2.1 Laplace-transformen, derivasjonsregelen og ODE/IVP

$$F(s) = \mathcal{L}\{f\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$$

Merk skrivemåten: krøllparentesen $\mathcal{L}\{f\}$ leses «Laplace-transformen av $f$», og resultatet er en funksjon av $s$ alene — all $t$-avhengighet er integrert bort. Vi bruker gjennomgående liten bokstav for tidsfunksjonen og stor bokstav for transformen: $f \leftrightarrow F$, $y \leftrightarrow Y$, $g \leftrightarrow G$.

Faktoren $e^{-st}$ er der for å tvinge integralet til å konvergere. Vokser $f$ ikke altfor fort, vinner $e^{-st}$ kappløpet så lenge $s$ er stor nok.

En funksjon som er sammenhengende overalt bortsett fra i endelig mange punkter på hvert endelig intervall, og som har endelige ensidige grenseverdier i hoppene.

En trappefunksjon som slår om fra $1$ til $4$ ved $t=2$ er stykkevis kontinuerlig; den har ett hopp, og hoppet er endelig. Dette er nøyaktig den klassen av pådrag Laplace-metoden håndterer uten videre — og grunnen til at metoden slår alle alternativer når lasten skrus av og på (kap. 2.3).

$$|f(t)| \le M e^{ct} \qquad \text{for alle store } t.$$

Alle funksjoner du møter på eksamen oppfyller dette: polynomer, $e^{at}$, $\sin$, $\cos$, $\sinh$, $\cosh$ og trappefunksjoner. Funksjonen $e^{t^2}$ gjør det ikke, og har ingen Laplace-transform. Du skal ikke sjekke vilkåret i hver oppgave — men du skal vite at det er det som ligger under.

$$\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}.$$

Tellerens $n!$ er fakultetet: $0!=1$, $1!=1$, $2!=2$, $3!=6$, $4!=24$. Eksponenten i nevneren er alltid én mer enn potensen du startet med. Spesialtilfellet $n=0$ gir $\mathcal{L}\{1\}=1/s$.

$$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}, \qquad s>a.$$

Tallet $a$ kan være positivt eller negativt: $\mathcal{L}\{e^{-3t}\}=1/(s+3)$. Baklengs betyr det at hver faktor $(s-a)$ i en nevner svarer til et ledd $e^{at}$ i svaret — det er hele grunnlaget for delbrøkoppspaltingen i kap. 2.2.

$$\mathcal{L}\{\cos\omega t\} = \frac{s}{s^2+\omega^2}, \qquad \mathcal{L}\{\sin\omega t\} = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}.$$

Huskeregelen som virker: cosinus har $s$ i telleren, sinus har $\omega$. Baklengs: ser du en nevner $s^2+9$, er $\omega = 3$, og telleren avgjør om svaret blir $\cos 3t$ eller $\sin 3t$. Er telleren $6$, må du skrive den som $2\cdot 3$ og få $2\sin 3t$.

$$\mathcal{L}\{\cosh at\} = \frac{s}{s^2-a^2}, \qquad \mathcal{L}\{\sinh at\} = \frac{a}{s^2-a^2}.$$

De hyperbolske funksjonene er bare en annen skrivemåte for eksponentialfunksjoner: $\cosh at = \tfrac12(e^{at}+e^{-at})$ og $\sinh at = \tfrac12(e^{at}-e^{-at})$. Derfor kan du alltid velge om du vil skrive svaret som $3\sinh 2t$ eller som $\tfrac32(e^{2t}-e^{-2t})$ — begge former er riktige, og begge gir full uttelling.

Fortegnet i nevneren er hele forskjellen: $s^2+\omega^2$ gir svingninger, $s^2-a^2$ gir vekst og demping.

$$\mathcal{L}\{\alpha f + \beta g\} = \alpha\,\mathcal{L}\{f\} + \beta\,\mathcal{L}\{g\}.$$

Den følger direkte av at integralet er lineært. Linearitet er grunnen til at hele metoden virker på likninger som $y''+3y'-4y$: hvert ledd transformeres for seg, og konstantene blir stående. Den gjelder også den motsatte veien, for den inverse transformen.

Advarsel: linearitet gjelder ikke for produkter. $\mathcal{L}\{f\cdot g\}$ er ikke $F\cdot G$ — det riktige svaret på det spørsmålet er konvolusjonsteoremet i kap. 2.4.

$$\mathcal{L}\{y'\} = sY - y(0).$$

Vi skriver bare $Y$ i stedet for $Y(s)$ når det ikke kan misforstås. Regelen må kunnes eller utledes aktivt — den står ikke på det utdelte formelarket, og uten den finnes det ingen Laplace-metode for differensiallikninger.

$$\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y - s\,y(0) - y'(0).$$

Legg merke til strukturen: $s$-potensen faller med én for hvert ledd, og startverdiene stiger i derivasjonsorden. Leddet $-s\,y(0)$ er det som oftest forsvinner i en besvarelse — og det er en fortegns- og tallfeil som forplanter seg til hele svaret. Denne regelen må kunnes eller utledes aktivt.

$$\mathcal{L}\{y^{(n)}\} = s^nY - s^{n-1}y(0) - s^{n-2}y'(0) - \dots - y^{(n-1)}(0).$$

For tredje orden, som dukker opp i flere av settene:

$$\mathcal{L}\{y'''\} = s^3Y - s^2y(0) - s\,y'(0) - y''(0).$$

Kontrollregel: antall startverdi-ledd er alltid lik derivasjonsordenen, og summen av $s$-potensen og derivasjonsordenen på startverdien er alltid $n-1$ i hvert ledd. Har du tre ledd etter $s^3Y$ i en tredjeordens likning, har du sannsynligvis riktig.

En differensiallikning pluss like mange startverdier som likningens orden. En andreordens likning trenger $y(0)$ og $y'(0)$; en tredjeordens trenger i tillegg $y''(0)$.

Forkortelsen som brukes i litteraturen er IVP, av engelsk initial value problem. Boka skriver som oftest «likning med startverdier». Poenget for Laplace-metoden er at startverdiene må være gitt i samme punkt, og det punktet må være $t=0$ — er de gitt i to forskjellige punkter, er det et randverdiproblem, og da hjelper ikke denne metoden.

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}.$$

$Y(s)$ er ikke svaret. Det er svaret skrevet i et annet språk, og siste skritt er å oversette tilbake. I praksis er $Y(s)$ alltid en rasjonal funksjon — en brøk mellom to polynomer i $s$ — når likningen har konstante koeffisienter og høyresiden er av vanlig type.

$$y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}.$$

I praksis regner du aldri ut et invers-integral. Du leser tabellen baklengs: du former $Y(s)$ om til noe som står i høyre kolonne, og leser av venstre. Hele kap. 2.2 handler om de to omformingene som trengs for det.

Den inverse transformen er lineær, akkurat som den framlengs: $\mathcal{L}^{-1}\{\alpha F + \beta G\} = \alpha f + \beta g$.

Regelen som gjør at «jeg kjente igjen uttrykket i tabellen» er et gyldig argument. To kontinuerlige funksjoner med samme Laplace-transform er like.

Konsekvensen: finner du én funksjon som har transformen $Y(s)$, har du funnet den eneste. Du trenger ikke begrunne at det ikke finnes andre. Dette er grunnen til at fasitene skriver «fra tabellen følger …» uten videre forklaring — og det er lov for deg også, så lenge du sier hvilken rad du brukte.

Løsningsgangen som gjentas i hele Del 2:

1. Transformer hvert ledd i likningen med linearitet og derivasjonsregelen.
2. Sett inn startverdiene med det samme — ikke til slutt.
3. Løs algebraisk for $Y(s)$. Dette er ren brøkregning, ingen kalkulus.
4. Transformer tilbake ved å forme $Y(s)$ om til tabellform og lese av.

Oppskriften må kunnes eller utledes aktivt. Skritt 4 er der de fleste poengene tapes, og det er derfor kap. 2.2 er et helt kapittel om akkurat det skrittet.

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a).$$

Praktisk: finn transformen til $f$ først, og bytt så hver eneste $s$ i svaret ut med $s-a$. Regelen kalles «første» fordi det finnes en andre forskyvning — den handler om forskyvning i tid, ikke i $s$, og kommer i kap. 2.3. Å forveksle de to er den vanligste feilen i hele Del 2.

Regelen står som regel på det utdelte formelarket, men du skal kunne bruke den begge veier uten å slå opp — den baklengse retningen er hele poenget med kvadratkomplettering i kap. 2.2.

$$\mathcal{L}\{t^n e^{at}\} = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.$$

Spesialtilfellet $n=1$ er det du møter oftest: $\mathcal{L}\{t e^{at}\} = 1/(s-a)^2$. Baklengs betyr det at en dobbel faktor $(s-a)^2$ i en nevner gir et ledd med $t$ ganget på eksponentialfunksjonen — et mønster du får bruk for i kap. 2.2.

$$\frac{N(s)}{(s-r_1)(s-r_2)\cdots(s-r_m)} = \frac{A_1}{s-r_1} + \frac{A_2}{s-r_2} + \dots + \frac{A_m}{s-r_m},$$

finner du $A_k$ ved å dekke til faktoren $(s-r_k)$ i den opprinnelige brøken og sette $s = r_k$ i alt som er igjen.

Metoden må kunnes eller utledes aktivt — den står ikke på formelarket. Den gjelder bare for enkle røtter; doble røtter og andregradsnevnere uten reelle røtter håndteres i kap. 2.2.

Kontrollen som alltid virker: sett inn en enkel $s$-verdi, for eksempel $s=0$, på begge sider og se at tallene stemmer.

En $s$-verdi der en brøk sprenger, altså der nevneren er null mens telleren ikke er det.

For $Y(s) = (s+2)/\left(s^2+4\right)$ er polene $s = \pm 2i$. For $Y(s)=1/((s-1)(s-3))$ er de $s=1$ og $s=3$.

Hvorfor polene er verdt å se på med én gang: de bestemmer formen på svaret før du har regnet ferdig. Reelle poler gir eksponentialfunksjoner, et par rent imaginære poler gir rene svingninger, og et par komplekse poler $a\pm bi$ gir dempede svingninger $e^{at}\cos bt$ og $e^{at}\sin bt$. Ser du polene, vet du hva slags svar du skal ende opp med.

En pol er enkel når faktoren står i første potens, som $(s-3)$, og multippel når den er opphøyd, som $(s-3)^2$.

Skillet avgjør hvordan brøken spaltes. En enkel pol gir ett ledd, $A/(s-3)$, og et rent eksponentialledd i svaret. En dobbel pol gir to ledd, $A/(s-3)+B/(s-3)^2$, og svaret får med seg en faktor $t$: $\left(A+Bt\right)e^{3t}$. Tildekkingsmetoden alene er ikke nok ved multiple poler — se kap. 2.2.

En brøk mellom to polynomer, som $\dfrac{s^2+4}{s^3-4s}$.

At $Y(s)$ nesten alltid blir rasjonal, er hele grunnen til at metoden er praktisk: rasjonale funksjoner kan alltid spaltes i enkle brøker som står i tabellen. Er graden i telleren mindre enn i nevneren — en ekte brøk — går oppspaltingen rett. Er den ikke det, må du dele ut først.

Polynomet du får foran $Y$ når du transformerer venstresiden av en likning med konstante koeffisienter.

For $y''+3y'-4y$ blir det $s^2+3s-4$ — nøyaktig likningen med $y''\to s^2$, $y'\to s$ og $y\to 1$. Dette er den samme karakteristiske likningen du kjenner fra den klassiske løsningsmetoden, og røttene er de samme.

Praktisk nytte: du kan skrive parentesen ned direkte, uten å transformere ledd for ledd, og bruke tiden på startverdibidraget i stedet. Det er også en gratis kontroll: stemmer ikke parentesen med likningen, har du regnefeil.

$$F(s) \to 0 \qquad \text{når } s\to\infty.$$

Praktisk betyr det at telleren i $F(s)$ alltid må ha lavere grad enn nevneren. Ender du med $F(s) = (s^2+1)/(s^2+4)$, som går mot $1$, har du regnet feil et sted. Sjekken koster to sekunder og fanger overraskende mange slurvefeil.

$$\mathcal{L}\{t\,f(t)\} = -F'(s).$$

Den brukes sjelden direkte på eksamen, men den forklarer hvor faktorene $t$ i svarene kommer fra. Er $F(s)=1/(s-a)$, så er $-F'(s) = 1/(s-a)^2$, altså $\mathcal{L}\{te^{at}\}=1/(s-a)^2$ — samme resultat som førsteforskyvningen ga. To veier til samme rad; velg den du husker.

Kravet i oppgaveteksten om at svaret skal stå som et lukket uttrykk, ikke som et desimaltall.

$\tfrac12\left(e^{3t}-e^{t}\right)$ er eksakt; $0{,}5e^{3t}-0{,}5e^{t}$ er også greit, men $1{,}41\sin(2t+0{,}79)$ er det ikke — der er både $\sqrt2$ og $\pi/4$ rundet av. Regelen i dette emnet er: eksakt uttrykk der det går an, tallverdi med nok siffer ellers. Ber en oppgave om et tall, oppgir du et tall; ellers lar du røttene og $\pi$-ene stå.

Reglementet som avgjør hva du har med deg inn i eksamenslokalet: bestemte trykte og håndskrevne hjelpemidler pluss en enkel kalkulator. I praksis betyr det ett gult, stemplet A5-ark med dine egne håndskrevne notater — og et formelark som deles ut sammen med oppgavesettet.

Formelarket inneholder blant annet hele Laplace-tabellen. Derfor er det ikke tabellen som avgjør karakteren, men om du klarer å se hvilken rad en oppgave hører til og føre regningen fram. Boka markerer derfor gjennomgående hva som står på det utdelte formelarket — tren oppslaget og hva som må kunnes eller utledes aktivt.