1.1 Komplekse tall, Eulers formel og enhetsrøtter

$$i^2 = -1.$$

Alt annet følger av vanlige regneregler. For eksempel er $i^3 = i^2\cdot i = -i$ og $i^4 = 1$, så potensene av $i$ gjentar seg med periode fire: $i, -1, -i, 1, i, \dots$

$$z = a + bi, \qquad a,\,b \in \mathbb{R}.$$

Du kan tegne $z$ som punktet $(a,b)$ i planet — den vannrette aksen er den reelle, den loddrette den imaginære. Addisjon og subtraksjon gjøres komponentvis, akkurat som med vektorer. Multiplikasjon gjøres som vanlig utregning av parenteser, med $i^2=-1$ til slutt.

For $z = a+bi$ skriver vi $\operatorname{Re} z = a$ og $\operatorname{Im} z = b$. Merk at den imaginære delen er et reelt tall — det er $b$, ikke $bi$. Et tall er reelt nøyaktig når $\operatorname{Im} z = 0$, og rent imaginært når $\operatorname{Re} z = 0$. Kravet «vis at svaret er reelt» dukker opp i den diskrete Fourier-transformen, og betyr alltid: vis at den imaginære delen faller bort.

$$\bar z = a - bi \quad \text{når} \quad z = a+bi.$$

To regneregler brukes hele tiden: $z + \bar z = 2\operatorname{Re} z$ (summen av et tall og konjugatet er alltid reell), og $z\bar z = a^2+b^2 = |z|^2$. Den siste er trikset for å dele: gang teller og nevner med konjugatet av nevneren, så blir nevneren reell.

$$|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\bar z}.$$

Modulusen er alltid et ikke-negativt reelt tall, og den er multiplikativ: $|zw| = |z|\,|w|$. Det er nettopp derfor polar form gjør multiplikasjon enkel.

$$\theta = \arg z, \qquad \tan\theta = \frac{b}{a}.$$

Argumentet er bare bestemt opp til hele omdreininger: $\theta$ og $\theta + 2\pi k$ gir samme punkt. Hovedargumentet er den entydige verdien i $(-\pi,\,\pi]$. Advarsel: $\arctan(b/a)$ på kalkulatoren gir alltid en vinkel i første eller fjerde kvadrant. Ligger $z$ til venstre i planet (altså $a<0$), må du legge til eller trekke fra $\pi$ selv. Tegn punktet før du svarer.

$$z = r\,(\cos\theta + i\sin\theta) = r\,e^{i\theta}, \qquad r = |z|,\ \theta = \arg z.$$

Veien tilbake er $a = r\cos\theta$ og $b = r\sin\theta$. Bruk kartesisk form når du skal legge sammen, polar form når du skal gange, dele eller opphøye. Merk: her betyr $r$ radius. I Del 8 betyr $r$ stabilitetstallet $\Delta t/h^2$ — samme bokstav, helt forskjellig størrelse.

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$

Med den blir polar form til $z = re^{i\theta}$. Tre konsekvenser du bruker rett fra starten: $|e^{i\theta}| = 1$ for alle reelle $\theta$ (punktet ligger på enhetssirkelen), $e^{i\theta}$ er periodisk med periode $2\pi$, og $\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$.

Intuisjon: $e^{i\theta}$ er punktet du kommer til når du går vinkelen $\theta$ langs enhetssirkelen. Å gange to slike tall er å legge sammen vinklene — akkurat som eksponentialfunksjonen legger sammen eksponenter. Må kunnes eller utledes aktivt.

$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.$$

Legg merke til $2i$ i nevneren for sinus — ikke $2$. Dette er nøkkelen til å oversette mellom den reelle Fourier-rekka (med $a_n$ og $b_n$) og den komplekse (med $c_n$) i kap. 3.3, og til å regne ut $\cos^n\theta$ uten å lete i en identitetstabell. Må kunnes eller utledes aktivt.

$$\left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta} = r^n\big(\cos n\theta + i\sin n\theta\big), \qquad n \in \mathbb{Z}.$$

Formelen gjelder også for negative $n$. Den erstatter all utregning av parenteser: $(1+i)^{10}$ tar tre linjer på polar form og en halv side på kartesisk. Den brukes også baklengs, til å utlede identiteter for $\cos n\theta$ og $\sin n\theta$.

$$zw = r\rho\, e^{i(\theta+\varphi)}, \qquad \frac{z}{w} = \frac{r}{\rho}\, e^{i(\theta-\varphi)}.$$

Med ord: lengdene ganges, vinklene legges sammen. Dette er hele grunnen til at polar form finnes. Sammenlign med kartesisk form, der samme regnestykke krever fire delmultiplikasjoner og en samling av ledd.

$$z_k = \rho^{1/n}\,e^{i(\varphi + 2\pi k)/n}, \qquad k = 0,1,\dots,n-1.$$

Alle $n$ røttene har samme lengde $\rho^{1/n}$, og vinklene ligger jevnt fordelt med avstand $2\pi/n$. Geometrisk er de hjørnene i en regulær $n$-kant om origo. For $k = n$ er du tilbake der du startet, så det holder å telle til $n-1$. Må kunnes eller utledes aktivt.

$$w_N = e^{2\pi i/N}, \qquad z_k = w_N^{\,k} = e^{2\pi i k/N}, \quad k = 0,1,\dots,N-1.$$

De ligger jevnt fordelt på enhetssirkelen, med $z_0 = 1$. To egenskaper brukes hele tiden i kap. 4.3: potensene gjentar seg, $w_N^{\,N+j} = w_N^{\,j}$, og $w_N^{\,N/2} = -1$ når $N$ er et partall. Enhetsrøttene er hele grunnlaget for den diskrete Fourier-transformen.

$$\sum_{k=0}^{N-1} w_N^{\,k} = 0, \qquad w_N = e^{2\pi i/N}.$$

Begrunnelse: summen er en geometrisk rekke med kvotient $w_N \ne 1$, så den er $(w_N^{\,N}-1)/(w_N-1)$, og telleren er null fordi $w_N^{\,N} = 1$. Intuisjon: punktene ligger symmetrisk rundt origo, så de kansellerer hverandre. Egenskapen er grunnen til at den diskrete Fourier-transformen kan inverteres, og den brukes til å vise at koeffisienter faller bort.

$$s = \frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}.$$

Er diskriminanten $p^2-4q$ negativ, skriver vi $\sqrt{p^2-4q} = i\sqrt{4q-p^2}$ og får to konjugerte komplekse røtter $s = a \pm bi$ med $a = -p/2$ og $b = \sqrt{4q-p^2}/2$. Et andregradsuttrykk med reelle koeffisienter har altså enten to reelle røtter eller to røtter som er hverandres konjugat — aldri én av hver. Må kunnes eller utledes aktivt (står ikke på formelarket).

$$s^2+ps+q = \left(s+\frac{p}{2}\right)^2 + \left(q - \frac{p^2}{4}\right).$$

Når diskriminanten er negativ, er det siste leddet positivt, og du kan skrive det som $b^2$. Da har nevneren formen $(s-a)^2+b^2$ — nøyaktig formen som står i tabellen på formelarket. Kvadratkomplettering er derfor ofte den raskeste veien. Selve grepet må kunnes eller utledes aktivt; det står ikke på arket.

$$\frac{A}{s-(a+bi)} + \frac{\bar A}{s-(a-bi)},$$

og tellerne er også hverandres konjugat. Det er derfor du bare trenger å regne ut den ene: den andre får du gratis ved å bytte fortegn på alle $i$-ene. Paret gir til sammen ett reelt uttrykk, ikke to komplekse — det er den vanligste misforståelsen her.

$$\frac{N(s)}{(s-(a+bi))(s-(a-bi))} = \frac{A}{s-(a+bi)} + \frac{\bar A}{s-(a-bi)}, \qquad A = \left.\frac{N(s)}{s-(a-bi)}\right|_{s=a+bi}.$$

Formelen for $A$ er tildekkingsmetoden: stryk faktoren du regner koeffisienten til, og sett inn den tilhørende roten i det som er igjen. Nevneren blir da alltid $2bi$ — differansen mellom de to røttene.