Læringsmål

Oversikt over læringsmål dekket i TMA4135 Matematikk 4D

Kilde: Læringsmålene er utformet av Skolesaga på grunnlag av emnets eksamensoppgaver, sensorveiledninger og emnebeskrivelse. De er ikke institusjonens offisielle læringsutbyttebeskrivelser.

175 kompetansemål44 av 44 kapitler har kompetansemål

Alle kompetansemål

•gjøre rede for eksamensformen i emnet: fire timer skriftlig, hjelpemiddelkode C, seks til ti poengvektede oppgaver og kravet om at alle svar skal begrunnes
0.1Slik testes TMA4135 — de fire søylene og formelarket
•bruke temafrekvensene til å prioritere lesingen og sette opp en realistisk lese- og tidsplan
0.1Slik testes TMA4135 — de fire søylene og formelarket
•skille mellom det som står på det utdelte formelarket og det du må kunne eller utlede aktivt
0.1Slik testes TMA4135 — de fire søylene og formelarket
•kjenne igjen de faste oppgavetypene i emnet og vite hvilket første grep hver av dem krever
0.1Slik testes TMA4135 — de fire søylene og formelarket
•veksle sikkert mellom kartesisk og polar form, og bestemme modulus og hovedargument med riktig kvadrant
1.1Komplekse tall, Eulers formel og enhetsrøtter
•bruke Eulers formel og de Moivres formel til å regne ut potenser og til å utlede trigonometriske identiteter
1.1Komplekse tall, Eulers formel og enhetsrøtter
•finne alle n røtter av et komplekst tall, og gjøre rede for de N enhetsrøttene og at summen av dem er null
1.1Komplekse tall, Eulers formel og enhetsrøtter
•spalte en brøk med et konjugert polpar i nevneren både ved kvadratkomplettering og ved kompleks partialbrøk, og vise at de gir samme reelle uttrykk
1.1Komplekse tall, Eulers formel og enhetsrøtter
•løse oppgaver om polar form, Eulers formel og komplekse røtter under tidspress, med fullstendig føring
1.PPrøver til del 1: Komplekse tall og funksjoner
•arbeide sikkert med de N enhetsrøttene, blant annet periodisiteten og at summen av dem er null
1.PPrøver til del 1: Komplekse tall og funksjoner
•spalte et uttrykk med et konjugert polpar i nevneren både ved kvadratkomplettering og ved kompleks partialbrøk, og vise at formene er like
1.PPrøver til del 1: Komplekse tall og funksjoner
•gjøre rede for hva Laplace-transformen er, når den finnes, og hvorfor tabellen på det utdelte formelarket er nok til å slå opp begge veier
2.1Laplace-transformen, derivasjonsregelen og ODE/IVP
•bruke derivasjonsregelen til å transformere en differensiallikning med startverdier til en algebraisk likning i $Y(s)$
2.1Laplace-transformen, derivasjonsregelen og ODE/IVP
•føre en likning med konstante koeffisienter gjennom hele oppskriften i fire skritt og oppgi svaret som eksakt uttrykk
2.1Laplace-transformen, derivasjonsregelen og ODE/IVP
•bruke førsteforskyvningsteoremet til å lage transformpar som ikke står som egen rad i tabellen
2.1Laplace-transformen, derivasjonsregelen og ODE/IVP
•lese ut av nevneren i $Y(s)$ hvilken form svaret får, og velge riktig teknikk før du regner
2.2Invers Laplace — delbrøk og kvadratkomplettering
•spalte en rasjonal brøk i delbrøker ved enkle og multiple reelle poler, og finne tellerne både ved tildekking og ved et lineært system
2.2Invers Laplace — delbrøk og kvadratkomplettering
•kvadratkomplettere en irredusibel andregradsnevner og justere telleren slik at den treffer måltabellformene for dempet cosinus og sinus
2.2Invers Laplace — delbrøk og kvadratkomplettering
•gjennomføre den komplekse veien med et konjugert polpar og vise at den gir samme reelle svar som kvadratkompletteringen
2.2Invers Laplace — delbrøk og kvadratkomplettering
•skrive en stykkevis definert last som én formel bygd av enhetssprangfunksjoner, og kontrollere oppdelingen punkt for punkt
2.3Forskyvningsteoremene, Heaviside og Dirac
•bruke andreforskyvningsteoremet begge veier, med rekkefølgen «finn $f$ først, forskyv sist» ført eksplisitt
2.3Forskyvningsteoremene, Heaviside og Dirac
•skille andreforskyvningsteoremet fra førsteforskyvningsteoremet ut fra hvor eksponentialfaktoren står
2.3Forskyvningsteoremene, Heaviside og Dirac
•løse likninger med trappelast og med Dirac-impuls, og kontrollere svaret ved å se på hva som er kontinuerlig og hva som hopper ved påslagstidspunktet
2.3Forskyvningsteoremene, Heaviside og Dirac
•kjenne igjen et konvolusjonsintegral på grensene, produktformen og at argumentene summerer til $t$
2.4Konvolusjon og integro-differensiallikninger
•bruke konvolusjonsteoremet til å gjøre et integralledd om til et produkt, og navngi teoremet i besvarelsen slik sjangeren krever
2.4Konvolusjon og integro-differensiallikninger
•løse integrallikninger og integro-differensiallikninger fra ende til annen, med startverdier satt inn og nevneren faktorisert
2.4Konvolusjon og integro-differensiallikninger
•bruke konvolusjonsteoremet baklengs til å finne en invers transform når produktet ikke står i tabellen
2.4Konvolusjon og integro-differensiallikninger
•klassifisere en Laplace-oppgave som ren likning, integralledd eller trappe- og impulslast på få sekunder, og velge riktig vei ut fra det
2.5Drill — Laplace-sjangeren fra ende til annen
•føre en hel oppgave fra likning til eksakt svar etter oppskriftens sju skritt, med teoremnavn og tabelloppslag skrevet ut
2.5Drill — Laplace-sjangeren fra ende til annen
•velge den raskeste av flere honorerte metoder og nevne alternativet, slik løsningsforslagene i arkivet gjør
2.5Drill — Laplace-sjangeren fra ende til annen
•kontrollere hvert svar på under et halvt minutt, med startverdier, en innsatt $s$-verdi eller spranget i den deriverte
2.5Drill — Laplace-sjangeren fra ende til annen
•løse en likning med startverdier ved hjelp av derivasjonsregelen under tidspress, med fullstendig føring
2.PPrøver til del 2: Laplace-transform
•bringe $Y(s)$ på tabellform med delbrøkoppspalting og kvadratkomplettering, og vise at den komplekse veien gir samme reelle svar
2.PPrøver til del 2: Laplace-transform
•behandle trappe- og impulslast med andreforskyvningsteoremet i riktig rekkefølge, og kontrollere svaret i påslagspunktet
2.PPrøver til del 2: Laplace-transform
•kjenne igjen et integralledd som en konvolusjon, navngi konvolusjonsteoremet, og føre en kjedet oppgave videre selv om et delpunkt glapp
2.PPrøver til del 2: Laplace-transform
•sette opp og regne ut koeffisientintegralene for en funksjon med vilkårlig halvperiode
3.1Fourier-rekker — koeffisienter og symmetriutnyttelse
•avgjøre om en funksjon er like eller odde, og bruke symmetri til å utelukke koeffisienter før du integrerer
3.1Fourier-rekker — koeffisienter og symmetriutnyttelse
•bruke delvis integrasjon og reduksjonsformlene fra det utdelte formelarket på ledd av typen polynom ganger cosinus eller sinus
3.1Fourier-rekker — koeffisienter og symmetriutnyttelse
•kontrollere en ferdig rekke ved å sette inn en bekvem verdi av x, og bruke innsettingen til å summere en tallrekke
3.1Fourier-rekker — koeffisienter og symmetriutnyttelse
•utvide en funksjon gitt på et halvintervall til en odde eller like periodisk funksjon, og velge utvidelse ut fra hva oppgaven krever
3.2Halvintervall-utvidelser, konvergens og midling
•skissere den periodiske utvidelsen over flere perioder med sprangene og midlingsverdiene riktig markert
3.2Halvintervall-utvidelser, konvergens og midling
•bruke konvergensteoremet til å angi hva rekka gir i et vilkårlig punkt, også i sprang og i endepunktene
3.2Halvintervall-utvidelser, konvergens og midling
•sette inn en bekvem x-verdi i en ferdig rekke og utlede summen av en tallrekke
3.2Halvintervall-utvidelser, konvergens og midling
•regne ut de komplekse Fourier-koeffisientene for en gitt funksjon, også for generell halvperiode
3.3Kompleks Fourier-rekke
•veksle begge veier mellom den komplekse og den reelle formen med broformlene
3.3Kompleks Fourier-rekke
•bruke konjugert symmetri til å avgjøre om et sett koeffisienter kan komme fra en reell funksjon, og til å halvere regnearbeidet
3.3Kompleks Fourier-rekke
•velge mellom reell og kompleks form ut fra hvordan integranden ser ut, og begrunne valget
3.3Kompleks Fourier-rekke
•gjennomføre løsningsoppskriftens sju steg på en ny funksjon uten å slå opp
3.4Drill — Fourier-rekke-sjangeren
•velge riktig utvidelse og begrunne valget, og skissere den periodiske utvidelsen med sprang og midlingsverdier
3.4Drill — Fourier-rekke-sjangeren
•føre en full Fourier-oppgave som en toppbesvarelse, med metodenavn og tabelloppslag skrevet ut
3.4Drill — Fourier-rekke-sjangeren
•kontrollere et ferdig svar ved innsetting og ved å vurdere hvor raskt koeffisientene faller
3.4Drill — Fourier-rekke-sjangeren
•løse fulle Fourier-rekke-oppgaver under tidspress, med begrunnet symmetri og markerte tabelloppslag
3.PPrøver til del 3: Fourier-rekker
•utvide en funksjon fra et halvintervall, skissere utvidelsen over flere perioder og behandle midlingen i hvert sprang
3.PPrøver til del 3: Fourier-rekker
•veksle sikkert mellom kompleks og reell form, og bruke konjugert symmetri som kontroll
3.PPrøver til del 3: Fourier-rekker
•føre en flertrinns eksamensoppgave der delpunktene bygger på hverandre, og isolere en tallrekkesum til slutt
3.PPrøver til del 3: Fourier-rekker
•regne ut en Fourier-transform ved å kjenne igjen riktig rad på det utdelte formelarket og sette inn riktig parameter
4.1Fourier-transformen — tabell, derivasjons- og konvolusjonsregel
•bruke linearitet, forskyvning, skalering og derivasjonsregelen til å transformere sammensatte uttrykk uten å integrere
4.1Fourier-transformen — tabell, derivasjons- og konvolusjonsregel
•gjenkjenne en konvolusjon og bruke konvolusjonsteoremet med riktig normeringsfaktor
4.1Fourier-transformen — tabell, derivasjons- og konvolusjonsregel
•løse en integrallikning ved å transformere, løse algebraisk for transformen og lese tabellen baklengs
4.1Fourier-transformen — tabell, derivasjons- og konvolusjonsregel
•oversette en partiell differensiallikning på hele tallinja til en ordinær differensiallikning i tid ved Fourier-transform
4.2Fourier-transform for PDE på hele $\mathbb{R}$
•løse den transformerte likningen med omega som konstant og bestemme integrasjonskonstanten fra initialdata
4.2Fourier-transform for PDE på hele $\mathbb{R}$
•transformere tilbake ved å kjenne igjen tabellraden med tiden gjemt i parameteren
4.2Fourier-transform for PDE på hele $\mathbb{R}$
•avgjøre ut fra domenet om Fourier-transform eller separasjon av variable er riktig metode
4.2Fourier-transform for PDE på hele $\mathbb{R}$
•regne ut den diskrete Fourier-transformen av en kort datavektor og kontrollere svaret med middelverdien
4.3Diskret Fourier-transform (DFT)
•avgjøre om et gitt sett koeffisienter kan komme fra et reelt signal, ved konjugert symmetri
4.3Diskret Fourier-transform (DFT)
•bevise og bruke skifteegenskapen for syklisk skift, og forklare hvorfor amplitudespekteret er uendret
4.3Diskret Fourier-transform (DFT)
•gjøre rede for aliasing og lese av koeffisientene til et båndbegrenset signal uten å regne ut summer
4.3Diskret Fourier-transform (DFT)
•regne ut Fourier-transformer fra tabellen under tidspress, med riktig parameter og markert oppslag
4.PPrøver til del 4: Fourier-transform og DFT
•løse en integrallikning av konvolusjonstype hele veien fram til funksjonen, med riktig normeringsfaktor
4.PPrøver til del 4: Fourier-transform og DFT
•gjennomføre firestegsoppskriften for en partiell differensiallikning på hele tallinja og tolke leddene
4.PPrøver til del 4: Fourier-transform og DFT
•regne ut en diskret Fourier-transform, kontrollere den med reell-testen og bruke skifteegenskapen
4.PPrøver til del 4: Fourier-transform og DFT
•sette inn produktansatsen i en partiell differensiallikning og dele den i to vanlige differensiallikninger med tydelig fortegnskonvensjon
5.1Separasjon av variable — varmelikningen og de tre $k$-tilfellene
•oversette randbetingelser på u til randbetingelser på romfaktoren, og se hvorfor det krever at tidsfaktoren ikke er null
5.1Separasjon av variable — varmelikningen og de tre $k$-tilfellene
•behandle alle tre tilfellene for separasjonskonstanten eksplisitt, og vise hvilke som bare gir den trivielle løsningen
5.1Separasjon av variable — varmelikningen og de tre $k$-tilfellene
•finne egenverdier og egenfunksjoner ved kalde ender, isolerte ender og blandet rand, og kontrollere svaret ved innsetting i både likningen og randbetingelsene
5.1Separasjon av variable — varmelikningen og de tre $k$-tilfellene
•superponere produktløsningene til en rekke og forklare hvorfor det krever lineær likning og homogene randbetingelser
5.2Superposisjon, Fourier-matching og ikke-homogene problemer
•bestemme koeffisientene ved direkte avlesing når initialdataene er en sum av egenfunksjoner, og ved koeffisientintegral ellers
5.2Superposisjon, Fourier-matching og ikke-homogene problemer
•redusere et problem med faste randtemperaturer eller et konstant kildeledd til et homogent problem ved hjelp av en stasjonær løsning
5.2Superposisjon, Fourier-matching og ikke-homogene problemer
•lese av grensen når tiden går mot uendelig, og kontrollere den mot den bevarte middelverdien ved isolerte ender
5.2Superposisjon, Fourier-matching og ikke-homogene problemer
•lese av bølgefarten riktig og skrive den generelle løsningen som en venstregående pluss en høyregående bølge
5.3Bølgeligningen og d'Alemberts formel
•gjennomføre variabelskiftet til karakteristiske koordinater og utlede normalformen
5.3Bølgeligningen og d'Alemberts formel
•bruke og navngi d'Alemberts formel, med riktig halvering, riktig faktor foran integralet og riktige grenser
5.3Bølgeligningen og d'Alemberts formel
•avgjøre hvilke deler av linja som kan være påvirket ved en gitt tid, og løse bølgeligningen på et endelig intervall som stående bølger
5.3Bølgeligningen og d'Alemberts formel
•regne ut partielle deriverte av sammensatte uttrykk med riktig indre derivert, og sette dem inn i en gitt likning
5.4Verifiser at en funksjon løser en PDE + klassifisering (4D-signaturen)
•føre en verifikasjon slik at begge sider skrives ut og konklusjonen står eksplisitt
5.4Verifiser at en funksjon løser en PDE + klassifisering (4D-signaturen)
•avgjøre orden, linearitet og homogenitet for en gitt likning, og se bort fra koeffisienter som bare avhenger av de uavhengige variablene
5.4Verifiser at en funksjon løser en PDE + klassifisering (4D-signaturen)
•kontrollere at en løsning også oppfyller rand- og initialbetingelsene, og angi definisjonsområdet der det trengs
5.4Verifiser at en funksjon løser en PDE + klassifisering (4D-signaturen)
•følge en fast åttestegs oppskrift fra oppgavetekst til ferdig kontrollert løsning, uten å hoppe over noe steg
5.5Drill — separasjon av variable fra ende til annen
•kjenne igjen hvilken randtype oppgaven har, og hente riktig egenfunksjonsbasis uten å lete
5.5Drill — separasjon av variable fra ende til annen
•veksle mellom varmelikningen, bølgeligningen og Laplace-likningen med samme romanalyse og ulik tidsfaktor
5.5Drill — separasjon av variable fra ende til annen
•budsjettere tida i den dyreste oppgaven på settet, og se når koeffisientene kan leses av framfor å integreres
5.5Drill — separasjon av variable fra ende til annen
•føre en full separasjonsoppgave under tidspress, med alle tre tilfellene for separasjonskonstanten skrevet ut
5.PPrøver til del 5: Partielle differensiallikninger
•matche initialbetingelsen enten ved direkte avlesing eller ved koeffisientintegral, og redusere et ikke-homogent problem først
5.PPrøver til del 5: Partielle differensiallikninger
•bruke og navngi d'Alemberts formel med riktig fart, riktig faktor og riktige grenser, og skissere resultatet
5.PPrøver til del 5: Partielle differensiallikninger
•verifisere at en gitt funksjon løser en likning med tilhørende rand- og initialbetingelser, og klassifisere likningen riktig
5.PPrøver til del 5: Partielle differensiallikninger
•sette opp kardinalfunksjonene og skrive interpolasjonspolynomet på Lagrange-form
6.1Interpolasjon — Lagrange og Newtons dividerte differanser
•fylle ut en differanstabell og lese av koeffisientene til Newton-formen
6.1Interpolasjon — Lagrange og Newtons dividerte differanser
•begrunne at de to formene gir samme polynom, og bruke entydigheten som symmetriargument
6.1Interpolasjon — Lagrange og Newtons dividerte differanser
•anslå interpolasjonsfeilen med riktig derivertorden og fakultet, og vurdere hvor stramt anslaget er
6.1Interpolasjon — Lagrange og Newtons dividerte differanser
•regne ut en tilnærming til et integral med sammensatt trapes- og Simpson-regel og kontrollere vektmønsteret
6.2Numerisk integrasjon — trapes, Simpson, presisjonsgrad og Gauss–Legendre
•bruke feilleddene til å bestemme hvor mange delintervall som trengs for en gitt toleranse
6.2Numerisk integrasjon — trapes, Simpson, presisjonsgrad og Gauss–Legendre
•bestemme presisjonsgraden til en kvadraturformel ved å teste den på potenser til den feiler
6.2Numerisk integrasjon — trapes, Simpson, presisjonsgrad og Gauss–Legendre
•flytte et integral til standardintervallet og bruke en utdelt node- og vekttabell for Gauss-kvadratur
6.2Numerisk integrasjon — trapes, Simpson, presisjonsgrad og Gauss–Legendre
•skrive en likning på fikspunktform og vurdere hvilken form som gir konvergens
6.3Fikspunktiterasjon og kontraksjon
•sjekke begge fikspunktvilkårene på et intervall og begrunne maksimeringen med monotoni
6.3Fikspunktiterasjon og kontraksjon
•navngi fikspunktteoremet og konkludere om entydighet og konvergens for enhver startverdi
6.3Fikspunktiterasjon og kontraksjon
•bruke a-priori-estimatet til å finne nødvendig antall iterasjoner, med korrekt avrunding oppover
6.3Fikspunktiterasjon og kontraksjon
•vise at en likning har nøyaktig én reell rot ved å kombinere monotoni med mellomverdisetningen
6.4Rotsøking — Newtons metode, biseksjon og sekant
•gjennomføre Newton-skritt for hånd, både for én likning og for et system med to ukjente
6.4Rotsøking — Newtons metode, biseksjon og sekant
•regne ut hvor mange biseksjonsskritt en gitt toleranse krever, med korrekt avrunding oppover
6.4Rotsøking — Newtons metode, biseksjon og sekant
•vurdere hvilken rotsøkingsmetode som passer, og kjenne igjen når Newton svikter
6.4Rotsøking — Newtons metode, biseksjon og sekant
•føre en interpolasjonsoppgave med både Lagrange- og Newton-form og begrunne likheten med entydighetssetningen
6.PPrøver til del 6: Numerisk analyse: interpolasjon, integrasjon og rotsøking
•regne kvadraturtilnærminger med trapes, Simpson og Gauss–Legendre og bestemme presisjonsgrad ved testing
6.PPrøver til del 6: Numerisk analyse: interpolasjon, integrasjon og rotsøking
•vise begge fikspunktvilkårene og regne nødvendig antall iterasjoner med korrekt avrunding
6.PPrøver til del 6: Numerisk analyse: interpolasjon, integrasjon og rotsøking
•kombinere entydighetsargument, Newton-skritt og biseksjonstelling i én sammenhengende rotsøkingsoppgave
6.PPrøver til del 6: Numerisk analyse: interpolasjon, integrasjon og rotsøking
•sette opp og regne ett skritt med Euler, Heun og klassisk Runge–Kutta, med riktige argumenter i hvert stigningstall
7.1Euler, Heun og Runge–Kutta — ett skritt for hånd
•løse det implisitte skrittet i bakover-Euler, både når likningen er lineær og når den ikke er det
7.1Euler, Heun og Runge–Kutta — ett skritt for hånd
•forklare sammenhengen mellom lokal avkuttingsfeil, orden og hvor mye feilen faller når steglengden halveres
7.1Euler, Heun og Runge–Kutta — ett skritt for hånd
•gjenkjenne et stivt problem på at en eksplisitt metode gir voksende eller fortegnsskiftende verdier
7.1Euler, Heun og Runge–Kutta — ett skritt for hånd
•lese en Butcher-tabell og oversette den til stigningstall og sluttformel, begge veier
7.2Butcher-tabeller og ordensbetingelser
•lese koeffisientene ut av en kort Python-implementasjon av en Runge–Kutta-metode
7.2Butcher-tabeller og ordensbetingelser
•verifisere ordenen ved å sjekke alle betingelsene på hvert nivå til den første feiler
7.2Butcher-tabeller og ordensbetingelser
•bekrefte en ordensbestemmelse med et konvergenseksperiment og vite hva et slikt eksperiment ikke viser
7.2Butcher-tabeller og ordensbetingelser
•lese et innfelt par ut av en utdelt Butcher-tabell og bestemme ordenen til hver vektrad
7.3Innfelt RK-par og steglengdekontroll
•regne det lokale feilestimatet fra de to vektradene, med felles stigningstall
7.3Innfelt RK-par og steglengdekontroll
•avgjøre om et skritt aksepteres mot en oppgitt toleranse og si hva som skjer videre
7.3Innfelt RK-par og steglengdekontroll
•bruke steglengdeformelen med riktig eksponent og kontrollere at forslaget peker riktig vei
7.3Innfelt RK-par og steglengdekontroll
•utlede stabilitetsfunksjonen ved å sette testlikningen inn i metodeformelen og faktorisere ut startverdien
7.4Stabilitetsfunksjonen $R(z)$ og stabilitetsintervall
•finne stabilitetsintervallet på den reelle aksen ved å dele kravet i begge ulikhetene
7.4Stabilitetsfunksjonen $R(z)$ og stabilitetsintervall
•oversette intervallet til en maksimal steglengde, og for systemer bruke den mest negative egenverdien
7.4Stabilitetsfunksjonen $R(z)$ og stabilitetsintervall
•skille stabilitet fra nøyaktighet og begrunne når en implisitt metode er nødvendig
7.4Stabilitetsfunksjonen $R(z)$ og stabilitetsintervall
•gjennomføre løsningsoppskriften for ett skritt for hånd uten å slå opp, med riktige argumenter i hvert stigningstall
7.5Drill — numerisk ODE-sjangeren
•bestemme ordenen til en metode fra tabell eller kode, med alle betingelsene på hvert nivå sjekket
7.5Drill — numerisk ODE-sjangeren
•føre en steglengdekontroll med innfelt par fra feilestimat til nytt skritt, med riktig eksponent
7.5Drill — numerisk ODE-sjangeren
•avgjøre stabilitetsgrensen for en metode på en likning eller et system, og skille stabilitet fra nøyaktighet
7.5Drill — numerisk ODE-sjangeren
•ta ett skritt for hånd med Euler, Heun, RK4 og bakover-Euler på det samme problemet, og rangere metodene etter feil og kostnad
7.PPrøver til del 7: Numeriske metoder for ODE
•lese en Runge–Kutta-metode ut av en Butcher-tabell eller et kort Python-program og verifisere ordenen betingelse for betingelse til én feiler
7.PPrøver til del 7: Numeriske metoder for ODE
•regne lokalt feilestimat i et innfelt par, avgjøre om skrittet aksepteres, og foreslå ny steglengde med riktig eksponent
7.PPrøver til del 7: Numeriske metoder for ODE
•utlede stabilitetsfunksjonen $R(z)$ for en gitt metode og finne største tillatte steglengde både for en skalar likning og for et system via egenverdiene
7.PPrøver til del 7: Numeriske metoder for ODE
•skrive opp forlengs, baklengs og sentrale differansekvotienter for den førstederiverte og den dobbeltderiverte, og vite hvilke av dem som ligger på det utdelte formelarket
8.1Differansekvotienter og avkuttingsfeil via Taylor
•utlede avkuttingsfeilen til en differansekvotient med Taylors formel, og lese ordenen ut av det første leddet som overlever
8.1Differansekvotienter og avkuttingsfeil via Taylor
•bestemme ordenen til en metode fra en tabell over feil ved halvert steglengde
8.1Differansekvotienter og avkuttingsfeil via Taylor
•balansere avrundingsfeil mot avkuttingsfeil og finne den steglengden som gjør totalfeilen minst
8.1Differansekvotienter og avkuttingsfeil via Taylor
•sette opp gitteret i rom og tid og lese notasjonen med rom- og tidsindeks riktig
8.2Eksplisitt skjema for varmelikningen og stabilitet $r\le\tfrac12$
•utlede det eksplisitte skjemaet for varmelikningen fra differansekvotientene, og regne ut gitterpunkter for hånd fra gitte initial- og randdata
8.2Eksplisitt skjema for varmelikningen og stabilitet $r\le\tfrac12$
•regne ut stabilitetstallet og avgjøre om skjemaet er stabilt, med begrunnelse fra den veide middelverdien eller fra sagtannmoden
8.2Eksplisitt skjema for varmelikningen og stabilitet $r\le\tfrac12$
•sammenligne den numeriske løsningen med den analytiske løsningen av samme problem og forklare avviket
8.2Eksplisitt skjema for varmelikningen og stabilitet $r\le\tfrac12$
•skrive opp et implisitt differanseskjema for varmelikningen og forklare hvorfor den nye verdien ikke kan isoleres
8.3Crank–Nicolson og implisitte skjemaer
•sette opp Crank–Nicolson som et tridiagonalt likningssystem med riktige randbidrag i høyresiden, og løse det for hånd
8.3Crank–Nicolson og implisitte skjemaer
•utlede forsterkningsfaktoren og vise at skjemaet er stabilt for enhver verdi av stabilitetstallet
8.3Crank–Nicolson og implisitte skjemaer
•vurdere når et implisitt skjema lønner seg framfor et eksplisitt, ut fra regnearbeid og nøyaktighetskrav
8.3Crank–Nicolson og implisitte skjemaer
•diskretisere et randverdiproblem med sentraldifferanser og samle likningene i et lineært system med riktige randbidrag
8.4Randverdiproblemer, falsk rand og kodefeil-lokalisering
•behandle en betingelse på den deriverte ved å innføre en fiktiv node utenfor intervallet og eliminere den
8.4Randverdiproblemer, falsk rand og kodefeil-lokalisering
•forklare hvorfor den fiktive noden bevarer andre orden der en ensidig differanse ville ødelagt den
8.4Randverdiproblemer, falsk rand og kodefeil-lokalisering
•lokalisere den ene feilen i et kort differanseprogram ved å se at en rand- eller initialbetingelse ikke er oppfylt, og forklare hvorfor symptomet følger av feilen
8.4Randverdiproblemer, falsk rand og kodefeil-lokalisering
•utlede avkuttingsfeilen til en differansekvotient under tidspress og balansere den mot avrundingsfeilen
8.PPrøver til del 8: Differansemetoder for PDE og randverdiproblemer
•føre en full oppgave med det eksplisitte varmeskjemaet: stabilitetstall, gitterpunkter for hånd og sammenligning med den analytiske løsningen
8.PPrøver til del 8: Differansemetoder for PDE og randverdiproblemer
•sette opp og løse Crank–Nicolson-systemet med riktige randbidrag, og begrunne den ubetingede stabiliteten
8.PPrøver til del 8: Differansemetoder for PDE og randverdiproblemer
•diskretisere et randverdiproblem med falsk node ved en Neumann-rand, og lokalisere den ene feilen i et kort differanseprogram
8.PPrøver til del 8: Differansemetoder for PDE og randverdiproblemer
•avgjøre for enhver formel i emnet om den står på det utdelte formelarket eller må kunnes aktivt, og begrunne valget
9.1Formelark-verksted — bygg ditt A5-ark og tren oppslaget
•bygge et prioritert A5-ark som dekker de fire søylene og oppskriftene, uten å kaste bort plass på det som allerede deles ut
9.1Formelark-verksted — bygg ditt A5-ark og tren oppslaget
•gjenkjenne oppgavetypen fra oppgaveteksten og gå rett til riktig rad på det utdelte arket
9.1Formelark-verksted — bygg ditt A5-ark og tren oppslaget
•føre de metodenavnene og teoremnavnene fasitpraksisen krever, uten å måtte lete etter dem
9.1Formelark-verksted — bygg ditt A5-ark og tren oppslaget
•gjennomføre et helt firetimers sett under tidspress, med riktig rekkefølge og et tidsbudsjett som holder
9.2Øvingseksamen 1 — den klassiske malen
•føre en besvarelse slik kravet om begrunnelse tilsier: metodenavn skrevet ut, tabelloppslag markert, mellomregning med
9.2Øvingseksamen 1 — den klassiske malen
•kjenne igjen de åtte oppgavetypene som bærer et typisk sett, og velge riktig første grep i hver
9.2Øvingseksamen 1 — den klassiske malen
•vurdere din egen besvarelse mot både en toppbesvarelse og en midtnivåbesvarelse, og se nøyaktig hva som skiller dem
9.2Øvingseksamen 1 — den klassiske malen
•løse en integrallikning og en partiell differensiallikning på hele linja med Fourier-transform, med riktig konvensjonsfaktor hele veien
9.3Øvingseksamen 2 — Fourier-transform og differansemetoder
•redusere et ikke-homogent varmeproblem til et homogent ved hjelp av en stasjonær løsning, og matche initialdataene
9.3Øvingseksamen 2 — Fourier-transform og differansemetoder
•sette opp og kjøre et eksplisitt differanseskjema for hånd, med riktig stabilitetstall og et begrunnet valg av tidssteg
9.3Øvingseksamen 2 — Fourier-transform og differansemetoder
•diskretisere et randverdiproblem med falsk node, og lokalisere den ene feilen i et kort differanseprogram
9.3Øvingseksamen 2 — Fourier-transform og differansemetoder
•gjennomføre et sett med ti likevektede oppgaver på fire timer, med et tidsbudsjett som tåler at én oppgave tar lengre tid enn planlagt
9.4Øvingseksamen 3 — nyeste mal med DFT og innfelt RK-par
•regne ut en diskret Fourier-transform, avgjøre om signalet er reelt, og bruke skifteegenskapen uten å regne på nytt
9.4Øvingseksamen 3 — nyeste mal med DFT og innfelt RK-par
•føre en steglengdekontroll med et innfelt Runge–Kutta-par, med riktig eksponent og riktig orden
9.4Øvingseksamen 3 — nyeste mal med DFT og innfelt RK-par
•vurdere hvor tungt de nyeste sjangrene bør vektes, gitt hvor tynt belegget for dem er i arkivet
9.4Øvingseksamen 3 — nyeste mal med DFT og innfelt RK-par

Kapitler med kompetansemål

0Eksamenskart og formelark-strategi

0.1Slik testes TMA4135 — de fire søylene og formelarket
  • gjøre rede for eksamensformen i emnet: fire timer skriftlig, hjelpemiddelkode C, seks til ti poengvektede oppgaver og kravet om at alle svar skal begrunnes
  • bruke temafrekvensene til å prioritere lesingen og sette opp en realistisk lese- og tidsplan
  • skille mellom det som står på det utdelte formelarket og det du må kunne eller utlede aktivt
  • kjenne igjen de faste oppgavetypene i emnet og vite hvilket første grep hver av dem krever

1Komplekse tall og funksjoner

1.1Komplekse tall, Eulers formel og enhetsrøtter
  • veksle sikkert mellom kartesisk og polar form, og bestemme modulus og hovedargument med riktig kvadrant
  • bruke Eulers formel og de Moivres formel til å regne ut potenser og til å utlede trigonometriske identiteter
  • finne alle n røtter av et komplekst tall, og gjøre rede for de N enhetsrøttene og at summen av dem er null
  • spalte en brøk med et konjugert polpar i nevneren både ved kvadratkomplettering og ved kompleks partialbrøk, og vise at de gir samme reelle uttrykk
1.PPrøver til del 1: Komplekse tall og funksjoner
  • løse oppgaver om polar form, Eulers formel og komplekse røtter under tidspress, med fullstendig føring
  • arbeide sikkert med de N enhetsrøttene, blant annet periodisiteten og at summen av dem er null
  • spalte et uttrykk med et konjugert polpar i nevneren både ved kvadratkomplettering og ved kompleks partialbrøk, og vise at formene er like

2Laplace-transform

2.1Laplace-transformen, derivasjonsregelen og ODE/IVP
  • gjøre rede for hva Laplace-transformen er, når den finnes, og hvorfor tabellen på det utdelte formelarket er nok til å slå opp begge veier
  • bruke derivasjonsregelen til å transformere en differensiallikning med startverdier til en algebraisk likning i $Y(s)$
  • føre en likning med konstante koeffisienter gjennom hele oppskriften i fire skritt og oppgi svaret som eksakt uttrykk
  • bruke førsteforskyvningsteoremet til å lage transformpar som ikke står som egen rad i tabellen
2.2Invers Laplace — delbrøk og kvadratkomplettering
  • lese ut av nevneren i $Y(s)$ hvilken form svaret får, og velge riktig teknikk før du regner
  • spalte en rasjonal brøk i delbrøker ved enkle og multiple reelle poler, og finne tellerne både ved tildekking og ved et lineært system
  • kvadratkomplettere en irredusibel andregradsnevner og justere telleren slik at den treffer måltabellformene for dempet cosinus og sinus
  • gjennomføre den komplekse veien med et konjugert polpar og vise at den gir samme reelle svar som kvadratkompletteringen
2.3Forskyvningsteoremene, Heaviside og Dirac
  • skrive en stykkevis definert last som én formel bygd av enhetssprangfunksjoner, og kontrollere oppdelingen punkt for punkt
  • bruke andreforskyvningsteoremet begge veier, med rekkefølgen «finn $f$ først, forskyv sist» ført eksplisitt
  • skille andreforskyvningsteoremet fra førsteforskyvningsteoremet ut fra hvor eksponentialfaktoren står
  • løse likninger med trappelast og med Dirac-impuls, og kontrollere svaret ved å se på hva som er kontinuerlig og hva som hopper ved påslagstidspunktet
2.4Konvolusjon og integro-differensiallikninger
  • kjenne igjen et konvolusjonsintegral på grensene, produktformen og at argumentene summerer til $t$
  • bruke konvolusjonsteoremet til å gjøre et integralledd om til et produkt, og navngi teoremet i besvarelsen slik sjangeren krever
  • løse integrallikninger og integro-differensiallikninger fra ende til annen, med startverdier satt inn og nevneren faktorisert
  • bruke konvolusjonsteoremet baklengs til å finne en invers transform når produktet ikke står i tabellen
2.5Drill — Laplace-sjangeren fra ende til annen
  • klassifisere en Laplace-oppgave som ren likning, integralledd eller trappe- og impulslast på få sekunder, og velge riktig vei ut fra det
  • føre en hel oppgave fra likning til eksakt svar etter oppskriftens sju skritt, med teoremnavn og tabelloppslag skrevet ut
  • velge den raskeste av flere honorerte metoder og nevne alternativet, slik løsningsforslagene i arkivet gjør
  • kontrollere hvert svar på under et halvt minutt, med startverdier, en innsatt $s$-verdi eller spranget i den deriverte
2.PPrøver til del 2: Laplace-transform
  • løse en likning med startverdier ved hjelp av derivasjonsregelen under tidspress, med fullstendig føring
  • bringe $Y(s)$ på tabellform med delbrøkoppspalting og kvadratkomplettering, og vise at den komplekse veien gir samme reelle svar
  • behandle trappe- og impulslast med andreforskyvningsteoremet i riktig rekkefølge, og kontrollere svaret i påslagspunktet
  • kjenne igjen et integralledd som en konvolusjon, navngi konvolusjonsteoremet, og føre en kjedet oppgave videre selv om et delpunkt glapp

3Fourier-rekker

3.1Fourier-rekker — koeffisienter og symmetriutnyttelse
  • sette opp og regne ut koeffisientintegralene for en funksjon med vilkårlig halvperiode
  • avgjøre om en funksjon er like eller odde, og bruke symmetri til å utelukke koeffisienter før du integrerer
  • bruke delvis integrasjon og reduksjonsformlene fra det utdelte formelarket på ledd av typen polynom ganger cosinus eller sinus
  • kontrollere en ferdig rekke ved å sette inn en bekvem verdi av x, og bruke innsettingen til å summere en tallrekke
3.2Halvintervall-utvidelser, konvergens og midling
  • utvide en funksjon gitt på et halvintervall til en odde eller like periodisk funksjon, og velge utvidelse ut fra hva oppgaven krever
  • skissere den periodiske utvidelsen over flere perioder med sprangene og midlingsverdiene riktig markert
  • bruke konvergensteoremet til å angi hva rekka gir i et vilkårlig punkt, også i sprang og i endepunktene
  • sette inn en bekvem x-verdi i en ferdig rekke og utlede summen av en tallrekke
3.3Kompleks Fourier-rekke
  • regne ut de komplekse Fourier-koeffisientene for en gitt funksjon, også for generell halvperiode
  • veksle begge veier mellom den komplekse og den reelle formen med broformlene
  • bruke konjugert symmetri til å avgjøre om et sett koeffisienter kan komme fra en reell funksjon, og til å halvere regnearbeidet
  • velge mellom reell og kompleks form ut fra hvordan integranden ser ut, og begrunne valget
3.4Drill — Fourier-rekke-sjangeren
  • gjennomføre løsningsoppskriftens sju steg på en ny funksjon uten å slå opp
  • velge riktig utvidelse og begrunne valget, og skissere den periodiske utvidelsen med sprang og midlingsverdier
  • føre en full Fourier-oppgave som en toppbesvarelse, med metodenavn og tabelloppslag skrevet ut
  • kontrollere et ferdig svar ved innsetting og ved å vurdere hvor raskt koeffisientene faller
3.PPrøver til del 3: Fourier-rekker
  • løse fulle Fourier-rekke-oppgaver under tidspress, med begrunnet symmetri og markerte tabelloppslag
  • utvide en funksjon fra et halvintervall, skissere utvidelsen over flere perioder og behandle midlingen i hvert sprang
  • veksle sikkert mellom kompleks og reell form, og bruke konjugert symmetri som kontroll
  • føre en flertrinns eksamensoppgave der delpunktene bygger på hverandre, og isolere en tallrekkesum til slutt

4Fourier-transform og DFT

4.1Fourier-transformen — tabell, derivasjons- og konvolusjonsregel
  • regne ut en Fourier-transform ved å kjenne igjen riktig rad på det utdelte formelarket og sette inn riktig parameter
  • bruke linearitet, forskyvning, skalering og derivasjonsregelen til å transformere sammensatte uttrykk uten å integrere
  • gjenkjenne en konvolusjon og bruke konvolusjonsteoremet med riktig normeringsfaktor
  • løse en integrallikning ved å transformere, løse algebraisk for transformen og lese tabellen baklengs
4.2Fourier-transform for PDE på hele $\mathbb{R}$
  • oversette en partiell differensiallikning på hele tallinja til en ordinær differensiallikning i tid ved Fourier-transform
  • løse den transformerte likningen med omega som konstant og bestemme integrasjonskonstanten fra initialdata
  • transformere tilbake ved å kjenne igjen tabellraden med tiden gjemt i parameteren
  • avgjøre ut fra domenet om Fourier-transform eller separasjon av variable er riktig metode
4.3Diskret Fourier-transform (DFT)
  • regne ut den diskrete Fourier-transformen av en kort datavektor og kontrollere svaret med middelverdien
  • avgjøre om et gitt sett koeffisienter kan komme fra et reelt signal, ved konjugert symmetri
  • bevise og bruke skifteegenskapen for syklisk skift, og forklare hvorfor amplitudespekteret er uendret
  • gjøre rede for aliasing og lese av koeffisientene til et båndbegrenset signal uten å regne ut summer
4.PPrøver til del 4: Fourier-transform og DFT
  • regne ut Fourier-transformer fra tabellen under tidspress, med riktig parameter og markert oppslag
  • løse en integrallikning av konvolusjonstype hele veien fram til funksjonen, med riktig normeringsfaktor
  • gjennomføre firestegsoppskriften for en partiell differensiallikning på hele tallinja og tolke leddene
  • regne ut en diskret Fourier-transform, kontrollere den med reell-testen og bruke skifteegenskapen

5Partielle differensiallikninger

5.1Separasjon av variable — varmelikningen og de tre $k$-tilfellene
  • sette inn produktansatsen i en partiell differensiallikning og dele den i to vanlige differensiallikninger med tydelig fortegnskonvensjon
  • oversette randbetingelser på u til randbetingelser på romfaktoren, og se hvorfor det krever at tidsfaktoren ikke er null
  • behandle alle tre tilfellene for separasjonskonstanten eksplisitt, og vise hvilke som bare gir den trivielle løsningen
  • finne egenverdier og egenfunksjoner ved kalde ender, isolerte ender og blandet rand, og kontrollere svaret ved innsetting i både likningen og randbetingelsene
5.2Superposisjon, Fourier-matching og ikke-homogene problemer
  • superponere produktløsningene til en rekke og forklare hvorfor det krever lineær likning og homogene randbetingelser
  • bestemme koeffisientene ved direkte avlesing når initialdataene er en sum av egenfunksjoner, og ved koeffisientintegral ellers
  • redusere et problem med faste randtemperaturer eller et konstant kildeledd til et homogent problem ved hjelp av en stasjonær løsning
  • lese av grensen når tiden går mot uendelig, og kontrollere den mot den bevarte middelverdien ved isolerte ender
5.3Bølgeligningen og d'Alemberts formel
  • lese av bølgefarten riktig og skrive den generelle løsningen som en venstregående pluss en høyregående bølge
  • gjennomføre variabelskiftet til karakteristiske koordinater og utlede normalformen
  • bruke og navngi d'Alemberts formel, med riktig halvering, riktig faktor foran integralet og riktige grenser
  • avgjøre hvilke deler av linja som kan være påvirket ved en gitt tid, og løse bølgeligningen på et endelig intervall som stående bølger
5.4Verifiser at en funksjon løser en PDE + klassifisering (4D-signaturen)
  • regne ut partielle deriverte av sammensatte uttrykk med riktig indre derivert, og sette dem inn i en gitt likning
  • føre en verifikasjon slik at begge sider skrives ut og konklusjonen står eksplisitt
  • avgjøre orden, linearitet og homogenitet for en gitt likning, og se bort fra koeffisienter som bare avhenger av de uavhengige variablene
  • kontrollere at en løsning også oppfyller rand- og initialbetingelsene, og angi definisjonsområdet der det trengs
5.5Drill — separasjon av variable fra ende til annen
  • følge en fast åttestegs oppskrift fra oppgavetekst til ferdig kontrollert løsning, uten å hoppe over noe steg
  • kjenne igjen hvilken randtype oppgaven har, og hente riktig egenfunksjonsbasis uten å lete
  • veksle mellom varmelikningen, bølgeligningen og Laplace-likningen med samme romanalyse og ulik tidsfaktor
  • budsjettere tida i den dyreste oppgaven på settet, og se når koeffisientene kan leses av framfor å integreres
5.PPrøver til del 5: Partielle differensiallikninger
  • føre en full separasjonsoppgave under tidspress, med alle tre tilfellene for separasjonskonstanten skrevet ut
  • matche initialbetingelsen enten ved direkte avlesing eller ved koeffisientintegral, og redusere et ikke-homogent problem først
  • bruke og navngi d'Alemberts formel med riktig fart, riktig faktor og riktige grenser, og skissere resultatet
  • verifisere at en gitt funksjon løser en likning med tilhørende rand- og initialbetingelser, og klassifisere likningen riktig

6Numerisk analyse: interpolasjon, integrasjon og rotsøking

6.1Interpolasjon — Lagrange og Newtons dividerte differanser
  • sette opp kardinalfunksjonene og skrive interpolasjonspolynomet på Lagrange-form
  • fylle ut en differanstabell og lese av koeffisientene til Newton-formen
  • begrunne at de to formene gir samme polynom, og bruke entydigheten som symmetriargument
  • anslå interpolasjonsfeilen med riktig derivertorden og fakultet, og vurdere hvor stramt anslaget er
6.2Numerisk integrasjon — trapes, Simpson, presisjonsgrad og Gauss–Legendre
  • regne ut en tilnærming til et integral med sammensatt trapes- og Simpson-regel og kontrollere vektmønsteret
  • bruke feilleddene til å bestemme hvor mange delintervall som trengs for en gitt toleranse
  • bestemme presisjonsgraden til en kvadraturformel ved å teste den på potenser til den feiler
  • flytte et integral til standardintervallet og bruke en utdelt node- og vekttabell for Gauss-kvadratur
6.3Fikspunktiterasjon og kontraksjon
  • skrive en likning på fikspunktform og vurdere hvilken form som gir konvergens
  • sjekke begge fikspunktvilkårene på et intervall og begrunne maksimeringen med monotoni
  • navngi fikspunktteoremet og konkludere om entydighet og konvergens for enhver startverdi
  • bruke a-priori-estimatet til å finne nødvendig antall iterasjoner, med korrekt avrunding oppover
6.4Rotsøking — Newtons metode, biseksjon og sekant
  • vise at en likning har nøyaktig én reell rot ved å kombinere monotoni med mellomverdisetningen
  • gjennomføre Newton-skritt for hånd, både for én likning og for et system med to ukjente
  • regne ut hvor mange biseksjonsskritt en gitt toleranse krever, med korrekt avrunding oppover
  • vurdere hvilken rotsøkingsmetode som passer, og kjenne igjen når Newton svikter
6.PPrøver til del 6: Numerisk analyse: interpolasjon, integrasjon og rotsøking
  • føre en interpolasjonsoppgave med både Lagrange- og Newton-form og begrunne likheten med entydighetssetningen
  • regne kvadraturtilnærminger med trapes, Simpson og Gauss–Legendre og bestemme presisjonsgrad ved testing
  • vise begge fikspunktvilkårene og regne nødvendig antall iterasjoner med korrekt avrunding
  • kombinere entydighetsargument, Newton-skritt og biseksjonstelling i én sammenhengende rotsøkingsoppgave

7Numeriske metoder for ODE

7.1Euler, Heun og Runge–Kutta — ett skritt for hånd
  • sette opp og regne ett skritt med Euler, Heun og klassisk Runge–Kutta, med riktige argumenter i hvert stigningstall
  • løse det implisitte skrittet i bakover-Euler, både når likningen er lineær og når den ikke er det
  • forklare sammenhengen mellom lokal avkuttingsfeil, orden og hvor mye feilen faller når steglengden halveres
  • gjenkjenne et stivt problem på at en eksplisitt metode gir voksende eller fortegnsskiftende verdier
7.2Butcher-tabeller og ordensbetingelser
  • lese en Butcher-tabell og oversette den til stigningstall og sluttformel, begge veier
  • lese koeffisientene ut av en kort Python-implementasjon av en Runge–Kutta-metode
  • verifisere ordenen ved å sjekke alle betingelsene på hvert nivå til den første feiler
  • bekrefte en ordensbestemmelse med et konvergenseksperiment og vite hva et slikt eksperiment ikke viser
7.3Innfelt RK-par og steglengdekontroll
  • lese et innfelt par ut av en utdelt Butcher-tabell og bestemme ordenen til hver vektrad
  • regne det lokale feilestimatet fra de to vektradene, med felles stigningstall
  • avgjøre om et skritt aksepteres mot en oppgitt toleranse og si hva som skjer videre
  • bruke steglengdeformelen med riktig eksponent og kontrollere at forslaget peker riktig vei
7.4Stabilitetsfunksjonen $R(z)$ og stabilitetsintervall
  • utlede stabilitetsfunksjonen ved å sette testlikningen inn i metodeformelen og faktorisere ut startverdien
  • finne stabilitetsintervallet på den reelle aksen ved å dele kravet i begge ulikhetene
  • oversette intervallet til en maksimal steglengde, og for systemer bruke den mest negative egenverdien
  • skille stabilitet fra nøyaktighet og begrunne når en implisitt metode er nødvendig
7.5Drill — numerisk ODE-sjangeren
  • gjennomføre løsningsoppskriften for ett skritt for hånd uten å slå opp, med riktige argumenter i hvert stigningstall
  • bestemme ordenen til en metode fra tabell eller kode, med alle betingelsene på hvert nivå sjekket
  • føre en steglengdekontroll med innfelt par fra feilestimat til nytt skritt, med riktig eksponent
  • avgjøre stabilitetsgrensen for en metode på en likning eller et system, og skille stabilitet fra nøyaktighet
7.PPrøver til del 7: Numeriske metoder for ODE
  • ta ett skritt for hånd med Euler, Heun, RK4 og bakover-Euler på det samme problemet, og rangere metodene etter feil og kostnad
  • lese en Runge–Kutta-metode ut av en Butcher-tabell eller et kort Python-program og verifisere ordenen betingelse for betingelse til én feiler
  • regne lokalt feilestimat i et innfelt par, avgjøre om skrittet aksepteres, og foreslå ny steglengde med riktig eksponent
  • utlede stabilitetsfunksjonen $R(z)$ for en gitt metode og finne største tillatte steglengde både for en skalar likning og for et system via egenverdiene

8Differansemetoder for PDE og randverdiproblemer

8.1Differansekvotienter og avkuttingsfeil via Taylor
  • skrive opp forlengs, baklengs og sentrale differansekvotienter for den førstederiverte og den dobbeltderiverte, og vite hvilke av dem som ligger på det utdelte formelarket
  • utlede avkuttingsfeilen til en differansekvotient med Taylors formel, og lese ordenen ut av det første leddet som overlever
  • bestemme ordenen til en metode fra en tabell over feil ved halvert steglengde
  • balansere avrundingsfeil mot avkuttingsfeil og finne den steglengden som gjør totalfeilen minst
8.2Eksplisitt skjema for varmelikningen og stabilitet $r\le\tfrac12$
  • sette opp gitteret i rom og tid og lese notasjonen med rom- og tidsindeks riktig
  • utlede det eksplisitte skjemaet for varmelikningen fra differansekvotientene, og regne ut gitterpunkter for hånd fra gitte initial- og randdata
  • regne ut stabilitetstallet og avgjøre om skjemaet er stabilt, med begrunnelse fra den veide middelverdien eller fra sagtannmoden
  • sammenligne den numeriske løsningen med den analytiske løsningen av samme problem og forklare avviket
8.3Crank–Nicolson og implisitte skjemaer
  • skrive opp et implisitt differanseskjema for varmelikningen og forklare hvorfor den nye verdien ikke kan isoleres
  • sette opp Crank–Nicolson som et tridiagonalt likningssystem med riktige randbidrag i høyresiden, og løse det for hånd
  • utlede forsterkningsfaktoren og vise at skjemaet er stabilt for enhver verdi av stabilitetstallet
  • vurdere når et implisitt skjema lønner seg framfor et eksplisitt, ut fra regnearbeid og nøyaktighetskrav
8.4Randverdiproblemer, falsk rand og kodefeil-lokalisering
  • diskretisere et randverdiproblem med sentraldifferanser og samle likningene i et lineært system med riktige randbidrag
  • behandle en betingelse på den deriverte ved å innføre en fiktiv node utenfor intervallet og eliminere den
  • forklare hvorfor den fiktive noden bevarer andre orden der en ensidig differanse ville ødelagt den
  • lokalisere den ene feilen i et kort differanseprogram ved å se at en rand- eller initialbetingelse ikke er oppfylt, og forklare hvorfor symptomet følger av feilen
8.PPrøver til del 8: Differansemetoder for PDE og randverdiproblemer
  • utlede avkuttingsfeilen til en differansekvotient under tidspress og balansere den mot avrundingsfeilen
  • føre en full oppgave med det eksplisitte varmeskjemaet: stabilitetstall, gitterpunkter for hånd og sammenligning med den analytiske løsningen
  • sette opp og løse Crank–Nicolson-systemet med riktige randbidrag, og begrunne den ubetingede stabiliteten
  • diskretisere et randverdiproblem med falsk node ved en Neumann-rand, og lokalisere den ene feilen i et kort differanseprogram

9Eksamenstrening

9.1Formelark-verksted — bygg ditt A5-ark og tren oppslaget
  • avgjøre for enhver formel i emnet om den står på det utdelte formelarket eller må kunnes aktivt, og begrunne valget
  • bygge et prioritert A5-ark som dekker de fire søylene og oppskriftene, uten å kaste bort plass på det som allerede deles ut
  • gjenkjenne oppgavetypen fra oppgaveteksten og gå rett til riktig rad på det utdelte arket
  • føre de metodenavnene og teoremnavnene fasitpraksisen krever, uten å måtte lete etter dem
9.2Øvingseksamen 1 — den klassiske malen
  • gjennomføre et helt firetimers sett under tidspress, med riktig rekkefølge og et tidsbudsjett som holder
  • føre en besvarelse slik kravet om begrunnelse tilsier: metodenavn skrevet ut, tabelloppslag markert, mellomregning med
  • kjenne igjen de åtte oppgavetypene som bærer et typisk sett, og velge riktig første grep i hver
  • vurdere din egen besvarelse mot både en toppbesvarelse og en midtnivåbesvarelse, og se nøyaktig hva som skiller dem
9.3Øvingseksamen 2 — Fourier-transform og differansemetoder
  • løse en integrallikning og en partiell differensiallikning på hele linja med Fourier-transform, med riktig konvensjonsfaktor hele veien
  • redusere et ikke-homogent varmeproblem til et homogent ved hjelp av en stasjonær løsning, og matche initialdataene
  • sette opp og kjøre et eksplisitt differanseskjema for hånd, med riktig stabilitetstall og et begrunnet valg av tidssteg
  • diskretisere et randverdiproblem med falsk node, og lokalisere den ene feilen i et kort differanseprogram
9.4Øvingseksamen 3 — nyeste mal med DFT og innfelt RK-par
  • gjennomføre et sett med ti likevektede oppgaver på fire timer, med et tidsbudsjett som tåler at én oppgave tar lengre tid enn planlagt
  • regne ut en diskret Fourier-transform, avgjøre om signalet er reelt, og bruke skifteegenskapen uten å regne på nytt
  • føre en steglengdekontroll med et innfelt Runge–Kutta-par, med riktig eksponent og riktig orden
  • vurdere hvor tungt de nyeste sjangrene bør vektes, gitt hvor tynt belegget for dem er i arkivet
Tilbake til TMA4135 Matematikk 4D