6.2 Lokalt vs. globalt — og drill

Når et lokalt resultat er globalt — og drill på hele Hesse-kjeden.

55 min

12 oppgaver

Lokalt vs. globaltdrill

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Førsteordensbetingelser og Hesse-klassifisering

Brukes videre i

6.PPrøver til del 6: Fri optimering i to variabler

Dette er treningsøkta for sjanger HD — fri optimering i to variabler med Hesse-klassifisering. «Fri» betyr at ingen bibetingelse binder valget av

x

y

Sjangeren står i 10 av 16 sett i arkivet (63 %): 6 av 9 ordinære og 4 av 7 utsatte.

Det som skiller sjiktene her, er ett ord. Andrederiverttesten gir et lokalt svar. En kandidat som skriver «globalt minimum» uten å ha vist at betingelsene holder i hele definisjonsområdet, har konkludert sterkere enn regningen bærer. Sensorveiledningene er tydelige på dette punktet i to av settene i arkivet, og det er en typisk toppsjikt-markør.

Variantene som drilles her:

- Kvadratiske funksjoner der de andrederiverte er konstanter — der er lokalt og globalt det samme, og det kan sies med to setninger.
- Funksjoner med en tredjegradsterm der krumningen skifter — der er «lokalt» det sterkeste som kan sies.
- Funksjoner med flere kandidatpunkter av ulik type i samme oppgave.
- Å motbevise globalitet ved å oppgi ett eneste punkt med bedre funksjonsverdi.
- Økonomisk innramming — profitt, dekningsbidrag, kostnad.

Slik er kapitlet bygget: først teorien om lokalt mot globalt, så løsningsoppskriften i fire steg, så ett gjennomregnet eksamenscase med kommentarer om hvor poengene ligger, og deretter tolv oppgaver.

Tidsanslag: 55 minutter. Økta er delt med pausepunkter. Ta gjerne halvparten i dag og halvparten i morgen — men regn oppgavene for hånd.

Kilde for tallene: Skolesagas gjennomgang av 16 eksamenssett fra Økonomisk institutt, UiO (9 ordinære, 7 utsatte, V2018–H2025), hvorav 14 med offisiell sensorveiledning.

Forkunnskaper. Kapitlet forutsetter kap. 6.1 (førsteordensbetingelser og Hesse-klassifisering). Begrepene konveks og konkav er de samme som i én variabel, fra kap. 4.1.

Sist du var her — de tre tingene du trenger med deg inn:

$\text{FOB}:\ f'_x=0,\ f'_y=0\ \longrightarrow\ \text{kandidatpunkter}$

$D=f''_{xx}\,f''_{yy}-\left(f''_{xy}\right)^2$

$D<0\ \text{sadel};\quad D>0,\ f''_{xx}>0\ \text{lokalt min};\quad D>0,\ f''_{xx}<0\ \text{lokalt maks};\quad D=0\ \text{inkonklusiv}$

Du står i en grop i terrenget. Bakken stiger i alle retninger rundt deg, så du er lavere enn alt i nærheten. Men er du på det laveste punktet i hele landskapet? Det vet du ikke uten å se deg om — det kan ligge en dypere dal bak neste ås.

Det er nøyaktig forskjellen på lokalt og globalt, og Hesse-testen ser bare det som er i nærheten. Den regner ut krumningen i selve punktet, og krumningen der sier ingenting om hva som skjer langt unna.

Det finnes ett tilfelle der spørsmålet er avgjort med én gang: hvis flaten krummer samme vei overalt. Krummer den oppover i hele planet, kan det ikke ligge noen dypere dal noe sted, og det lokale minimumet er også det globale. Dette kapitlet handler om når du har lov til å si det — og hvordan du sier det slik at sensor ser at du vet forskjellen.

Lokalt og globalt ekstrempunkt

\text{lokalt min}:\ f(x_0,y_0)\le f(x,y)\ \text{for alle }(x,y)\ \text{nær}\ (x_0,y_0)

Konveks funksjon av to variabler

f''_{xx}\ge 0,\quad f''_{yy}\ge 0\quad\text{og}\quad D\ge 0\quad\text{for alle }(x,y)

Konkav funksjon av to variabler

f''_{xx}\le 0,\quad f''_{yy}\le 0\quad\text{og}\quad D\ge 0\quad\text{for alle }(x,y)

📜Fra lokalt til globalt

f

ha kontinuerlige andrederiverte på hele planet (eller på et konvekst definisjonsområde), og la

(x_0,y_0)

være et stasjonærpunkt.

$f\ \text{konveks i hele området}\ \Longrightarrow\ (x_0,y_0)\ \text{er globalt minimum}$

$f\ \text{konkav i hele området}\ \Longrightarrow\ (x_0,y_0)\ \text{er globalt maksimum}$

Slik brukes teoremet i praksis. Se på de generelle uttrykkene for $f''_{xx}$ og $D$ — altså uttrykkene før du setter inn kandidatpunktet. Er begge av riktig fortegn for alle $x$ og $y$ , gjelder konklusjonen globalt. Inneholder de $x$ eller $y$ på en måte som gjør at fortegnet kan snu, gjelder den bare lokalt.

Den enkleste og vanligste situasjonen: når alle tre andrederiverte er konstanter, er $D$ og $f''_{xx}$ de samme overalt, og et lokalt ekstrempunkt er automatisk globalt. Det gjelder alle andregradsfunksjoner i $x$ og $y$ .

✏️Eksempel 1: Samme test, to ulike konklusjoner

Begge funksjonene under har et lokalt minimum. Avgjør i hvert tilfelle om minimumet også er globalt.

a) $f(x,y)=2x^2+y^2+2xy-8x-6y$ , med lokalt minimum i $(1,2)$ .

b) $g(x,y)=x^2y+x^2+2y^2$ , med lokalt minimum i $(0,0)$ .

a) Andrederiverte:

$f''_{xx}=4,\qquad f''_{yy}=2,\qquad f''_{xy}=2$

$D=4\cdot 2-2^2=8-4=4$

Alle tre er konstanter. De inneholder verken $x$ eller $y$ , så $f''_{xx}=4>0$ og $D=4>0$ i hvert eneste punkt i planet. Funksjonen er dermed konveks overalt, og

$(1,2)\ \text{er et \textbf{globalt} minimum}$

Kontroll av at punktet er riktig: $f'_x=4x+2y-8$ gir $4+4-8=0$ ✓, og $f'_y=2y+2x-6$ gir $4+2-6=0$ ✓. Verdien er $f(1,2)=2+4+4-8-12=-10$ .

b) Andrederiverte:

$g''_{xx}=2y+2,\qquad g''_{yy}=4,\qquad g''_{xy}=2x$

$D=(2y+2)\cdot 4-(2x)^2=8y+8-4x^2$

Her inneholder begge uttrykkene variablene. Se på $g''_{xx}=2y+2$ : den er negativ så snart $y<-1$ . Funksjonen er altså ikke konveks i hele planet, og teoremet gir ingen global konklusjon.

Og minimumet er faktisk ikke globalt. Det holder å finne ett punkt med lavere verdi enn $g(0,0)=0$ :

$g(3,-2)=9\cdot(-2)+9+2\cdot 4=-18+9+8=-1<0$

Konklusjon: i punktet $(0,0)$ har $g$ et lokalt, men ikke globalt minimum. Det finnes punkter med lavere verdi — $(3,-2)$ er ett av dem.

Vil du se hvor det bærer: langs linja $y=-2$ er $g(x,-2)=-2x^2+x^2+8=-x^2+8$ , som går mot $-\infty$ når $x$ vokser. Funksjonen har ingen minste verdi i det hele tatt.

Sammenligningen. To lokale minimumspunkter, funnet med nøyaktig samme test. Det som skiller dem, er om andrederiverte-uttrykkene beholder fortegnet sitt utenfor punktet.

Å motbevise globalitet med ett punkt

\text{Finn ett }(x_1,y_1)\ \text{med}\ f(x_1,y_1)<f(x_0,y_0)

Løsningsoppskriften — fire steg

Denne rekkefølgen dekker alle variantene av sjangeren. Følg den fra topp til bunn.

Steg 1 — alle kandidatpunkter. Regn ut $f'_x$ og $f'_y$ , sett begge lik null, og løs systemet. Faktoriser i stedet for å dele, og ta med begge røtter når en betingelse er kvadratisk. Kontroller hvert punkt ved å sette det tilbake i begge betingelsene.

Steg 2 — de tre andreordens partiellderiverte. Finn $f''_{xx}$ , $f''_{yy}$ og $f''_{xy}$ som generelle uttrykk, ikke som tall. Youngs teorem gjør at du bare trenger én kryssderivert.

Steg 3 — $D$ og klassifisering i hvert punkt. Skriv først det generelle uttrykket

$D=f''_{xx}f''_{yy}-\left(f''_{xy}\right)^2,$

og sett så inn hvert kandidatpunkt for seg. Bruk regelen: $D<0$ gir sadelpunkt; $D>0$ med $f''_{xx}>0$ gir lokalt minimum; $D>0$ med $f''_{xx}<0$ gir lokalt maksimum; $D=0$ betyr at testen ikke gir svar.

Steg 4 — lokalt eller globalt? Se på de generelle uttrykkene fra steg 3:

- Er alle tre andrederiverte konstanter, gjelder klassifiseringen i hele planet, og du kan skrive «globalt».
- Beholder $f''_{xx}$ og $D$ fortegnet for alle $x$ og $y$ , gjelder den også globalt — si hvorfor.
- Kan fortegnet snu, skriv «lokalt», og oppgi gjerne ett punkt med bedre funksjonsverdi som viser at det ikke er globalt.

Avslutt alltid med en verbal konklusjonssetning som sier hvilke punkter som er hva, med funksjonsverdiene.

✏️Gjennomregnet eksamenscase — med kommentarer om hvor poengene ligger

Finn og klassifiser alle stasjonærpunkter til

$f(x,y)=x^3-6xy+3y^2,$

og avgjør om et eventuelt ekstrempunkt er lokalt eller globalt.

Steg 1 — kandidatpunktene.

$f'_x=3x^2-6y,\qquad f'_y=-6x+6y$

$\text{FOB (1)}:\ 3x^2-6y=0\ \Longrightarrow\ y=\frac{x^2}{2}$

$\text{FOB (2)}:\ -6x+6y=0\ \Longrightarrow\ y=x$

> Her ligger de første poengene. Sensor gir uttelling for korrekt oppsett av systemet uansett hva som skjer videre. Skriv derfor alltid begge betingelsene ned, nummerert, før du begynner å løse.

Sett $y=x$ inn i FOB (1):

$x=\frac{x^2}{2}\ \Longrightarrow\ 2x=x^2\ \Longrightarrow\ x^2-2x=0\ \Longrightarrow\ x(x-2)=0$

$x=0\quad\text{eller}\quad x=2$

> Legg merke til faktoriseringen. Hadde vi delt likningen $2x=x^2$ på $x$ , ville vi fått $x=2$ alene og mistet punktet $(0,0)$ helt. Det er den vanligste enkeltfeilen i steg 1.

Med $y=x$ blir kandidatpunktene

$(0,0)\qquad\text{og}\qquad (2,2)$

Kontroll: i $(2,2)$ er $f'_x=12-12=0$ ✓ og $f'_y=-12+12=0$ ✓.

Steg 2 — andreordens partiellderiverte.

$f''_{xx}=6x,\qquad f''_{yy}=6,\qquad f''_{xy}=-6$

Kontroll med Youngs teorem: $f''_{yx}=(-6x+6y)'_x=-6$ ✓ — samme svar.

Steg 3 — $D$ og klassifisering.

$D=6x\cdot 6-(-6)^2=36x-36$

> Merk at kryssleddet kvadreres. Fortegnet på $f''_{xy}=-6$ forsvinner, og $(-6)^2=36$ . Skriver du $-(-6)=+6$ her, får du $D=36x+6$ og feil klassifisering i begge punktene.

I $(0,0)$ :

$D=36\cdot 0-36=-36<0\ \Longrightarrow\ \textbf{sadelpunkt}$

I $(2,2)$ :

$D=36\cdot 2-36=36>0,\qquad f''_{xx}=6\cdot 2=12>0\ \Longrightarrow\ \textbf{lokalt minimum}$

Verdien er

$f(2,2)=8-6\cdot 2\cdot 2+3\cdot 4=8-24+12=-4$

Steg 4 — lokalt eller globalt?

Se på det generelle uttrykket $f''_{xx}=6x$ . Det er negativt for alle $x<0$ , så funksjonen er ikke konveks i hele planet. Teoremet gir dermed ingen global konklusjon, og «lokalt» er det sterkeste vi har vist.

Og det er faktisk ikke globalt. Langs linja $y=x$ er

$f(x,x)=x^3-6x^2+3x^2=x^3-3x^2,$

som går mot $-\infty$ når $x\to-\infty$ . Konkret er

$f(-10,-10)=-1000-600+300=-1300<-4$

> Denne setningen er verdt et poeng eller to. Å oppgi ett punkt med lavere verdi er et fullgodt bevis for at minimumet ikke er globalt, og det tar tre linjer.

Verbal konklusjon: funksjonen har et sadelpunkt i $(0,0)$ og et lokalt minimum i $(2,2)$ med verdi $-4$ . Minimumet er ikke globalt: funksjonen har ingen minste verdi, siden $f(x,x)\to-\infty$ når $x\to-\infty$ .

De fem feilene drillen skal utrydde

Hver av oppgavene under er bygget for å utløse minst én av disse.

1. Å skrive «globalt» der bare «lokalt» er vist. Sjekk alltid steg 4 før du formulerer konklusjonen. Er $f''_{xx}$ eller $D$ et uttrykk som inneholder $x$ eller $y$ , må du undersøke om fortegnet kan snu.
2. Å miste et kandidatpunkt. To kilder: å dele på en faktor i stedet for å faktorisere, og å skrive bare den positive roten når en betingelse gir $x^2=a$ .
3. Fortegnsfeil i $D$ . Kryssleddet skal kvadreres og trekkes fra. Dette er en variant av feil #12 — fortegns- og faktorfeil i partiellderiverte av produkter og kvotienter, og kontrollen er at $D$ aldri skal avhenge av fortegnet på $f''_{xy}$ .
4. Å glemme $f''_{xx}$ når $D>0$ . Da vet du at punktet er et ekstrempunkt, men ikke hvilket. Halvt svar gir halv uttelling.
5. Å «bevise» globalitet ved innsetting. Å regne ut $f$ i noen få punkter og se at ingen er lavere, viser ingenting — det er feil #1, altså å erstatte et argument om hele området med tallsjekk. Motsatt vei er lovlig: ett punkt med lavere verdi motbeviser globalitet.

Et sjette punkt som ikke er en feil, men en vane: sett kandidatpunktet tilbake i begge førsteordensbetingelsene. Det tar tjue sekunder og fanger nesten alle algebrafeil.

Drilloppgavene

Tolv oppgaver som roterer variantene. De første er rene gjennomkjøringer av oppskriften; de siste har flere kandidatpunkter og globalitetsspørsmål med hale.

Oppgave 1–4 (~14 min): konstante andrederiverte — der lokalt og globalt faller sammen.
Oppgave 5–8 (~15 min): variable andrederiverte, flere kandidatpunkter.
Oppgave 9–12 (~16 min): eksamensnivå med globalitetsargument og økonomisk innramming.

Regn dem for hånd, og les fasiten som sensor: er alle kandidatpunkter med, er $D$ regnet i hvert punkt, og står det riktig ord — «lokalt» eller «globalt» — i konklusjonen?

📝Oppgave 1

Finn og klassifiser stasjonærpunktet til

$f(x,y)=x^2+y^2-6x+8y+3,$

og avgjør om resultatet er lokalt eller globalt.

📝Oppgave 2

Sjanger HD

Finn og klassifiser stasjonærpunktet til

$f(x,y)=12x+18y-x^2-3y^2,$

og avgjør om resultatet er lokalt eller globalt.

📝Oppgave 3

Sjanger HD

Finn og klassifiser stasjonærpunktet til

$f(x,y)=2x^2+y^2+2xy-8x-6y,$

og avgjør om resultatet er lokalt eller globalt.

📝Oppgave 4

Sjanger HD

Finn og klassifiser stasjonærpunktet til

$f(x,y)=x^2+3xy+y^2.$

Har funksjonen noe minimum?

— naturlig pausepunkt —

📝Oppgave 5

Sjanger HD

Finn og klassifiser alle stasjonærpunkter til

$f(x,y)=x^3-3x+y^2,$

og avgjør om et eventuelt minimum er globalt.

📝Oppgave 6

Sjanger HD

Finn og klassifiser alle stasjonærpunkter til

$f(x,y)=x^2y+x^2+8y^2,$

og avgjør om det lokale minimumet er globalt.

📝Oppgave 7

Sjanger HD

Finn og klassifiser alle stasjonærpunkter til

$f(x,y)=x^3-12xy+8y^3.$

📝Oppgave 8

Sjanger SU

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne, og begrunn hver av dem.

a) «Hvis $D>0$ og $f''_{xx}>0$ i et stasjonærpunkt, er punktet et globalt minimum.»

b) «Hvis alle tre andreordens partiellderiverte er konstanter og $D>0$ , $f''_{xx}<0$ , har funksjonen et globalt maksimum i sitt stasjonærpunkt.»

c) «Ett punkt med lavere funksjonsverdi enn kandidatpunktet er nok til å vise at et minimum ikke er globalt.»

— naturlig pausepunkt —

📝Oppgave 9

Sjanger HD

Et transportselskap har to ruter. Kostnaden i tusen kroner per uke er

$C(x,y)=x^2+xy+y^2-6x-9y+40,$

der $x$ og $y$ er antall avganger per uke på hver rute.

a) Finn den kostnadsminimerende kombinasjonen.

b) Vis at minimumet er globalt.

c) Hva er den laveste ukekostnaden?

📝Oppgave 10

Sjanger HD

Finn og klassifiser alle stasjonærpunkter til

$f(x,y)=x^2y-4x^2-2y^2,$

og avgjør om det lokale maksimumet er globalt.

📝Oppgave 11

Sjanger HD

Finn og klassifiser alle stasjonærpunkter til

$f(x,y)=4xy-x^4-y^4,$

og avgjør om maksimumsverdien er global.

📝Oppgave 12

Sjanger HD

$f(x,y)=x^2+ay^2+2xy-4x,$

der $a$ er et reelt tall.

a) Vis at $f$ har et stasjonærpunkt bare når $a\ne 1$ , og finn punktet.

b) For hvilke $a$ er punktet et globalt minimum? For hvilke er det et sadelpunkt?

c) Regn ut $x^*$ , $y^*$ og funksjonsverdien for $a=2$ .

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Firestegsoppskriften

1)\ \text{alle kandidater};\ 2)\ f''_{xx},f''_{yy},f''_{xy};\ 3)\ D\ \text{i hvert punkt};\ 4)\ \text{lokalt eller globalt?}

Konstante andrederiverte gir globalt svar

f''_{xx},f''_{yy},f''_{xy}\ \text{konstanter}\ \Longrightarrow\ \text{klassifiseringen gjelder i hele planet}

Konveks i to variabler

f''_{xx}\ge 0,\quad f''_{yy}\ge 0,\quad D\ge 0\quad\text{for alle }(x,y)

Konkav i to variabler

f''_{xx}\le 0,\quad f''_{yy}\le 0,\quad D\ge 0\quad\text{for alle }(x,y)

Ett moteksempel er nok

f(x_1,y_1)<f(x_0,y_0)\ \Longrightarrow\ (x_0,y_0)\ \text{er ikke globalt minimum}

Den motsatte veien er forbudt

\text{noen få punkter med høyere verdi}\ \not\Rightarrow\ \text{globalt minimum}

Fortegnet kan snu utenfor punktet

f''_{xx}=6x:\ \text{positiv for }x>0,\ \text{negativ for }x<0

Faktoriser, aldri del

8x=x^4\ \Longrightarrow\ x\left(x^3-8\right)=0\ \Longrightarrow\ x=0\ \text{eller}\ x=2

Positiv krumning langs begge akser er ikke nok

f''_{xx}=2>0,\ f''_{yy}=2>0,\ f''_{xy}=3\ \Longrightarrow\ D=4-9=-5<0

Et globalt ekstrempunkt kan nås flere steder

f(x,y)=4xy-x^4-y^4:\ f(1,1)=f(-1,-1)=2\ \text{er global maksimumsverdi}

Når ingen ekstrempunkter finnes

\text{eneste stasjonærpunkt er sadelpunkt}\ \Longrightarrow\ \text{ingen indre ekstrempunkter}

Ordvalget i konklusjonen

D>0\ \text{og}\ f''_{xx}>0\ \text{i punktet}\ \longrightarrow\ \text{lokalt minimum}

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.