3.1 Fourier-rekker — koeffisienter og symmetriutnyttelse

Konstantleddet.
$$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\,dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2\pi}\left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{\pi^2}{2}\right) = 0.$$

Cosinuskoeffisientene. Her trengs delvis integrasjon med $u = x$ og $dv = \cos nx\,dx$:
$$\int x\cos nx\,dx = \frac{x\sin nx}{n} + \frac{\cos nx}{n^2}.$$
(Denne står som en ferdig reduksjonsformel på det utdelte formelarket — tren oppslaget, og sett $a=n$.) Innsatt:
$$a_n = \frac{1}{\pi}\left[\frac{x\sin nx}{n} + \frac{\cos nx}{n^2}\right]_{-\pi}^{\pi}.$$
Nå er $\sin n\pi = 0$ for alle heltall $n$, så det første leddet forsvinner i begge endene. Og $\cos n\pi = \cos(-n\pi)$, så det andre leddet gir samme tall i begge ender og trekkes fra seg selv:
$$a_n = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\cos n\pi}{n^2} - \frac{\cos n\pi}{n^2}\right) = 0.$$

Sinuskoeffisientene. Delvis integrasjon med $u = x$, $dv = \sin nx\,dx$:
$$\int x\sin nx\,dx = -\frac{x\cos nx}{n} + \frac{\sin nx}{n^2}.$$
(Også dette er en rad på det utdelte formelarket.) Innsatt:
$$b_n = \frac{1}{\pi}\left[-\frac{x\cos nx}{n} + \frac{\sin nx}{n^2}\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{\pi}\left(-\frac{\pi\cos n\pi}{n} - \frac{\pi\cos n\pi}{n}\right) = -\frac{2\cos n\pi}{n}.$$
Med $\cos n\pi = (-1)^n$:
$$b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}.$$

Rekka.
$$x = 2\left(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \frac{\sin 4x}{4} + \cdots\right), \qquad -\pi < x < \pi.$$

Kontroll. Sett $x = \pi/2$. Venstre side er $\pi/2 \approx 1{,}5708$. Høyre side: $2(1 - 0 - \tfrac13 - 0 + \tfrac15 - \cdots) = 2\cdot\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\pi}{2}$. Stemmer.

Legg merke til to ting. For det første: begge integralene som ga null, ga det uten at vi trengte å regne — vi kunne ha sett det på forhånd, og det er nettopp det løkke 2 handler om. For det andre: koeffisientene faller av som $1/n$, ganske sakte. Det henger sammen med at den periodiske utvidelsen hopper i $x=\pm\pi$; en funksjon uten sprang får raskere fall, typisk $1/n^2$.

Steg 2 — konstantleddet. Med den halverte formelen for like funksjoner, der $|x| = x$ på $[0,\pi]$:
$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2} = \frac{\pi}{2}.$$
Rimelighetssjekk: $|x|$ svinger mellom 0 og $\pi$, og middelverdien $\pi/2$ ligger midt imellom. Bra.

Steg 3 — cosinuskoeffisientene.
$$a_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\cos nx\,dx.$$
Fra reduksjonsformelen på det utdelte formelarket med $a = n$:
$$\int x\cos nx\,dx = \frac{x\sin nx}{n} + \frac{\cos nx}{n^2}.$$
Innsatt mellom 0 og $\pi$: $\sin n\pi = 0$, så første ledd forsvinner i begge ender, og
$$a_n = \frac{2}{\pi}\left(\frac{\cos n\pi}{n^2} - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{2\left((-1)^n - 1\right)}{\pi n^2}.$$

Steg 4 — les av mønsteret. For like $n$ er $(-1)^n - 1 = 0$, så alle partallsledd faller bort. For odde $n$ er $(-1)^n - 1 = -2$, så
$$a_n = -\frac{4}{\pi n^2}, \qquad n \text{ odde}.$$

Rekka.
$$|x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\left(\cos x + \frac{\cos 3x}{9} + \frac{\cos 5x}{25} + \cdots\right).$$

Kontroll. Sett $x = 0$: venstre side er 0. Høyre side er $\displaystyle \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\left(1 + \tfrac19 + \tfrac1{25} + \cdots\right)$. Summen i parentesen er $\pi^2/8 \approx 1{,}2337$, og $\displaystyle \frac{4}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi}{2}$. Til sammen 0. Stemmer.

Sammenlikn med sagtannen. Der falt koeffisientene som $1/n$; her faller de som $1/n^2$. Forskjellen er at $|x|$ utvidet periodisk er kontinuerlig, mens sagtannen hopper. Jo glattere funksjon, jo raskere fall — en tommelfingerregel som er verdt å kunne når du skal sjekke om svaret ditt er plausibelt.

Paritet. $f(-1) = 0$ mens $f(1) = 1$; funksjonen er verken like eller odde. Ingen snarvei — men integralene over $[-\pi,0]$ er null fordi $f$ er null der, så i praksis integrerer vi bare fra 0 til $\pi$ likevel. Merk skillet: det er ikke en halvering på grunn av symmetri; det er bare at funksjonen er null på den ene halvdelen. Faktoren foran forblir $1/\pi$, ikke $2/\pi$.

Konstantleddet.
$$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} x\,dx = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

Cosinuskoeffisientene. Fra reduksjonsformelen på det utdelte formelarket med $a = n$:
$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} x\cos nx\,dx = \frac{1}{\pi}\left[\frac{x\sin nx}{n}+\frac{\cos nx}{n^2}\right]_0^{\pi} = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n-1}{n^2}.$$
Altså $\displaystyle a_n = -\frac{2}{\pi n^2}$ for odde $n$, og 0 for like $n$.

Sinuskoeffisientene. Fra søsterformelen:
$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin nx\,dx = \frac{1}{\pi}\left[-\frac{x\cos nx}{n}+\frac{\sin nx}{n^2}\right]_0^{\pi} = \frac{1}{\pi}\cdot\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{(-1)^{n+1}}{n}.$$

Rekka.
$$f(x) = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\cos\left((2m+1)x\right)}{(2m+1)^2} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx.$$

Kontroll i to punkter. I $x = \pi/2$ er $f = \pi/2 \approx 1{,}5708$. Cosinusleddene: $\cos\left((2m+1)\pi/2\right) = 0$ for alle $m$, så hele cosinusdelen forsvinner. Sinusdelen blir $\displaystyle \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\frac{n\pi}{2} = 1 - 0 - \tfrac13 + 0 + \tfrac15 - \cdots = \frac{\pi}{4}$. Til sammen $\displaystyle \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. Stemmer.

Nyttig observasjon. Funksjonen kan skrives som $\tfrac12 x + \tfrac12|x|$ på $[-\pi,\pi]$ — den odde delen er $\tfrac12 x$ og den like delen er $\tfrac12|x|$. Sammenlikner du koeffisientene over med sagtannen og med $|x|$ fra tidligere i kapitlet, ser du at de er nøyaktig halvparten av hver. Å splitte en funksjon i odde og like del er derfor en fullgod alternativ metode, og den sparer deg for ett av integralene når du allerede kjenner delene. Nevn gjerne begge veier i besvarelsen; begge gir full uttelling.

Uttelling her: sensor ser etter at pariteten er begrunnet, ikke bare påstått. Én linje med $f(-x)=f(x)$ er nok, men den må stå.

b) Konstantleddet. Med den halverte formelen for like funksjoner:
$$a_0 = \frac{1}{2}\int_0^2 (3-x^2)\,dx = \frac12\left[3x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac12\left(6-\frac83\right) = \frac12\cdot\frac{10}{3} = \frac53.$$

Rimelighetssjekk: $3-x^2$ går fra 3 ned til $-1$ på $[0,2]$, og $\tfrac53 \approx 1{,}67$ ligger midt i det området. Bra.

Cosinuskoeffisientene.
$$a_n = \frac{2}{2}\int_0^2 (3-x^2)\cos\frac{n\pi x}{2}\,dx = 3\int_0^2\cos\frac{n\pi x}{2}\,dx - \int_0^2 x^2\cos\frac{n\pi x}{2}\,dx.$$

Første integral: $\displaystyle \left[\frac{2\sin(n\pi x/2)}{n\pi}\right]_0^2 = \frac{2\sin n\pi}{n\pi} = 0$.

Andre integral, fra reduksjonsformelen på det utdelte formelarket med $\displaystyle a = \frac{n\pi}{2}$:
$$\int x^2\cos ax\,dx = \frac{x^2\sin ax}{a}+\frac{2x\cos ax}{a^2}-\frac{2\sin ax}{a^3}.$$
I $x=2$ er $\sin(n\pi) = 0$, så første og tredje ledd faller bort, og andre ledd gir
$$\frac{2\cdot 2\cos n\pi}{(n\pi/2)^2} = \frac{4(-1)^n\cdot 4}{n^2\pi^2} = \frac{16(-1)^n}{n^2\pi^2}.$$
I $x=0$ er alt null. Altså
$$a_n = -\frac{16(-1)^n}{n^2\pi^2} = \frac{16(-1)^{n+1}}{n^2\pi^2}.$$

Rekka.
$$3-x^2 = \frac53 + \frac{16}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\cos\frac{n\pi x}{2}, \qquad -2 \le x \le 2.$$

Uttelling her: hvert tabelloppslag skal synes. Skriv «fra reduksjonsformelen på formelarket med $a = n\pi/2$» — det er en handling sensor skal kunne følge.

c) Tallrekkesummen. Den periodiske utvidelsen av $3-x^2$ er kontinuerlig i $x=0$ (og overalt ellers, siden $f(-2)=f(2)=-1$), så rekka gir funksjonsverdien der. Sett $x=0$, som gjør alle cosinusene lik 1:
$$3 = \frac53 + \frac{16}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}.$$
Løs for summen:
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{16}\left(3-\frac53\right) = \frac{\pi^2}{16}\cdot\frac43 = \frac{\pi^2}{12}.$$

Kontroll. $\pi^2/12 \approx 0{,}8225$. Delsummen $1-\tfrac14+\tfrac19-\tfrac1{16}+\tfrac1{25} \approx 0{,}8386$, og med 20 ledd er man på $0{,}8213$ — rekka alternerer og konvergerer langsomt inn mot $0{,}8225$. Stemmer.

Uttelling her: begrunnelsen for at rekka gir funksjonsverdien — altså at utvidelsen er kontinuerlig i $x=0$ — er et eget poeng. Uten den er svaret riktig, men usikret.