mathrm{El}_x f-\mathrm{El}_x g$$

Summer, ikke produkter. En påstand om at $2$ og $3$ gir $6$, er usann.

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\ne -1);\qquad \int x^{-1}dx=\ln\lvert x\rvert+C$$

Med $n=-1$ blir nevneren null, og logaritmen tar over.

$$\int e^{kx}dx=\frac1k e^{kx}+C;\qquad k=-2\ \Longrightarrow\ -\tfrac12 e^{-2x}+C$$

Kontroller alltid ved å derivere den antideriverte tilbake.

$$\frac{d}{dx}F(x)\overset{?}{=}f(x)$$

Får du integranden tilbake, er den antideriverte riktig.

$$\sum_{t=0}^{\infty}ar^{t}=\frac{a}{1-r}\qquad\text{bare når}\qquad\lvert r\rvert<1$$

Skriv sjekken som en egen setning, også når kravet åpenbart er oppfylt.

$$r=-0{,}5\ \text{konvergerer};\qquad r=-1{,}2\ \text{divergerer}$$

En påstand om at negativ kvotient gir divergens, er usann.

$$\text{negativ sum av bare positive ledd}\ \Longrightarrow\ \text{rekka divergerer}$$

Tallet $-1$ for $\sum 2^{i}$ er nettopp dette.

$$\sum_{t=1}^{\infty}\left(\tfrac13\right)^{t}:\quad a=\tfrac13,\ r=\tfrac13,\ \text{sum}=\tfrac12$$

$a$ er alltid det første leddet som faktisk er med. $r$ endres aldri.

$$y'=-\frac{F'_x}{F'_y}$$

En påstand uten minustegnet er usann, og gir en stigende nivåkurve der den skal falle.

$$dF=F'_x\,dx+F'_y\,dy=0\ \Longrightarrow\ y'=-\frac{F'_x}{F'_y}$$

Langs nivåkurven er $F$ konstant, så totaldifferensialet er null.

$$F\ \text{homogen}\ \Longrightarrow\ y'(tx,ty)=y'(x,y)$$

Begge partiellderiverte har grad $k-1$, og faktoren $t^{k-1}$ forkortes bort.

$$\frac{dV}{da}=\frac{\partial L^*}{\partial a}$$

Å reutlede teoremet er sløsing med tid, ikke en dyd. Deriver $L$, ikke $F$.

$$\frac{\partial L}{\partial x}=0\ \text{i optimum}\ \Longrightarrow\ \text{bidraget fra }dx^*/da\ \text{forsvinner}$$

Derfor slipper du å finne $x^*$ og $y^*$ eksplisitt.

$$\frac{dU^*}{dm}=\lambda\ \text{(grensenytten av inntekt)};\qquad \frac{dC}{d\bar Y}=\lambda\ \text{(grensekostnaden)}$$

Samme teorem, to innramminger.

$$xf'_x+yf'_y=kf$$

Regn ut venstresiden i et konkret punkt og sammenlign med $kf$. Tre linjer.

$$f\ \text{homogen av grad}\ k\ \Longrightarrow\ f'_x\ \text{homogen av grad}\ k-1$$

Derivasjon senker graden med én. En påstand om samme grad er usann.

$$k=1\ \Longrightarrow\ F'_K\ \text{homogen av grad}\ 0$$

Grenseproduktene avhenger da bare av faktorforholdet, ikke av nivået.

$$f\ \text{konveks}\ \Longrightarrow\ \text{tangenten under kurven}\ \Longrightarrow\ \text{underestimat}$$

Konkav funksjon gir motsatt: approksimasjonen overestimerer.

$$\text{definisjonsområdets endepunkt}+\text{fortegnet på }f'$$

Å sette inn tallverdier «beviser» ingenting (feil #1) og gir bare delvis uttelling.

$$\ln\ \text{eller}\ \sqrt{\;}\ \text{i uttrykket}\ \Longrightarrow\ \text{skriv området FØR du regner}$$

Forebygger feil #6 og gjør forkasting av ulovlige røtter (#11) enkel.

$$\text{sammenlign funksjonsverdier i kandidatpunktene}$$

Andreordensbetingelse under bibetingelse er ikke pensum og skal aldri være løsningsvei.

$$\text{sluttsvaret uttrykkes i de OPPRINNELIGE variablene}$$

Å la et indre uttrykk stå igjen er feil #5, og koster poeng selv om regningen er riktig.

$$\text{fortegnslinje for }f',\ \text{ikke bare påstanden om hvor den er positiv}$$

Å oppgi intervaller uten fortegnsanalyse er feil #10.

$$D=f''_{xx}f''_{yy}-\left(f''_{xy}\right)^{2}$$

$D<0$ gir sadelpunkt; $D>0$ gir minimum eller maksimum etter fortegnet på $f''_{xx}$.

$$f''<0\ \text{i HELE området}\ \Longrightarrow\ \text{globalt maksimum}$$

«$f''(a)<0$» alene gir bare lokalt. Forskjellen er ett ord og flere poeng.

$$L=F-\lambda(g-m)\quad\text{eller}\quad L=F+\lambda(m-g)$$

Begge er gyldige så lenge bibetingelsen er med; tolkningen av $\lambda$ følger valget.

$$\frac{U'_x}{U'_y}=\frac{p_1}{p_2};\qquad \frac{F'_K}{F'_L}=\frac{r}{w}$$

Marginal substitusjonsrate lik prisforhold. Snus brøken, er påstanden usann.

$$\sigma=\frac{1}{\gamma-1}$$

Kontroller mot grensetilfellet $\gamma\to 0$, som skal gi tallverdi 1 — Cobb-Douglas.

$$p\,F''\!\left(N^*\right)\frac{dN^*}{dw}=1$$

Behandler du $N^*$ som konstant, får du $0=1$ — en umulighet som er selve varselsignalet.

$$\text{argumentet ER svaret, ikke tallet}$$

Gå gjennom teller og nevner hver for seg og bruk de oppgitte forutsetningene.

$$\text{0 forekomster i alle 16 sett}$$

De er trygt å hoppe over. Dukker et slikt tema opp i en påstand du møter, er påstanden ikke hentet fra dette faget.

$$\mathrm{El}_x f\ \text{er enhetsløs};\qquad f'(x)\ \text{har enheten til}\ f\ \text{delt på}\ x$$

En påstand om at de har samme enhet, er usann.

$$\text{begrunnet? alle ledd med? fortegn riktig? område nevnt?}$$

To minutter på slutten av Oppgave 2 er blant de best brukte på hele eksamen.

$$\text{blandet sanne og usanne, i uforutsigbar rekkefølge}$$

Og uansett: en riktig konklusjon uten begrunnelse gir null. Det finnes ingen gjettestrategi i denne sjangeren.