Tilbake
3.3
Alle fag for Høyskole

3.3 Kompleks Fourier-rekke

Den komplekse formen $\sum c_n e^{inx}$, koeffisienten $c_n$ og broen til den reelle rekka via Eulers formel.

50 min
11 oppgaver
Kompleks Fourier-rekke
Din fremgang i kapitlet
0 / 11 oppgaver
Forkunnskaper: kap. 1.1 — Eulers formel eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta, kompleks konjugering og regning med ii. Og kap. 3.1 — koeffisientintegralene og symmetriregelen.

Trenger du én ting friskt i hodet, er det disse to fra kap. 1.1:

cos⁡θ=eiθ+e−iθ2,sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i.\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.

Merk nevneren 2i2i i sinusformelen. Halvparten av fortegnsfeilene i dette kapitlet kommer fra å skrive 22 der.

Kapitlet er forutsetning for kap. 3.4, kap. 4.1 og kap. 4.3.

To følger blir til én

Den reelle rekka har to koeffisientfølger å holde styr på, ana_n og bnb_n, og hvert ledd er en sum av to funksjoner. Det er tungvint å skrive, tungvint å derivere, og tungvint å generalisere.

Den komplekse formen samler alt i én følge cnc_n og én funksjon einxe^{inx}. Det er samme informasjon, pakket tettere. Prisen er at koeffisientene blir komplekse tall; gevinsten er at all regning blir kortere, fordi einxe^{inx} deriveres og integreres uten at det skjer noe med formen.

Det er også den formen resten av faget bruker. En signalbehandler snakker aldri om ana_n og bnb_n; hun snakker om spekteret ∣cn∣|c_n| — hvor mye energi som ligger på hver frekvens. Og når frekvensene går fra å være diskrete (n=0,±1,±2,…n = 0, \pm1, \pm2,\dots) til å være kontinuerlige, blir summen til et integral, og du har Fourier-transformen i kap. 4.1.

Én ting kan virke rar først: rekka summerer over nn fra −∞-\infty til ∞\infty, altså også over «negative frekvenser». Det er ikke fysikk, det er bokføring. Leddene nn og −n-n hører sammen parvis, og summen av paret er alltid reell — det er nettopp det som gjør at en reell funksjon kommer ut i den andre enden.

Kapitlet gjør tre ting: definerer cnc_n, bygger broen til ana_n og bnb_n, og viser hva som skjer med cnc_n når funksjonen er reell, odde eller like.

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Definisjonsboksene er samtidig kortene i flashcard-bunken. Tidsanslaget på 50 minutter gjelder kjernestoffet.

Løkke 1 — Fra to følger til én (~17 min)

Vi utleder den komplekse formen ved å bytte ut cos⁡\cos og sin⁡\sin med eksponentialer i den reelle rekka. Utledningen er tre linjer, og den forklarer samtidig hvorfor summen må gå over negative nn.

Eulers formler for cosinus og sinus
Broen mellom trigonometri og eksponentialfunksjonen, hentet fra kap. 1.1:

cos⁡θ=eiθ+e−iθ2,sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i.\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.

Nevneren i sinusformelen er 2i2i, ikke 22. Og siden 1i=−i\displaystyle \frac{1}{i} = -i, kan sinusformelen også skrives sin⁡θ=−i2(eiθ−e−iθ)\sin\theta = -\tfrac{i}{2}\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right) — en form som er lettere å regne med.

Utledningen, i tre linjer. Start med den reelle rekka for L=πL=\pi (samme argument fungerer for generell LL):

f(x)=a0+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx).f(x) = a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx\right).

Sett inn Eulers formler i hvert ledd:

ancos⁡nx+bnsin⁡nx=aneinx+e−inx2+bneinx−e−inx2i=an−ibn2einx+an+ibn2e−inx,a_n\cos nx + b_n\sin nx = a_n\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}+b_n\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i} = \frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inx},

der vi brukte 12i=−i2\displaystyle \frac{1}{2i} = -\frac{i}{2} i siste steg.

Intuisjon: hvert reelt ledd har spaltet seg i to komplekse ledd, ett med einxe^{inx} og ett med e−inxe^{-inx}. Døper vi den første koeffisienten cnc_n og den andre c−nc_{-n}, kan hele rekka skrives som én sum over alle heltall — positive, negative og null. Det er derfor summen går fra −∞-\infty til ∞\infty: de negative indeksene er ikke nye frekvenser, de er den andre halvparten av leddene du allerede hadde.

Den komplekse Fourier-rekka
Oppspaltningen skrevet med komplekse eksponentialer:

f(x)=∑n=−∞∞cneinxf(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}

for en funksjon med halvperiode L=πL=\pi, og

f(x)=∑n=−∞∞cneinπx/Lf(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n\pi x/L}

generelt. Summen går over alle heltall nn, også de negative og null.

Den komplekse koeffisienten cnc_n
Koeffisienten hentes med samme grep som i den reelle rekka — gang med den konjugerte basisfunksjonen og integrer:

cn=12π∫−ππf(x) e−inx dx,n=0,±1,±2,…c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,e^{-inx}\,dx, \qquad n = 0,\pm1,\pm2,\dots

Merk to ting. Nevneren er 2π2\pi (hele periodelengden) for alle nn, også n=0n=0 — her er det ingen forskjellsbehandling av konstantleddet slik det var i den reelle formen. Og eksponenten i integralet har minus, mens den i rekka har pluss. Å bytte om de to er den vanligste feilen i sjangeren.

cnc_n for generell halvperiode
Har ff halvperiode LL i stedet for π\pi:

cn=12L∫−LLf(x) e−inπx/L dx.c_n = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(x)\,e^{-i n\pi x/L}\,dx.

Mønsteret er det samme som i den reelle rekka: argumentet er nπxL\displaystyle \frac{n\pi x}{L}, og faktoren foran er én delt på hele periodelengden.

Konstantleddet c0c_0
Sett n=0n=0 i formelen; da er e0=1e^{0}=1, og

c0=12L∫−LLf(x) dx=a0.c_0 = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(x)\,dx = a_0.

c0c_0 er altså middelverdien av funksjonen, akkurat som a0a_0 var det. Den er alltid reell når ff er reell, og den er ofte det ene tallet du kan lese av uten å integrere.

Ortogonaliteten til einxe^{inx}
Grunnen til at koeffisientformelen virker:

12π∫−ππeimxe−inx dx=12π∫−ππei(m−n)x dx={1,m=n0,m≠n.\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{imx}e^{-inx}\,dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{i(m-n)x}\,dx = \begin{cases} 1, & m=n \\ 0, & m\ne n.\end{cases}

For m≠nm\ne n er integralet [ei(m−n)xi(m−n)]−ππ\displaystyle \left[\frac{e^{i(m-n)x}}{i(m-n)}\right]_{-\pi}^{\pi}, og siden eikπ=e−ikπe^{ik\pi} = e^{-ik\pi} for heltall kk, blir det null. For m=nm=n er integranden konstant lik 1.

Dette er den komplekse versjonen av ortogonalitetsrelasjonene fra kap. 3.1 — og legg merke til hvor mye kortere den er.

Negativ frekvens

Leddet med indeks −n-n, altså c−ne−inxc_{-n}e^{-inx}.

Det er ikke en fysisk svingning som går «baklengs». Det er den andre halvparten av det reelle leddet ancos⁡nx+bnsin⁡nxa_n\cos nx + b_n\sin nx, som ble spaltet i to da vi innførte eksponentialene. Leddene nn og −n-n hører alltid sammen: legger du dem sammen, får du et reelt uttrykk igjen.

✏️Kompleks rekke til en enkel puls
La

f(x)={0,−π<x<01,     0<x<πf(x) = \begin{cases} 0, & -\pi < x < 0 \\ 1, & \;\;\,0 < x < \pi\end{cases}

med periode 2π2\pi. Finn den komplekse Fourier-rekka.

Halvperioden er L=πL=\pi, så cn=12π∫−ππfe−inx dx\displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f e^{-inx}\,dx.

Konstantleddet. Funksjonen er 1 på halve perioden og 0 på den andre, så middelverdien er
c0=12π∫0π1 dx=12.c_0 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} 1\,dx = \frac12.

De øvrige koeffisientene. Siden f=0f=0 på (−π,0)(-\pi,0), går integralet bare over (0,π)(0,\pi):
cn=12π∫0πe−inx dx=12π[e−inx−in]0π=12π⋅1−e−inπin.c_n = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} e^{-inx}\,dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{e^{-inx}}{-in}\right]_0^{\pi} = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{1-e^{-in\pi}}{in}.
Nå er e−inπ=cos⁡nπ−isin⁡nπ=(−1)ne^{-in\pi} = \cos n\pi - i\sin n\pi = (-1)^n, så
cn=1−(−1)n2πin,n≠0.c_n = \frac{1-(-1)^n}{2\pi i n}, \qquad n\ne 0.

Les av mønsteret. For like nn er telleren 0, så cn=0c_n=0. For odde nn er telleren 2, og med 1i=−i\displaystyle \frac{1}{i} = -i:
cn=22πin=1iπn=−iπn,n odde.c_n = \frac{2}{2\pi i n} = \frac{1}{i\pi n} = -\frac{i}{\pi n}, \qquad n \text{ odde}.

Rekka.
f(x)=12−iπ∑n=−∞n odde∞einxn.f(x) = \frac12 - \frac{i}{\pi}\sum_{\substack{n=-\infty \\ n \text{ odde}}}^{\infty}\frac{e^{inx}}{n}.

Kontroll av konjugert symmetri. c1=−iπ\displaystyle c_1 = -\frac{i}{\pi} og c−1=−iπ⋅(−1)=iπ\displaystyle c_{-1} = -\frac{i}{\pi\cdot(-1)} = \frac{i}{\pi}. Disse er hverandres komplekskonjugerte, slik de må være når ff er reell. Bra.

Kontroll mot den reelle rekka. Slår vi sammen leddene n=1n=1 og n=−1n=-1:
c1eix+c−1e−ix=−iπeix+iπe−ix=−iπ(eix−e−ix)=−iπ⋅2isin⁡x=2πsin⁡x.c_1 e^{ix}+c_{-1}e^{-ix} = -\frac{i}{\pi}e^{ix}+\frac{i}{\pi}e^{-ix} = -\frac{i}{\pi}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right) = -\frac{i}{\pi}\cdot 2i\sin x = \frac{2}{\pi}\sin x.
Det er nøyaktig det første leddet i den reelle rekka til denne pulsen, som er 12+2π(sin⁡x+sin⁡3x3+⋯ )\displaystyle \frac12+\frac{2}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3}+\cdots\right). To komplekse ledd ble til ett reelt — akkurat som lovet.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren avlesning.) Regn ut c0c_0 for hver av funksjonene på [−π,π][-\pi,\pi], uten å regne ut noen andre koeffisienter:

a) f(x)=xf(x) = x
b) f(x)=x2f(x) = x^2
c) f(x)=exf(x) = e^{x}
d) f(x)=3f(x) = 3

📝Oppgave 2
D

Finn den komplekse Fourier-rekka til f(x)=x2f(x)=x^2 på [−π,π][-\pi,\pi], periode 2π2\pi, ved å regne ut integralet direkte.

Kommenter hvorfor alle cnc_n blir reelle.

Løkke 2 — Broen mellom formene (~17 min)

Eksamensoppgaven stopper sjelden ved cnc_n. Det neste delpunktet er nesten alltid «vis hvordan ana_n og bnb_n følger av cnc_n» — eller motsatt vei. Begge retninger er tre linjer, og de er verdt å kunne begge veier.

Broen fra an,bna_n,b_n til cnc_n
Fra utledningen i løkke 1:

cn=an−ibn2,c−n=an+ibn2,c0=a0(n≥1).c_n = \frac{a_n-ib_n}{2}, \qquad c_{-n} = \frac{a_n+ib_n}{2}, \qquad c_0 = a_0 \qquad (n \ge 1).

Huskeregel: positiv indeks gir minus foran ii. Byttes de om, får du speilbildet av rekka.

Broen fra cnc_n til an,bna_n,b_n
Løs de to likningene over for ana_n og bnb_n:

an=cn+c−n,bn=i(cn−c−n),a0=c0(n≥1).a_n = c_n+c_{-n}, \qquad b_n = i\left(c_n-c_{-n}\right), \qquad a_0 = c_0 \qquad (n\ge1).

Er ff reell, forenkler dette seg ytterligere (se neste definisjon):

an=2Re⁡(cn),bn=−2Im⁡(cn).a_n = 2\operatorname{Re}(c_n), \qquad b_n = -2\operatorname{Im}(c_n).

Merk minustegnet foran 2Im⁡2\operatorname{Im}. Det er den enkeltdetaljen som oftest går galt.

Konjugert symmetri for reell ff
Er ff reell, så er

c−n=cn‾for alle n.c_{-n} = \overline{c_n} \qquad \text{for alle } n.

Begrunnelse: konjuger integralformelen. Siden f‾=f\overline{f} = f og e−inx‾=einx\overline{e^{-inx}} = e^{inx}, blir
cn‾=12L∫−LLf(x)einπx/L dx=c−n.\overline{c_n} = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(x)e^{in\pi x/L}\,dx = c_{-n}.

Praktisk nytte: du trenger bare regne ut cnc_n for n≥0n \ge 0. De negative får du gratis ved å konjugere. Det halverer arbeidet, og det er også testen på om et gitt sett koeffisienter kan komme fra en reell funksjon.

Paritet lest av cnc_n

For en reell funksjon ff:

- ff like ⇒\Rightarrow alle bn=0b_n = 0 ⇒\Rightarrow alle cnc_n er reelle, og c−n=cnc_{-n}=c_n;
- ff odde ⇒\Rightarrow alle an=0a_n = 0 og a0=0a_0=0 ⇒\Rightarrow alle cnc_n er rent imaginære, og c−n=−cnc_{-n}=-c_n.

Dette er en rask kontroll: får du komplekse cnc_n for en like funksjon, har du regnefeil et sted.

📜Broen mellom den komplekse og den reelle formen
La ff være reell, periodisk med halvperiode LL og stykkevis glatt. Da gjelder for n≥1n\ge1:

cn=an−ibn2,an=cn+c−n=2Re⁡(cn),bn=i(cn−c−n)=−2Im⁡(cn),c_n = \frac{a_n-ib_n}{2}, \qquad a_n = c_n+c_{-n} = 2\operatorname{Re}(c_n), \qquad b_n = i\left(c_n-c_{-n}\right) = -2\operatorname{Im}(c_n),

og c0=a0c_0 = a_0.

Bevis. Fra utledningen i løkke 1 er ancos⁡nπxL+bnsin⁡nπxL=an−ibn2einπx/L+an+ibn2e−inπx/L\displaystyle a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L} = \frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\pi x/L}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\pi x/L}. Sammenlikner vi med cneinπx/L+c−ne−inπx/Lc_n e^{in\pi x/L}+c_{-n}e^{-in\pi x/L} og bruker at basisfunksjonene er ortogonale (og dermed lineært uavhengige), må koeffisientene stemme ledd for ledd. Det gir de to første likningene.

Adderer vi dem, får vi cn+c−n=anc_n+c_{-n} = a_n. Subtraherer vi, får vi cn−c−n=−ibnc_n - c_{-n} = -ib_n, altså bn=i(cn−c−n)b_n = i(c_n-c_{-n}).

Er ff reell, er c−n=cn‾c_{-n}=\overline{c_n}, og da er cn+cn‾=2Re⁡(cn)c_n+\overline{c_n} = 2\operatorname{Re}(c_n) mens i(cn−cn‾)=i⋅2iIm⁡(cn)=−2Im⁡(cn)i\left(c_n-\overline{c_n}\right) = i\cdot 2i\operatorname{Im}(c_n) = -2\operatorname{Im}(c_n). Det gir de to siste. ■\blacksquare

Hele teoremet må kunnes — det står ikke på det utdelte formelarket. Til gjengjeld er det to formler, og de er hverandres motsatte.

Amplitudespekteret ∣cn∣|c_n|
Absoluttverdien av koeffisienten:

∣cn∣=(Re⁡cn)2+(Im⁡cn)2=an2+bn22(n≥1).|c_n| = \sqrt{\left(\operatorname{Re}c_n\right)^2+\left(\operatorname{Im}c_n\right)^2} = \frac{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{2} \quad (n\ge1).

Dette er hvor mye energi som ligger på frekvens nn. Tegner du ∣cn∣|c_n| mot nn, får du spekteret — det er den framstillingen en signalbehandler faktisk ser på. For en reell funksjon er spekteret symmetrisk om n=0n=0, siden ∣c−n∣=∣cn‾∣=∣cn∣|c_{-n}| = |\overline{c_n}| = |c_n|.

Fasespekteret arg⁡cn\arg c_n
Argumentet til koeffisienten — vinkelen i det komplekse planet:

arg⁡cn=arctan⁡Im⁡cnRe⁡cn(med riktig kvadrant).\arg c_n = \arctan\frac{\operatorname{Im}c_n}{\operatorname{Re}c_n} \quad\text{(med riktig kvadrant)}.

Fasen forteller hvor svingningen med frekvens nn ligger i tid, altså hvor mye den er forskjøvet. Amplituden alene bestemmer ikke funksjonen: to signaler kan ha identiske amplitudespektre og likevel se helt forskjellige ut, hvis fasene er ulike.

Den symmetriske delsummen
Delsummen av en kompleks rekke tas alltid symmetrisk om null:

SN(x)=∑n=−NNcneinπx/L.S_N(x) = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{in\pi x/L}.

Grunnen: leddene nn og −n-n hører sammen og gir til sammen et reelt bidrag. Tar du bare med den ene, står du igjen med et komplekst tall der svaret skulle vært reelt. Er du usikker på om du har regnet riktig, er dette en god test: par sammen nn og −n-n og sjekk at ii-ene kansellerer.

Kompleks konjugering
Å bytte fortegn på den imaginære delen: a+bi‾=a−bi\overline{a+bi} = a-bi.

De tre reglene du bruker i dette kapitlet:

z+w‾=z‾+w‾,zw‾=z‾ w‾,eiθ‾=e−iθ for reell θ.\overline{z+w} = \overline z+\overline w, \qquad \overline{zw} = \overline z\,\overline w, \qquad \overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} \text{ for reell }\theta.

Den siste er den viktigste: den er hele grunnen til at konjugering av cnc_n gir c−nc_{-n}.

✏️Eksamensnivå: $f(x)=e^{x}$ på $[-\pi,\pi]$

La f(x)=exf(x)=e^{x} på [−π,π][-\pi,\pi], utvidet periodisk med periode 2π2\pi.

a) Finn den komplekse Fourier-rekka.
b) Utled ana_n og bnb_n fra cnc_n.
c) Kontroller at c−n=cn‾c_{-n}=\overline{c_n}, og forklar hva det betyr.

Før løsningen som en toppbesvarelse.

a) Den komplekse rekka. Halvperioden er L=πL=\pi, så
cn=12π∫−ππexe−inx dx=12π∫−ππe(1−in)x dx.c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{x}e^{-inx}\,dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{(1-in)x}\,dx.

Her er hele poenget med den komplekse formen synlig: integranden er én eksponentialfunksjon, så det trengs ingen delvis integrasjon i det hele tatt.

cn=12π[e(1−in)x1−in]−ππ=12π(1−in)(eπe−inπ−e−πeinπ).c_n = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{e^{(1-in)x}}{1-in}\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2\pi(1-in)}\left(e^{\pi}e^{-in\pi}-e^{-\pi}e^{in\pi}\right).

Nå er e−inπ=einπ=(−1)ne^{-in\pi} = e^{in\pi} = (-1)^n, så begge faktorene blir den samme, og
cn=(−1)n(eπ−e−π)2π(1−in)=(−1)nsinh⁡ππ(1−in),c_n = \frac{(-1)^n\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)}{2\pi(1-in)} = \frac{(-1)^n\sinh\pi}{\pi\left(1-in\right)},
der vi brukte sinh⁡π=12(eπ−e−π)\sinh\pi = \tfrac12\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right).

Rekka:
ex=sinh⁡ππ∑n=−∞∞(−1)n1−ineinx,−π<x<π.e^{x} = \frac{\sinh\pi}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{1-in}e^{inx}, \qquad -\pi<x<\pi.

Kontroll av c0c_0: sett n=0n=0: c0=sinh⁡ππ≈3,676\displaystyle c_0 = \frac{\sinh\pi}{\pi} \approx 3{,}676. Det stemmer med middelverdien vi regnet ut i oppgave 1c. Bra.

b) Broen til ana_n og bnb_n. Først gjør vi nevneren reell ved å forlenge med den konjugerte:
cn=(−1)nsinh⁡ππ⋅1+in(1−in)(1+in)=(−1)nsinh⁡π(1+in)π(1+n2).c_n = \frac{(-1)^n\sinh\pi}{\pi}\cdot\frac{1+in}{(1-in)(1+in)} = \frac{(-1)^n\sinh\pi\left(1+in\right)}{\pi\left(1+n^2\right)}.
Nå leses real- og imaginærdel rett av:
Re⁡cn=(−1)nsinh⁡ππ(1+n2),Im⁡cn=(−1)nnsinh⁡ππ(1+n2).\operatorname{Re}c_n = \frac{(-1)^n\sinh\pi}{\pi\left(1+n^2\right)}, \qquad \operatorname{Im}c_n = \frac{(-1)^n n\sinh\pi}{\pi\left(1+n^2\right)}.
Etter broformelen an=2Re⁡(cn)a_n = 2\operatorname{Re}(c_n) og bn=−2Im⁡(cn)b_n = -2\operatorname{Im}(c_n):
an=2(−1)nsinh⁡ππ(1+n2),bn=2(−1)n+1nsinh⁡ππ(1+n2).a_n = \frac{2(-1)^n\sinh\pi}{\pi\left(1+n^2\right)}, \qquad b_n = \frac{2(-1)^{n+1}n\sinh\pi}{\pi\left(1+n^2\right)}.
Og a0=c0=sinh⁡ππ\displaystyle a_0 = c_0 = \frac{\sinh\pi}{\pi}.

Kontroll ved direkte regning: regner du an=1π∫−ππexcos⁡nx dx\displaystyle a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos nx\,dx med delvis integrasjon to ganger, får du nøyaktig samme uttrykk. Det tar fem ganger så lang tid. Det er derfor den komplekse veien er den raske metoden for eksponentialfunksjoner — si det gjerne i besvarelsen, for begge veier gir full uttelling og valget av den raske er et poeng i seg selv.

c) Konjugert symmetri.
cn‾=(−1)nsinh⁡ππ(1+in)ogc−n=(−1)−nsinh⁡ππ(1−i(−n))=(−1)nsinh⁡ππ(1+in).\overline{c_n} = \frac{(-1)^n\sinh\pi}{\pi\left(1+in\right)} \quad\text{og}\quad c_{-n} = \frac{(-1)^{-n}\sinh\pi}{\pi\left(1-i(-n)\right)} = \frac{(-1)^n\sinh\pi}{\pi\left(1+in\right)}.
De er like. (Her brukte vi at (−1)−n=(−1)n(-1)^{-n} = (-1)^n.)

Hva det betyr: ff er reell. Konjugert symmetri i koeffisientene er nøyaktig ekvivalent med at funksjonen er reell — og det er den testen kap. 4.3 bruker for å avgjøre om et gitt sett DFT-koeffisienter kan komme fra et reelt signal.

Merk også: cnc_n er verken rent reell eller rent imaginær, og det stemmer med at exe^x verken er like eller odde.

📝Oppgave 3

Sagtannen f(x)=xf(x)=x på [−π,π][-\pi,\pi] har den reelle rekka med an=0a_n=0 og bn=2(−1)n+1n\displaystyle b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} (fra kap. 3.1).

a) Bruk broformelen til å finne cnc_n.
b) Kontroller at c−n=cn‾c_{-n}=\overline{c_n}.
c) Hva sier formen på cnc_n om pariteten til ff?

📝Oppgave 4

Et sett komplekse Fourier-koeffisienter er oppgitt. Avgjør i hvert tilfelle om de kan komme fra en reell funksjon, og begrunn.

a) c0=1c_0 = 1, c1=2+ic_1 = 2+i, c−1=2−ic_{-1} = 2-i, alle andre null.
b) c0=0c_0 = 0, c1=ic_1 = i, c−1=ic_{-1} = i, alle andre null.
c) c0=ic_0 = i, c1=1c_1 = 1, c−1=1c_{-1} = 1, alle andre null.
d) c0=2c_0 = 2, c1=3ic_1 = 3i, c−1=−3ic_{-1} = -3i, alle andre null.

— naturlig pausepunkt (~34 min brukt) —

Du har definisjonen av cnc_n og broen begge veier. Resten av kapitlet er metodevalget: når lønner den komplekse formen seg, og når er den reelle raskere? Det er en kort løkke, men den avgjør hvor mye tid du sparer på eksamen.

Løkke 3 — Når lønner den komplekse veien seg? (~14 min)

Den komplekse formen er ikke alltid raskest. Her er den enkle regelen, og deretter oppgaver som trener begge veier.

Skifteegenskapen for koeffisientene
Forskyver du funksjonen langs xx-aksen, endres bare fasen til koeffisientene — ikke amplituden. Er g(x)=f(x−d)g(x) = f(x-d), så er

cn(g)=e−inπd/L cn(f).c_n^{(g)} = e^{-in\pi d/L}\,c_n^{(f)}.

Utledning: substituer u=x−du = x-d i koeffisientintegralet. Da blir e−inπx/L=e−inπ(u+d)/L=e−inπd/Le−inπu/Le^{-in\pi x/L} = e^{-in\pi(u+d)/L} = e^{-in\pi d/L}e^{-in\pi u/L}, og den første faktoren er konstant og kan settes utenfor.

Konsekvens: ∣cn(g)∣=∣cn(f)∣\left|c_n^{(g)}\right| = \left|c_n^{(f)}\right| — amplitudespekteret er upåvirket av forskyvning. Den samme egenskapen dukker opp igjen for den diskrete transformen i kap. 4.3, der den kalles skifteegenskapen og skal bevises.

Velg den komplekse veien når integranden inneholder en eksponentialfunksjon. Da smelter eaxe^{ax} og e−inxe^{-inx} sammen til én eksponential, og integralet er ferdig på én linje. Eksempler: exe^x, e2xe^{2x}, cosh⁡x\cosh x, sinh⁡x\sinh x.

Velg den reelle veien når funksjonen er et polynom eller stykkevis konstant og du kjenner pariteten. Da sparer symmetriregelen deg for et helt integral, og reduksjonsformlene på det utdelte formelarket gjør resten. Å regne ∫x2e−inxdx\int x^2 e^{-inx}dx komplekst er ikke raskere enn ∫x2cos⁡nx dx\int x^2\cos nx\,dx reelt.

Spør du hvilken sensor vil ha? Begge. Kravet er at metoden navngis og at føringen henger sammen. Sier du «jeg bruker den komplekse formen fordi integranden da blir én eksponential», har du både valgt riktig og begrunnet valget — og begrunnelsen teller.

En siste ting. Ber oppgaven eksplisitt om den komplekse rekka, skal du levere cnc_n — ikke ana_n og bnb_n med en kommentar om at «de kan omregnes». Og ber den om broen, skal begge formene stå der.

📝Oppgave 5
D, kompleks form

Finn den komplekse Fourier-rekka til f(x)=e−xf(x)=e^{-x} på [−π,π][-\pi,\pi], periode 2π2\pi, og sammenlikn koeffisientene med dem for exe^{x} fra eksempel 2.

📝Oppgave 6
En reell, 2π2\pi-periodisk funksjon har komplekse koeffisienter

c0=1,cn=1n2+1+in  (n≥1),c_0 = 1, \qquad c_n = \frac{1}{n^2+1}+\frac{i}{n} \ \ (n\ge1),

og c−n=cn‾c_{-n}=\overline{c_n}.

a) Finn ana_n og bnb_n.
b) Finn amplituden ∣c1∣|c_1| og amplituden a12+b12\sqrt{a_1^2+b_1^2} til det første reelle leddet, og kontroller sammenhengen mellom dem.
c) Er funksjonen like, odde eller ingen av delene?

📝Oppgave 7

(Krevende — bevisoppgave.) La ff være en 2π2\pi-periodisk, stykkevis glatt funksjon med komplekse Fourier-koeffisienter cnc_n.

a) Vis at ff er reell hvis og bare hvis c−n=cn‾c_{-n}=\overline{c_n} for alle nn.
b) Vis at hvis ff er reell og odde, så er alle cnc_n rent imaginære.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.