2.2 Invers Laplace — delbrøk og kvadratkomplettering

De to teknikkene for å bringe $Y(s)$ på tabellform: delbrøkoppspalting og kvadratkomplettering — begge honoreres, boka viser begge.

60 min

15 oppgaver

Invers Laplacedelbrøkkvadratkomplettering

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Dette er der studenter ryker. Å transformere likningen er mekanikk; å komme tilbake er håndverk.

Laplace-blokken står på 13 av 13 sett i frekvensgrunnlaget, og den inverse transformen er halve jobben i hver eneste av dem. Løsningsforslagene i arkivet viser gjennomgående flere veier til samme svar for den samme brøken — reell delbrøkoppspalting, kompleks delbrøkoppspalting og kvadratkomplettering — og alle godtas. På ett av settene er kvadratkompletteringen omtalt som den raskeste. Boka viser derfor begge veier hver gang de finnes, og sier hvilken som går fortest.

Det samme gjelder tellerne i en oppspalting: de kan finnes ved tildekking (sett inn den $s$ -verdien som nuller ut en parentes) eller ved å løse et lineært system. Begge er honorert i arkivets fasiter. Velg den raskeste, og nevn at den andre finnes.

Formelark-merking. Måltabellformene du sikter mot —
$\frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2} \leftrightarrow e^{at}\sin\omega t, \qquad \frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2} \leftrightarrow e^{at}\cos\omega t$
— står på det utdelte formelarket — tren oppslaget. Men selve manøveren, det å spalte en brøk eller fullføre et kvadrat slik at den treffer en av radene, må kunnes eller utledes aktivt. Det står ingen steder på arket, og det er nettopp der poengene ligger.

Forkunnskaper: kap. 2.1 — tabellen over transformpar, derivasjonsregelen, førsteforskyvningsteoremet

\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)

og tildekkingsmetoden for enkle poler. Fra kap. 1.1 trengs komplekse tall på formen

a\pm bi

, konjugat og kvadratkomplettering av et andregradsuttrykk.

Ellers forutsettes vanlig brøkregning og faktorisering av polynomer. Kapitlet er forutsetning for kap. 2.3, kap. 2.4 og drillen i kap. 2.5.

Veien tilbake er den trange delen

Se for deg at du har oversatt en setning til et fremmedspråk ved å slå opp ord for ord. Å oversette tilbake er verre: nå står det en frase i ordboka som ikke helt matcher det du har, og du må skrive den om før du finner den.

Slik er det med den inverse Laplace-transformen. Etter at du har løst for $Y(s)$ , sitter du med noe som
$Y(s) = \frac{2s-1}{s^2-6s+25}.$
Ingen rad i tabellen ser slik ut. Men to enkle omskrivninger — delbrøkoppspalting og kvadratkomplettering — får nesten enhver brøk over på en form som står der.

Det er hele kapitlet. To teknikker, brukt om og om igjen, og en klar regel for hvilken du velger:

- Kan nevneren faktoriseres i reelle førstegradsfaktorer? Del opp i delbrøker.
- Har nevneren et andregradsledd uten reelle røtter? Fullfør kvadratet.
- Begge deler i samme nevner? Del opp først, fullfør kvadratet på restleddet.

Tidsplan for kapitlet (~60 min lesetid): seks løkker, med et naturlig pausepunkt etter løkke 3. Anslaget gjelder lesing; regner du oppgavene med penn, kan du gange med rundt 1,5.

Løkke 1 — Les svaret av nevneren før du regner (~8 min)

Før du gjør noe som helst: se på nevneren. Den forteller hvilken form svaret får, og dermed hvilken teknikk du skal bruke. Denne halve setningen sparer deg for feil vei.

Ekte og uekte rasjonal brøk

\dfrac{2s-1}{s^2-6s+25}

Å lese svarformen ut av nevneren

y(t)

Faktor i nevneren	Ledd i $y(t)$
$s-a$ (enkel)	$Ce^{at}$
$(s-a)^2$ (dobbel)	$\left(C_1+C_2t\right)e^{at}$
$s^2+\omega^2$	$\cos\omega t$ og $\sin\omega t$
$s^2-a^2$	$\cosh at$ og $\sinh at$ , eller $e^{\pm at}$
$(s-a)^2+\omega^2$	$e^{at}\cos\omega t$ og $e^{at}\sin\omega t$

Irredusibel andregradsfaktor

s^2+ps+q

📝Oppgave 1

Ren gjengivelse — slå opp i tabellen fra kap. 2.1 og skriv ned den inverse transformen.

a) $\dfrac{5}{s-2}$
b) $\dfrac{3}{s^4}$
c) $\dfrac{2s}{s^2+16}$
d) $\dfrac{1}{(s+5)^2}$

Løkke 2 — Delbrøkoppspalting med enkle reelle poler (~14 min)

Har nevneren bare forskjellige reelle røtter, deler du brøken i én liten brøk per rot. Da står hvert ledd på tabellform, og du er ferdig.

Delbrøkoppspalting

\frac{N(s)}{(s-r_1)(s-r_2)\cdots(s-r_m)} = \frac{A_1}{s-r_1} + \frac{A_2}{s-r_2} + \dots + \frac{A_m}{s-r_m}.

To måter å finne tellerne

(s-r_k)

✏️Enkle reelle poler — begge metodene på samme brøk

Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2s+1}{(s-1)(s+3)}\right\}$ , og finn tellerne både ved tildekking og ved et lineært system.

Ansats. Nevneren har to forskjellige reelle røtter,

s=1

s=-3

, begge enkle:

\frac{2s+1}{(s-1)(s+3)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+3}.

Metode 1 — tildekking. Dekk til $(s-1)$ og sett $s=1$ i resten:
$A = \left.\frac{2s+1}{s+3}\right|_{s=1} = \frac{3}{4}.$
Dekk til $(s+3)$ og sett $s=-3$ :
$B = \left.\frac{2s+1}{s-1}\right|_{s=-3} = \frac{-5}{-4} = \frac{5}{4}.$

Metode 2 — lineært system. Gang opp med $(s-1)(s+3)$ :
$2s+1 = A(s+3) + B(s-1) = (A+B)s + (3A - B).$
Sammenlign koeffisienter:
$A + B = 2, \qquad 3A - B = 1.$
Legg likningene sammen: $4A = 3$ , altså $A = 3/4$ , og da $B = 2 - 3/4 = 5/4$ . Samme svar.

Metode 1 tok to linjer, metode 2 tok fem. Det er derfor tildekking er standardvalget når polene er enkle og reelle.

Transformer tilbake. Fra tabellen på formelarket gir $1/(s-a)$ leddet $e^{at}$ :
$y(t) = \frac34 e^{t} + \frac54 e^{-3t}.$

Kontroll. Sett $s=0$ i begge former av brøken: venstre gir $1/((-1)(3)) = -1/3$ ; høyre gir $\tfrac34\cdot(-1) + \tfrac54\cdot\tfrac13 = -\tfrac34 + \tfrac{5}{12} = -\tfrac{9}{12}+\tfrac{5}{12} = -\tfrac13$ . Stemmer.

📝Oppgave 2

Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{3s+1}{(s+1)(s-1)}\right\}$ ved tildekking.

📝Oppgave 3

Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{4s+2}{s(s+1)(s+2)}\right\}$ . Kontroller svaret ved å sette inn en $s$ -verdi.

Løkke 3 — Multiple poler (~12 min)

Står en faktor i andre potens, holder det ikke med ett ledd. En dobbel rot krever to ledd, og det andre av dem er det man glemmer.

Ansatsen ved multiple poler

\frac{N(s)}{(s-r)^2} = \frac{A}{s-r} + \frac{B}{(s-r)^2}, \qquad \frac{N(s)}{(s-r)^3} = \frac{A}{s-r} + \frac{B}{(s-r)^2} + \frac{C}{(s-r)^3}.

Hvorfor doble poler gir en faktor

t

\mathcal{L}\{te^{at}\} = 1/(s-a)^2

✏️Dobbel pol i null

Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s^2(s+1)}\right\}$ .

Ansats. Faktoren

s

står i andre potens, så den skal ha to ledd:

\frac{1}{s^2(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{C}{s+1}.

Tildekking der den virker. Den høyeste potensen av $s$ og den enkle polen $s=-1$ :
$B = \left.\frac{1}{s+1}\right|_{s=0} = 1, \qquad C = \left.\frac{1}{s^2}\right|_{s=-1} = 1.$

Den siste koeffisienten med et lineært system. Gang opp med $s^2(s+1)$ :
$1 = As(s+1) + B(s+1) + Cs^2 = (A+C)s^2 + (A+B)s + B.$
Koeffisienten foran $s^2$ på venstre side er $0$ , så $A + C = 0$ , og med $C=1$ blir $A = -1$ .

Kontroll av mellomresultatet: koeffisienten foran $s$ skal også være null, og $A+B = -1+1 = 0$ . Stemmer. Konstantleddet: $B=1$ . Stemmer.

Sett sammen og transformer tilbake:
$\frac{1}{s^2(s+1)} = -\frac{1}{s} + \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s+1}.$
Fra tabellen på formelarket: $1/s\leftrightarrow 1$ , $1/s^2\leftrightarrow t$ , $1/(s+1)\leftrightarrow e^{-t}$ :
$y(t) = -1 + t + e^{-t}.$

Kontroll. $y(0) = -1+0+1 = 0$ , som det skal være for en ekte brøk av grad 0 under grad 3. Og $y'(t) = 1 - e^{-t}$ gir $y'(0)=0$ — også som forventet, siden $sY(s)\to 0$ når $s\to\infty$ .

Legg merke til hva som ville skjedd om du hadde satt opp ansatsen som $B/s^2 + C/(s+1)$ uten $A/s$ . Da hadde du to ukjente og tre koeffisientlikninger, og systemet hadde ikke gått opp. Antall ledd må stemme med graden av nevneren.

📝Oppgave 4

Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2s+3}{s^2(s+3)}\right\}$ .

📝Oppgave 5

Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s+1}{(s-1)^2}\right\}$ på to måter, og sammenlign arbeidsmengden.

a) Ved å skrive telleren om.
b) Ved en formell delbrøkoppspalting.

— naturlig pausepunkt —

Du har nå den ene halvdelen: reelle røtter, enkle og multiple. Andre halvdel handler om nevnere som ikke har reelle røtter i det hele tatt.

Løkke 4 — Kvadratkomplettering (~12 min)

Har nevneren en irredusibel andregradsfaktor, finnes det ingen reell rot å dekke til. Da gjør du noe annet: du skriver om nevneren til et fullstendig kvadrat pluss et positivt tall, og treffer dermed en rad som allerede står på arket.

Kvadratkomplettering

s^2+ps+q = \left(s+\frac{p}{2}\right)^2 + \left(q - \frac{p^2}{4}\right).

Måltabellformene for en dempet svingning

\frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2} \;\leftrightarrow\; e^{at}\cos\omega t, \qquad \frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2} \;\leftrightarrow\; e^{at}\sin\omega t.

Å skrive telleren i nevnerens språk

(s-a)^2+\omega^2

✏️Kvadratkomplettering fra ende til annen

Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2s-1}{s^2-6s+25}\right\}$ .

Steg 1 — sjekk om nevneren kan faktoriseres. Diskriminanten er

(-6)^2 - 4\cdot 25 = 36-100 = -64 < 0

. Ingen reelle røtter, altså ingen delbrøkoppspalting. Kvadratkomplettering er veien.

Steg 2 — fullfør kvadratet. Halvparten av $-6$ er $-3$ :
$s^2-6s+25 = (s-3)^2 - 9 + 25 = (s-3)^2 + 16.$
Altså $a = 3$ og $\omega = 4$ . Nå vet vi allerede at svaret inneholder $e^{3t}\cos 4t$ og $e^{3t}\sin 4t$ .

Steg 3 — skriv telleren i samme språk.
$2s - 1 = 2(s-3) + 6 - 1 = 2(s-3) + 5.$

Steg 4 — del opp og juster konstantene.
$\frac{2s-1}{(s-3)^2+16} = 2\cdot\frac{s-3}{(s-3)^2+16} + \frac{5}{4}\cdot\frac{4}{(s-3)^2+16}.$
Det andre leddet: $5 = \tfrac54\cdot 4$ , slik at telleren blir nøyaktig $\omega = 4$ .

Steg 5 — les av. Fra tabellen på formelarket, med $a=3$ og $\omega = 4$ :
$y(t) = 2e^{3t}\cos 4t + \frac54 e^{3t}\sin 4t.$

Kontroll. Sett $t=0$ : $y(0) = 2$ . Fra brøken: $sY(s) \to 2$ når $s\to\infty$ , som svarer til $y(0)=2$ . Stemmer.

En kontroll til, som er verdt vanen: deriver svaret og sett $t=0$ . $y'(0) = 2\cdot 3 + \tfrac54\cdot 4 = 6+5 = 11$ . Fra brøken: $s^2Y - s\,y(0) \to 11$ når $s\to\infty$ , siden $\displaystyle s^2\cdot\frac{2s-1}{s^2-6s+25} - 2s \to 11$ . Stemmer også.

📝Oppgave 6

Finn den inverse Laplace-transformen. Skriv opp $a$ og $\omega$ før du deler opp.

a) $\dfrac{s+6}{s^2+2s+10}$
b) $\dfrac{4}{s^2+6s+13}$

Løkke 5 — Reell eller kompleks vei? (~8 min)

Kvadratkomplettering er ikke den eneste veien forbi en irredusibel nevner. Du kan også faktorisere den over de komplekse tallene og bruke helt vanlig delbrøkoppspalting. Arkivets løsningsforslag viser begge, og begge gir full uttelling. Boka viser deg derfor begge på samme brøk, så du ser at de møtes.

Konjugert polpar

s = a + bi \quad \text{og} \quad s = a - bi.

Kompleks delbrøkoppspalting

\frac{N(s)}{(s-(a+bi))(s-(a-bi))} = \frac{A}{s-(a+bi)} + \frac{\bar A}{s-(a-bi)},

✏️Samme brøk, to veier

Vis at kompleks delbrøkoppspalting gir samme svar som kvadratkompletteringen i eksempel 3, altså for $\dfrac{2s-1}{s^2-6s+25}$ .

Faktoriser nevneren over de komplekse tallene. Røttene er

s = 3\pm 4i

(samme tall som kvadratkompletteringen ga), så

s^2-6s+25 = \left(s-(3+4i)\right)\left(s-(3-4i)\right).

Ansats og tildekking. Med
$\frac{2s-1}{s^2-6s+25} = \frac{A}{s-(3+4i)} + \frac{\bar A}{s-(3-4i)}$
finner vi $A$ ved å dekke til den første faktoren og sette $s = 3+4i$ :
$A = \frac{2(3+4i)-1}{(3+4i)-(3-4i)} = \frac{5+8i}{8i}.$
Gang teller og nevner med $-i$ for å få reell nevner (samme triks som i kap. 1.1):
$A = \frac{(5+8i)(-i)}{8i\cdot(-i)} = \frac{-5i - 8i^2}{8} = \frac{8-5i}{8} = 1 - \frac58 i.$

Sett sammen. Leddene er konjugerte, så summen er to ganger realdelen av det første:
$y(t) = 2\,\operatorname{Re}\!\left(\left(1-\tfrac58 i\right)e^{(3+4i)t}\right).$
Skriv $e^{(3+4i)t} = e^{3t}\left(\cos 4t + i\sin 4t\right)$ etter Eulers formel og gang ut. Realdelen av produktet er
$1\cdot\cos 4t - \left(-\tfrac58\right)\sin 4t = \cos 4t + \tfrac58\sin 4t,$
og med faktoren $2e^{3t}$ utenfor:
$y(t) = 2e^{3t}\cos 4t + \frac54 e^{3t}\sin 4t.$

Nøyaktig samme svar som i eksempel 3. De to veiene er begge riktige, og ingen sensur trekker for valget.

Hvilken bør du velge? Kvadratkomplettering tok fem korte steg; den komplekse veien tok like mange, men med komplekse brøker underveis. På eksamen er kvadratkomplettering som regel raskest for en ren andregradsnevner. Den komplekse veien er verdt å kunne fordi den er den samme metoden du allerede bruker på reelle poler — du trenger ikke lære noe nytt, bare tåle $i$ -en.

📝Oppgave 7

Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{3s+1}{s^2-4s+13}\right\}$ på begge måtene, og kontroller at de gir samme svar.

a) Ved kvadratkomplettering.
b) Ved kompleks delbrøkoppspalting.

Løkke 6 — Eksamensnivå: begge teknikkene i samme brøk (~10 min)

I en reell eksamensoppgave har nevneren gjerne både en reell rot og en irredusibel andregradsfaktor. Da gjør du begge deler, i denne rekkefølgen: spalt opp først, kvadratkompletter restleddet.

✏️Blandet nevner — full eksamensføring

Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{3s+7}{(s+1)\left(s^2+2s+5\right)}\right\}$ .

Steg 1 — kartlegg nevneren. Én reell rot,

s=-1

, og andregradsfaktoren

s^2+2s+5

med diskriminant

4-20 = -16 < 0

, altså irredusibel. Ansatsen får derfor ett enkelt ledd og ett med lineær teller:

\frac{3s+7}{(s+1)\left(s^2+2s+5\right)} = \frac{A}{s+1} + \frac{Bs+C}{s^2+2s+5}.

Steg 2 — tildekking for $A$ . Dekk til $(s+1)$ og sett $s=-1$ :
$A = \left.\frac{3s+7}{s^2+2s+5}\right|_{s=-1} = \frac{4}{1-2+5} = \frac{4}{4} = 1.$

Steg 3 — resten ved subtraksjon. Gang opp med hele nevneren:
$3s+7 = A\left(s^2+2s+5\right) + (Bs+C)(s+1).$
Sett inn $A=1$ og flytt over:
$3s+7 - \left(s^2+2s+5\right) = -s^2 + s + 2 = (Bs+C)(s+1).$
Faktoriser venstresiden: $-s^2+s+2 = -\left(s^2-s-2\right) = -(s-2)(s+1) = (-s+2)(s+1)$ . Deler vi bort $(s+1)$ :
$Bs + C = -s + 2, \qquad \text{altså } B = -1,\ C = 2.$

Steg 4 — kvadratkompletter andregradsleddet. $s^2+2s+5 = (s+1)^2+4$ , altså $a=-1$ og $\omega = 2$ . Telleren i nevnerens språk:
$-s+2 = -\left((s+1) - 1\right) + 2 = -(s+1) + 3.$

Steg 5 — sett sammen alt:
$Y(s) = \frac{1}{s+1} - \frac{s+1}{(s+1)^2+4} + \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{(s+1)^2+4}.$

Steg 6 — les av fra tabellen på formelarket:
$y(t) = e^{-t} - e^{-t}\cos 2t + \frac32 e^{-t}\sin 2t.$

Kontroll ved $s=0$ . Venstre side: $7/(1\cdot 5) = 7/5$ . Høyre side: $1 - \tfrac{1}{5} + \tfrac32\cdot\tfrac25 = 1 - 0{,}2 + 0{,}6 = 1{,}4 = 7/5$ . Stemmer.

Kontroll av svaret: $y(0) = 1 - 1 + 0 = 0$ , som forventet av en ekte brøk med grad 1 over grad 3.

Hva som gir uttelling. Instruksen på settene krever nok mellomregning til at tenkemåten klart framgår. Her betyr det: skriv ansatsen ned eksplisitt, si at $A$ ble funnet ved tildekking, vis kvadratkompletteringen, og marker tabelloppslaget («fra tabellen …»). Sluttsvaret alene, uten disse linjene, gir ikke full uttelling.

📝Oppgave 8

Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2s+8}{(s+2)\left(s^2+4s+8\right)}\right\}$ .

📝Oppgave 9

Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2s^2+s+4}{s\left(s^2+4\right)}\right\}$ .

📝Oppgave 10

Løs $y'' + 6y' + 13y = 0$ med $y(0)=0$ og $y'(0)=4$ . Vis hele veien fra likning til svar.

Typiske feil

Å hoppe over kvadratkompletteringen. Har nevneren en irredusibel andregradsfaktor og du prøver deg på delbrøk med reelle røtter, sitter du fast — eller enda verre, du «finner» røtter som ikke finnes. Regn ut diskriminanten først. Er den negativ, er kvadratkomplettering veien.

Feil $\omega$ etter kvadratkompletteringen. Restleddet er $\omega^2$ , ikke $\omega$ . Er $s^2-6s+25 = (s-3)^2+16$ , er $\omega = 4$ , ikke $16$ . Denne ene feilen gir feil frekvens i hele svaret, og den er lett å ikke oppdage.

Å glemme å justere telleren til $\omega$ . Sinusraden krever nøyaktig $\omega$ i telleren. Har du $5$ og $\omega = 4$ , må du skrive $5 = \tfrac54\cdot 4$ . Skriver du bare $5\sin 4t$ , er svaret galt med en faktor $5/4$ .

Å glemme et ledd ved multiple poler. $(s-r)^2$ i nevneren krever to ledd i ansatsen, $A/(s-r)$ og $B/(s-r)^2$ . Med bare ett ledd går regnestykket ikke opp — og et manglende $t$ i svaret er symptomet.

Feil fortegn og plassering i ansatsen. En faktor $(s+3)$ har rot $s=-3$ , ikke $s=3$ . Tildekking med feil fortegn på rota gir feil koeffisient i alle leddene som følger.

Å bruke en konstant teller over en irredusibel faktor. Ansatsen over $s^2+2s+5$ skal ha $\dfrac{Bs+C}{s^2+2s+5}$ , ikke $\dfrac{B}{s^2+2s+5}$ . Antall ukjente må stemme med graden.

Å bytte bare i nevneren. Når du kvadratkompletterer, skal telleren skrives om i samme språk. $\dfrac{s}{(s+2)^2+4}$ er ikke $e^{-2t}\cos 2t$ — du må først skrive $s = (s+2)-2$ .

Å la et komplekst svar bli stående. Et konjugert polpar gir ett reelt ledd. Står det en $i$ i sluttsvaret ditt, har du regnefeil i den komplekse veien — realdelene og imaginærdelene skal kansellere hverandre.

Å lese tabellen baklengs

f(t)

Begrepsbank

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. De siste kortene samler opp begrepene i kapitlet og noen kontroller det lønner seg å ha i fingrene. Tidsanslaget på 60 minutter gjelder kjernestoffet foran.

Ansats

Bs+C

Polynomdivisjon for uekte brøker

\frac{s^2}{s^2+4} = 1 - \frac{4}{s^2+4}.

Innsettingskontrollen

s

Startverdikontrollen på det ferdige svaret

t=0

Dempet svingning som svarform

y(t) = e^{at}\left(C_1\cos\omega t + C_2\sin\omega t\right).

Linearitet i den inverse transformen

\mathcal{L}^{-1}\{\alpha F + \beta G\} = \alpha f + \beta g.

Metodevalg på tolv sekunder

Y(s)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 5 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.